3.2. Формирование моделей динамики систем из моделей аппаратов

Любую, сколь угодно сложную структуру ХТС, можно представить в виде конечного числа типовых комбинаций технологических аппаратов, то есть их последовательного, параллельного соединения и рецикла (рис.19).

В дальнейшем при описании методов формирования динамических моделей ХТС из моделей аппаратов будем предполагать, что связь между аппаратами безынерционная, то есть сигнал на выходе предыдущего аппарата мгновенно подается на вход следующего. Примером может служить соединяющий аппараты трубопровод при нулевом запаздывании сигнала.

Известны различные методы формирования моделей систем из моделей аппаратов: дополнение моделей аппаратов моделью безынерционных динамических связей; комбинирование передаточных функций и др.

Модели аппаратов с сосредоточенными параметрами в системах со структурой любого типа имеют вид:

(8)

где k – номер аппарата.

Эти модели необходимо дополнить уравнениями связи вида:

y_k(t) - x_s(t) = 0 (9)

означающими, что на вход аппарата s в момент времени t мгновенно поступает выход аппарата k. При последовательном соединении аппаратов система уравнений (8—9) полностью описывает динамику ХТС. При параллельном соединении имеют место разветвления и соединения потоков; поэтому необходимо знать доли jk; потоков, подаваемых в каждый аппарат k, .

Системы с рециклами необходимо преобразовать в эквивалентные им разомкнутые, после чего исследовать динамику полученных разомкнутых систем.

Этот метод можно считать универсальным, так как он применим к системам любой структуры и любым моделям аппаратов.

Например, обобщенная модель системы, представляющей два последовательно соединенных изотермических РИС с безынерционной связью, в которых протекает реакция первого порядка, имеет вид:

Так как связь безынерционная, то

и

При параллельном соединении обобщенная модель ХТC имеет вид:

где — доля входного потока, направляемого в один из реакторов.

Если известны передаточные функции аппаратов, то передаточные функции систем формируются в соответствии со следующими правилами.

Передаточная функция последовательно соединенных элементов равна произведению их передаточных функций:

Передаточная функция параллельно соединенных элементов равна сумме их передаточных функций:

Передаточная функция системы с рециклом имеет вид:

где W₁(p) — передаточная функция аппарата в прямой цепи; W₂(p) — передаточная функция аппарата в обратной связи (рецикле).

Динамике химико-технологических процессов посвящено учебное пособие [6].

4. Методы решения систем уравнений математической модели

4.1. Методы решения систем алгебраических уравнений

Как следует из предыдущих разделов, модели ХТС состоят из моделей технологических аппаратов и моделей структуры ХТС и имеют вид либо систем нелинейных алгебраических уравнений, либо совместных систем алгебраических и дифференциальных уравнений. Например, статические модели детерминированных ХТС, содержащих только аппараты с сосредоточенными параметрами, имеют вид систем нелинейных алгебраических уравнений , особенность которых состоит в ихпереопределенности и разреженности.

Переопределенной называется система, число уравнений которой больше числа неизвестных, а разреженной — система, содержащая большое количество нулевых коэффициентов при неизвестных. Переопределенность системы обусловлена возможностью составить разные наборы уравнений материального баланса сложных ХТС. Причина разреженности заключается в небольшом числе связей между аппаратами. Перечисленные особенности систем уравнений балансов влияют на методы и алгоритмы их решения [7,8].

Система уравнений называется совместной, если она имеет решения, и определенной, если решение единственное. Для существования решения системы функции должны быть независимыми, для чего необходимо, чтобыякобиан (детерминант функциональной матрицы Якоби^*) был бы не равен нулю (det J 0).

Если число уравнений m меньше числа неизвестных n, то система недоопределена; тогда для ее решения необходимо фиксировать (m-n) переменных.

Система содержит n независимых уравнений, если ранг матрицы Якоби равен n (rank J = n). Рангом матрицы называется ее детерминант максимального порядка, отличный от нуля. Если же rank J = r, где rn, то система содержит r независимых уравнений.

Для решения системы уравнений необходимо из n уравнений выбрать r уравнений, содержащих r неизвестных, якобиан левой части которых отличен от нуля. В результате решения системы r независимых уравнений получаются r неизвестных, которые выражены через остальные m-n неизвестных, которые в этом случае называются свободными переменными. Свободные переменные системы должны быть взаимно независимыми.

Разреженность систем уравнений является причиной, вызывающей необходимость экономить память ЭВМ и сокращать количество арифметических операций при численном решении.

К наиболее распространенным методам численного решения систем нелинейных алгебраических уравнений относятся метод простой итерации и метод Ньютона-Рафсона [9,10].

Метод простой итерации заключается в расчете последующего приближения x^(k+1) по предыдущему x^(k) по формуле

В качестве начального приближения можно принять, например, вектор свободных членов. Критерий останова имеет вид:

Достоинство метода — простота алгоритма, недостаток — возможность его локальной расходимости.

Метод Ньютона-Рафсона имеет следующий алгоритм:

где, J^-1 — матрица, обратная матрице Якоби. Критерий окончания поиска решения аналогичен критерию, применяемому в методе простой итерации.