Рисунок 7.9

Вследствие того, что окружность трехпараметрическая кривая для построения окружности

кроме точки i нужно определить еще одну, например (i+1) или (i-1). Не нарушая общности рассуждений,

рассмотрим вариант с (i+1)-ой точкой (рисунок 7.9).

Графическое решение выглядит следующим образом: проводится хорда, соединяющая конечные точки i и (i+1). В средней точке хорды строится перпендикуляр h . Пересечение касательной t и

перпендикуляра h и определит положение центра искомой окружности. Радиус окружности совпадает с отрезками [o-i] и [o-(i+1)]. Касательная к построенной окружности будет перпендикулярна радиусу,

проведенному в (i+1)-ю точку.

Центры касающихся окружностей лежат на прямой, проходящей через точку касания. Таким образом

определение центра окружности сопрягающейся с i-той найдется на пересечении линии Оi(i+1) с перпендикуляром к середине хорды (i+1)(i+2).

7.6 Пространственные кривые

В отличие от плоских кривых, пространственные кривые (линии двоякой кривизны) не лежат всеми своими

точками в одной плоскости.

Общие свойства пространственной кривой, ее проекции связаны со свойствами проецирования и справедливы для проекций плоских кривых.

а) Несобственная точка кривой проецируется в несобственную точку ее проекции.

б) Касательная к кривой проецируется в касательную к ее проекции.

в) Порядок проекции алгебраической кривой равен порядку самой кривой.

В частных случаях проекция может распадаться и иметь меньший, чем у кривой, порядок. Например, кривая второго порядка, лежащая в проецирующей плоскости, проецируется в "двойную" прямую. Исследование свойств кривой в окрестности ее точки, так называемых дифференциальных (локальных) свойств производится путем построения проекций кривой на гранях сопровождающего трехгранника (рисунок 7.10).

Рисунок 7.10

Сопровождающий трехгранник ( трехгранник Френе ) состоит из трех ребер - касательной t, нормали n и

бинормали b и из трех граней - соприкасающейся Θ,

нормальной Г, спрямляющей Ψ плоскостей. Рассмотрим наиболее часто встречающуюся на

практике пространственную кривую - цилиндрическую винтовую линию рисунок 7.11.

Цилиндрическая винтовая линия представляет собой траекторию точки, совершающей равномерное движение вдоль некоторой прямой, которая в свою очередь

равномерно вращается вокруг параллельной ей оси. Расстояние h, на которое точка М перемещается

вдоль образующей за один ее оборот, называется шагом винтовой линии. Описываемая при этом точкой М дуга называется витком.

α

ϕ

Рисунок 7.11

Число р = h/2π называется параметром винтовой линии и определяет перемещение z точки М вдоль прямой

m за время поворота последней на угол ϕ, равный одному радиану.

Радиус r цилиндрической поверхности, описываемой прямой m вращением вокруг оси i параллельной m,

называется радиусом винтовой линии, а ось i - осью винтовой линии.

Очевидно, что винтовая линия однозначно определяется своей осью i, шагом h и радиусом r.