цилиндров.

Рисунок 10.6

Для построения развертки поверхности вращения способом конусов исходная поверхность разрезается плоскостями перпендикулярными ее оси вращения, на несколько частей - "поясов". Каждый из поясов аппроксимируется отсеком конуса вращения.

Таким образом, задача сводится к построению разверток отсеков аппроксимирующих конусов.

Выбор способа построения условной развертки поверхности вращения в реальном проектировании во многом зависит от конкретных размеров поверхности технологии изготовления изделия.

11 Решение задач в Начертательной геометрии

Выше были рассмотрены общие "геометрические" подходы к решению инженерных и научных задач. Решение реальных задач требует конкретизации этих подходов.

11.1 Точки и прямые

Декартова система координат, к которой "привязаны" плоскости проекций, предусматривает возможность задания не только положительных, но и отрицательных координат точек.

Рассмотрим возможность построения чертежей точек, имеющих и отрицательные координаты.

Рисунок 11.1

Формально процесс построения чертежа сохраняется. Для точек с отрицательной координатой Y (точки B и D рисунок 11.1) положительное направление оси Оz принимается за отрицательное направление ОY.

Рисунок 11.2 - Профильная линия уровня

Определенный интерес при выполнении машиностроительных чертежей представляет линия,

параллельная плоскости zОy, ее обычно называют профильной линией уровня (рисунок 11.2).

Ее горизонтальная а1в1 и фронтальная проекции а2в2

перпендикулярны оси чертежа.

Еще одна, часто встречающаяся в черчении, прямая, перпендикулярная плоскости zОy. Такая прямая называется профильно - проецирующей (рисунок 11.3).

Обе ее проекции, горизонтальная а1в1 и

фронтальная а2в2, параллельны оси чертежа Ох.

Рисунок 11.3 - Профильно - проецирующая прямая Вопрос о взаимном положении прямых не всегда

решается по двум данным проекциям. Как показано на рисунке 11.4, приходится строить профильную проекцию.

Рисунок 11.4 - Скрещивающиеся и параллельные профильные прямые

Деление в заданном отношении отрезка базируется на свойстве параллельных проекций (отношение отрезков на прямой равно отношений отрезков на проекциях). Задача решается путем деления в данном отношении одной из проекций этого отрезка (рисунок 11.5). Пусть

АВ делится точкой К в отношении 3:2. На горизонтальной проекции (в точке А1) проведена вспомогательная прямая В0. На ней отложено пять одинаковых отрезков произвольной длины. Точка К0 делит отрезок А1В0 в заданном отношении 3:2.

Рисунок 11.5

Точка К1 (прямая К1К0 параллельная В1В0), в соответствии с теоремой Фалеса, делит отрезок А1В1 в том же отношении. Фронтальная проекция К2 точки найдется по соответствию на А2В2.

11.2 Плоскости

Многие задачи, связанные с чертежами плоскостей, удобнее решать, кода плоскости заданы следами, что бывает не всегда. Проиллюстрируем возможность перехода от задания плоскости пересекающимися прямыми к заданию следами.

Этот переход базируется на определении следов прямых (рисунок11.6).

Рисунок 11.6 - Следы прямой.

Точки пересечения прямой с плоскостями проекций получили называние следов. Очевидно, что следы прямой, лежащей в плоскости, должны лежать на соответствующих следах этой плоскости (рисунок 11.7).

Следы плоскости Q, заданной пересекающимися

прямыми АВ и АС, могут быть найдены следующим образом.

Рисунок 11.7 - Следы прямых и плоскости

След Q1	определяется двумя точками (М и					),
					М
горизонтальными	следами прямых CD и AB, соответственно.
След Q2 определяется двумя точками (N и		N	),
фронтальными следами прямых CD и AB.

Правильность построения проверяется по точке пересечения следов (Qх).

Рисунок 11.8 - Точки и линии в плоскости Прямые и точки, расположенные в проецирующих плоскостях, рассмотрены на рисунке 11.8. В качестве

проецирующей плоскости взята горизонтально - проецирующая плоскость.

Горизонтальная проекция объекта, лежащего в этой плоскости, будет совпадать с горизонтальным следом этой плоскости (рисунок 11.8).

Горизонтальная проекция объекта, лежащего в горизонтально - проецирующей плоскости, не определяет положение его в пространстве. Фронтальная же проекция объекта, однозначно определяет положение его в пространстве.

Аналогичное заключение может быть сделано и для фронтально - проецирующей плоскости.

