5. Моделирование стохастических систем

В рассмотренных ранее моделях динамики ХТС непрерывного действия предполагалось, что вход X(t), выход Y(t) и функциональный оператор A_t в модели Y(t)=A_tX(t) являются детерминированными объектами. На практике обычно X(t) или (и) A_t, а, следовательно, Y(t), являются случайными.

Если динамическая система — детерминированная, а случайной величиной является вход X(t), то ее математическая модель имеет вид:

y(t) = M{Y(t)x(s); sT},

то есть представляется в виде условного математического ожидания Y(t) относительно совокупности значений входа x(s) для всех значений s, принадлежащих интервалу T.

Статическая модель стохастического объекта имеет вид

M{Yx } = f₁(x),

где MYx — условное математическое ожидание Y относительно x;

f₁(x) — детерминированная функция.

Модель линейного динамического объекта в виде импульсной переходной (весовой) функции g(t,s) имеет вид:

вместо используемой для детерминированной модели функции:

Если линейная система стационарна, то ее импульсная переходная функция имеет вид:

.

Стационарные объекты описываются однородными операторами. Оператор A_t также может быть случайным (стохастическим), например, случайными величинами являются коэффициенты дифференциального уравнения.

В отличие от детерминированных систем стохастические системы могут исследоваться только методами теории вероятностей.

Конкретный вид моделей стохастических объектов зависит от их класса, решаемой задачи (цели моделирования) и наличия априорной информации.

Рассмотрим сначала одномерный объект, который описывается оператором A_t ; пусть вход x(s) случаен и, следовательно, случаен выход Y(t). Пусть имеется возможность измерить вход x(s) и выход Y(t). Цель моделирования динамики системы состоит в идентификации оператора A_t , то есть оценке оператора A_t , которая может сводиться к оценке весовой функции, частотной характеристики или коэффициентов дифференциального уравнения. Оценка оператора A_t является характеристикой последнего. Она должна быть близка к оператору A_t в смысле некоторого критерия, то есть должно быть близко к y(t). Введем функцию, зависящую от Y(t) и Y^*(t) и не зависящую от A_t . Тогда близость оператора к A_t понимается в смысле минимума математического ожидания сформированного критерия , называемого также функцией потерь, то есть

Математическое ожидание функции потерь называют средним риском. Необходимое условие минимума есть равенство нулю соответствующей частной производной, то есть

Очень часто в качестве функции потерь принимают среднее квадратичное отклонение, то есть

так как в этом случае получается минимальная ошибка оценки оператора A_t..

Таким образом, оператор условного математического ожидания (регрессии выходной переменной относительно входной) определяет оптимальный, в смысле среднего квадратичного отклонения, оператор объекта.

Для линейных объектов оптимизация заключается в умножении на входную величину ; тогда:

Вычислим математическое ожидание от обеих частей этого равенства:

Операторы M и коммутативны, так как объект линеен; тогда:

При нулевых математических ожиданиях M{X(t)}=0, M{Y(t)}=0 последнее равенство может быть записано в виде:

,

где

K_xx(,s) — автокорреляционная функция случайной функции X(t);

K_yx(t,) — взаимная корреляционная функция X(t) и Y(t);

T — интервал наблюдения.

Автокорреляционная функция характеризует статистическую близость значений функции X(t), а взаимная корреляционная функция — статистическую близость функций X(t) и Y(t); автокорреляционная и взаимная корреляционная функции являются характеристическими функциями стохастических объектов.

Весовая функция объекта определяется в результате решения интегрального уравнения:

Для стационарных и стационарно связанных случайных функций X(t) и Y(t) зависимость между взаимно корреляционной и автокорреляционной функциями примет вид:

а весовая функция определится из интегрального уравнения Винера-Хопфа^*:

Тогда модель стационарного случайного объекта имеет вид:

где g()=0 при 0 (условие физической реализуемости системы).

Эта теория может быть легко экстраполирована на многомерные объекты, для которых оператор A_t устанавливает связь между векторными случайными функциями . По результатам измерениявыполняется оценкафункционального оператора A_t ; при этом полученное по модели значение выхода

должно быть близко к Y(t) объекта в смысле минимума критерия y(t),y^*(t) — функции потерь:

где _i — веса переменных y_i(t), i = 1, ..., m.

Следовательно, оптимальная оценка означает поиск минимума математического ожидания M

Оптимальная оценка получается из множественной регрессии

Теория и методика моделирования стохастических ХТС изложены в [11].