- •Структура модели химико-технологических систем непрерывного действия
- •1.1. Общая характеристика
- •Модели технологических аппаратов
- •Модели структуры химико-технологических систем
- •2. Анализ статических режимов
- •2.1. Структурный анализ разомкнутых систем
- •2.2. Структурный анализ систем с рециклами
- •3. Динамические модели
- •3.1. Способы описания динамики химико-технологичсеких систем
- •3.2. Формирование моделей динамики систем из моделей аппаратов
- •4. Методы решения систем уравнений математической модели
- •4.1. Методы решения систем алгебраических уравнений
- •4.2. Методы решения совместных систем конечных и дифференциальных уравнений
- •5. Моделирование стохастических систем
- •6. Системы непрерывного моделирования
- •Литература
- •Часть 2. Математическое моделирование химико-технологических систем непрерывного действия
- •125047 Москва, Миусская пл., д.9
Модели технологических аппаратов
Технологические аппараты по признаку зависимости режимных параметров от пространственных координат могут быть отнесены к одному из следующих двух типов: аппараты с сосредоточенными параметрами и аппараты с распределенными параметрами. В первых значения режимных параметров одинаковы во всех точках объема аппарата, во вторых — изменяются по координатам: одной, двум или трем. Наиболее часто применяются аппараты с осевой симметрией (трубчатые реакторы, теплообменники, колонные аппараты для разделения), в которых изменение параметров происходит по одной (иногда — двум) координатам. Примером аппарата с сосредоточенными параметрами может служить реактор идеального смешения (РИС), аппарата с распределенными параметрами — реактор идеального вытеснения (РИВ). Модели технологических аппаратов состоят из систем уравнений балансов и физико-химических законов.
Модели стационарных режимов аппаратов с сосредоточенными параметрами имеют вид систем конечных уравнений:
,
в которых — известные векторные функции.
Рассмотрим изотермический реактор идеального смешения, в котором протекает простая необратимая реакция первого порядка. Математическая модель реактора состоит из уравнения материального баланса по одному из компонентов реакции (например, по реагенту А) и уравнения, выражающего закон действующих масс, и имеет следующий вид:
(1)
где — соответственно молярные концентрации реагента А на входе и выходе реактора, кмольм-3; — скорость химической реакции по реагенту А, кмольм-3ч-1; — константа скорости реакции, ч-1; — объем реактора, м3; — объемный расход реагента А, м3ч-1.
Переменными модели являются концентрация реагента А () и скорость химической реакции (), а параметрами (коэффициентами) модели — объем реактора (), объемный расход реагента (), константа скорости реакции ().
Решение системы уравнений (1) имеет вид:
Состояние реактора (c,r) совпадает с его выходом.
Модель неизотермического реактора с внешним теплообменом, в котором протекает реакция , имеет вид:
(2)
где— тепловой эффект реакции, кДжкмоль-1;
—температура в реакторе, К;
—температура на входе в реактор, К;
—температура хладагента, К;
—средняя плотность реакционной массы, кгм-3;
—коэффициент теплопередачи, Втм-2K-1;
—поверхность теплообмена, м2;
—энергия активации реакции, кДжкмоль-1;
—универсальная газовая постоянная, кДжкмоль-1К-1;
—предэкспоненциальный множитель, ч-1;
Сp удельная теплоемкость реакционной массы, кДж кг-1 .
Модель реактора, работающего в автотермическом режиме, в котором протекает реакция ,имеет вид:
(3)
Первое уравнение систем (2) и (3) выражает материальный баланс РИС, второе — его тепловой баланс, третье — закон действующих масс, четвертое — закон Аррениуса.
Статические модели аппаратов с распределенными параметрами также включают уравнения материального, энергетического (обычно, теплового) балансов и физико-химических законов. Так как переменные моделей являются функциями пространственных координат, то уравнения материального баланса имеют вид обыкновенных дифференциальных уравнений или дифференциальных уравнений в частных производных (в зависимости от числа пространственных координат, по которым распределены переменные), а уравнения физико-химических законов конечны. Статические модели аппаратов с параметрами, распределенными по одной пространственной координате можно представить в следующем виде:
В систему уравнений входят переменные, которые можно разбить на две группы: к первой группе относятся переменные , которые входят в систему уравнений вместе с их производными, а производные от переменныхвторой группы в систему не входят. Назовем первые“дифференциальными”, а вторые — “алгебраическими” переменными.
Статическая модель аппаратов с параметрами, распределенными по трем пространственным координатам , имеет вид:
Статическая модель аппаратов с параметрами, распределенными по одной пространственной координате, когда балансы описываются дифференциальными уравнениями порядка n, имеет вид:
Рассмотрим изотермический реактор идеального вытеснения, работающий в статическом режиме, в котором протекает простая необратимая реакция . Математическая модель реактора имеет вид совместной системы обыкновенных дифференциальных и конечных уравнений. Дифференциальное уравнение выражает материальный баланс реактора, а конечное — закон действующих масс:
где — соответственно молярная концентрация реагента А на входе в реактор и в его произвольном сечении , кмольм-3; — скорость реакции в произвольном сечении реактора , кмольм-3ч-1; — константа скорости реакции, ч-1; — объемный расход реагента, м3ч-1; — площадь поперечного сечения реактора, м2; — текущая координата, м.
Решение системы уравнений имеет вид:
и выражает концентрацию реагента А () и скорость химической реакции () как функцию пространственной координаты — длины реактора.
Модель неизотермического реактора идеального вытеснения с внешним теплообменом, в котором протекает простая необратимая реакция , имеет вид:
где — гидравлический радиус, м.
Модель изотермического реактора идеального вытеснения с распределением концентраций по длине и радиусу имеет вид:
где - соответственно функции распределения концентрации реагента по радиусуна входе в реактор и по длинена оси реактора.
Другим примером может служить изотермический реактор с продольным перемешиванием, в котором протекает необратимая реакция . Математическая модель реактора имеет вид совместной системы, состоящей из обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка и уравнения, выражающего закон действующих масс:
при граничных условиях:
где — коэффициент продольного перемешивания м2ч-1; — линейная скорость, мч-1;— длина реактора, м.
Методика составления материального и энергетического балансов стационарных режимов технологических аппаратов и ХТС изложена в учебнике [2].