Построение отрезка прямой в профильно - проецирующей плоскости, заданной следами, показано на

рисунке 11.9. Принадлежность прямой АВ такой Р плоскости может быть определена по принадлежности следов (М и N) прямой следам Р1 и Р2 этой плоскости.

Рисунок 11.9

Задача на принадлежность точки D плоскости и здесь сведется к определению принадлежности ее прямой этой плоскости (например, АВ, в соответствии с рисунком 11.9).

Пример построения точки, лежащей в осевой плоскости,показан на рисунке 11.10.

Плоскость, проходящая через координатную ось, называется осевой. Если эта плоскость делит двугранный угол, образованный плоскостями проекций, пополам, то такая осевая плоскость называется биссекторной.

Плоскость задана следами и точкой С. Решение сводится к построению прямой t, пересекающей ось Х в

точке М и проходящей через точку С.

Рисунок 11.10 - Точка в осевой плоскости Иногда вызывает затруднение построение главных

линий плоскости , если следы заданы как на рисунке 11.11.

Рисунок 11.11 - Горизонтали

Традиционно к главным плоскости относят и линии наибольшего наклона (ската) - прямые перпендикулярные к линиям уровня этой плоскости (следам).

Рисунок 11.12 - Линия наибольшего ската

Эти прямые определяют углы наклона произвольной плоскости к плоскостям проекции. Для этого достаточно найти истинные величины отрезков линий наибольшего

ската. Например (рисунок 11.12), α - угол наклона плоскости Р к плоскости проекции П1.

К характерным задачам нужно отнести и построение линии пересечения плоскостей, когда точка пересечения одноименных следов не может быть получена в пределах чертежа (рисунок 11.13).

Рисунок 11.13

Рисунок 11.14 - Условие задачи

Известно, что три плоскости всегда пересекаются в точке. Это и служит отправным моментом для отыскания

точек линии пересечения двух плоскостей Q и Р. Проводится вспомогательная плоскость S, параллельная плоскости проекции (например, П1), которая пересекает Q и Р по горизонталям. В силу того, что эти горизонтали лежат в одной плоскости S то они,

пересекаясь, дают точку N общую для Q, Р и S. И, следовательно, ее можно принять за точку линии пересечения плоскостей Q и Р. Вторая точка линии

пересечения MN может быть найдена аналогично или как точка пересечения соответствующих следов.

Поэтапное решение задачи на построение линии пересечения двух плоскостей общего положения, заданных треугольниками, показано на рисунках 11.1411.17

Для нахождения линии пересечения дважды решается задача на построение точки встречи прямой с плоскостью.

Рисунок 11.15 - Нахождение общей точки М

Рисунок 11.16 - Нахождение общей точки N

На рисунке 11.15 показано построение точки встречи прямой DK с плоскостью треугольника АВС. Прямая DK заключается в горизонтально -проецирующую плоскость S. Находится линия пересечения плоскости S и треугольника АВС (линия 11-21, 12-22). На

пересечении линии 12-22 с прямой А2-В2 отмечается точка М2 - фронтальная проекция точки встречи. Затем

строится ее горизонтальная проекция.

Аналогично находится вторая общая точка N - точка встречи прямой АВ с плоскостью треугольника DEK (как показано на рисунке 11.16). Затем стоится линия пересечения плоскостей - линия МN.

Рисунок 11.17 - Определение видимости треугольников На рисунке 11.17 определяется видимость

треугольников методом конкурирующих точек. Точки 1 и 5 позволяют определить видимость сторон треугольников на горизонтальном поле проекций (Z5>Z1), точки 6 и 7 -

на фронтальном (y6>y7).

Весьма распространены и задачи на отыскание истинных величин плоских фигур. Решение здесь может быть, в отдельных случаях, получено вращением фигуры вокруг оси, параллельной плоскости проекций до

положения параллельного плоскости П1 или П2.

Проиллюстрируем это вращением АВС вокруг его горизонтали АD до параллельности плоскости П1 (рисунок 11.18).

ВАВС вершина А располагается на оси АD и

поэтому в процессе вращения остается на месте. Вершины В и С в процессе вращения движутся по дугам окружностей, лежащих в плоскостях, перпендикулярных оси вращения АD.

В силу выше сказанного и теоремы о проецировании прямого угла, перпендикуляры, опущенные из

горизонтальных проекций точек В1 и С1 на горизонтальную проекцию оси вращения А1D1, могут быть

приняты за проекции радиусов вращения точек В и С.

Истинная величина радиуса вращения ОВ может быть определена по методу прямоугольного треугольника