2. Теорема Джексона.

Фундаментальне значення для конструктивної теорії функцій мало відкриття Джексоном можливості суттєвого уточнення класичної теореми Вейєрштраса і нове формулювання її у вигляді нерівності.

Теорема 2.1. Для будь-якої функції справедлива оцінка

Доведення. Для доведення скористаємося наступною теоремою.

Теорема 2.2. Нехай функція і має модуль неперервностіПокладемо

Тоді при всіх справедлива оцінка

Але так як , то тим більше

Якщо – парне натуральне число,, то

Якщо ж число непарне,то

Отже, оцінка (1) справедлива для будь-якого натурального

Зважаючи на те, що для будь якої функції із

зрозуміло, що доведена теорема Джексона містить у собі другу теорему Вейєрштраса.

Наслідок 2.1. Якщо

В свою чергу звідси маємо

Наслідок 2.2. Якщо у існує обмежена похідно то

Дійсно, за цих умов

3. Узагальнення теореми Джексона.

У 1950 році С. Б. Стечкіним була опублікована стаття, у якій один із параграфів присвяченій узагальненню теореми Джексона. Як відомо, Джексон довів наступну теорему: якщо має неперервну -у похідну , то

Таким чином, теорема Джексона дає оцінку зверху для найкращих наближень, якщо відомі диференційовані властивості функції, що апроксимується.

В 1947 році з’явилася робота С. Н. Бернштейна. Одна із теорем цієї роботи містить у якості наслідку таку пропозицію: нехай

Тоді

С. Б. Стечкіним доведено наступне узагальнення цих теорем:

Було отримано невелике посилення теореми Джексона о найкращих наближеннях періодичних функцій тригонометричними поліномами.

Лема 3.1. Нехай дано натуральне число . Існує послідовність ядер , деє тригонометричний поліном порядку не вище, який задовольняє умови:

і

У якості ядер можна взяти ядра Джексона достатньо високої степені, тобто покласти

де – ціле, не залежить від,натуральневизначається із нерівності

а обирається так, щоб виконувалось нормування (1).

Лема 3.2. Якщо послідовність ядер задовольняє усім умовам попередньої леми, то

Доведення. Користуючись (3.2) і (3.3) маємо наступне

і лема доведена.

Теорема 3.1. Нехай

(3.5)

Доведення. Нехай послідовність ядер задовольняє всі умови леми 1. Покладемо

Видно, що є тригонометричний поліном порядку не вищеОцінимо . Маємо

Тому

Оцінимо останній інтеграл. Вважаючи в нерівності (1.6) , отримаємо, що

Звідси і із (3.4) слідує:

Підставивши цю оцінку в (3.6), отримаємо твердження теореми.

Наслідок. Нехай – натуральне число,– ціле невід’ємне. Тоді

Дійсно, згідно (1.11),

Використання теореми 3.1 дає (3.7).

4. Теорема с. Н. Бернштейна.

Теорема 4.1. Нехай і – її найкраще наближення поліномами із . Якщо при всіх натуральних

тоді при можна стверджувати, що

А якщо , то

^.

Доведення. Для будь-якого натурального існує тригонометричний поліном порядку не вище , для якого

Покладемо

Легко побачити, що

або

Візьмемо будь-яке число , для якого

і нехай Тоді

Нехай натуральне число підібрано із умови

(очевидно, ). В такому разі

Дамо оцінку поліному

Звідси

отже,

де покладемо для кратності

З іншого боку, є тригонометричний поліном порядку не вище. Отже, для його похідної на основі нерівності С. Н. Бернштейна^ справедлива оцінка

На основі формули Лагранжа

Тому

Зважаючи на те що і об’єднані єдиною умовою , остання нерівність показує, що

де . Помітно, що, в силу (4.1)

надамо останній нерівності вигляд

До цих пір міркування однаково відносились як до випадку, коли так і до того, колиТепер нам треба розрізнити ці випадки.

Якщо то

Але за (4.1)

Отже,

і

Інакше кажучи,

А це означає, що .

Якщо ж , то нерівність (4.2) має вигляд

Із нерівності випливає, що

а так як (або), то

звідки

Позначимо через число, більше, ніж і , знаходимо

Що і завершує доведення теореми.