линиях каркаса поверхности.

В геометрии выделяют непрерывно топографические поверхности, образованные непрерывным множеством линий уровня. Эти поверхности широко применяют в авиации, судостроении, автомобилестроении, архитектуре и др.

Определитель такой поверхности состоит из проекций однопараметрического семейства линий уровня в какой-либо одной плоскости проекций и закона распределения линий семейства в пространстве (рисунок 8.20).

Порядок конструирования такой поверхности следующий.

В одной из плоскостей проекции, задается однопараметрическое семейство линий q.

Затем в пространстве выбирается распределяющая линия m.

И последнее, устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками "распределяющей" линии m и каждой линией семейства qi.

8.4Поверхности и позиционные задачи

Вопрос о принадлежности точки и линии поверхности был рассмотрен выше. Остановимся на задачах по определению линии пересечения поверхностей и точек пересечения линии с поверхностью.

8.4.1 Сечение поверхности плоскостью

Начнем с рассмотрения пересечения с варианта пересечения многогранника плоскостью.

Рисунок 8.21

Для построения сечения существуют два подхода: фиксируются точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью или определяются линии пересечения граней с секущей плоскостью.

В сечении четырехгранной призмы плоскостью получается четырехугольник (рисунок 8.21). Вершины этого четырехугольника можно рассматривать, как точки

пересечения ребер призмы с плоскостью Р.

В силу того, что призма занимает положение проецирующей поверхности, все ее ребра суть проецирующие прямые (в соответствии с рисунком 8.21 - горизонтально - проецирующие). И задача сводится к

отысканию точек пересечения (1, 2, 3 и 4)

проецирующих прямых (ребер) с плоскостью Р. Объединение соответствующих проекций позволяет получить проекции плоского сечения.

Рисунок 8.22

Аналогично может быть получено сечение пирамиды плоскостью. Например, пирамиды АВСS плоскостью

общего положения Р (рисунок 8.22).

В силу того, что ребра пирамиды являются линиями общего положения, задача сводится к отысканию точек

пересечения линий общего положения АS, ВS и СS с

плоскостью Р.

Объединение соответствующих проекций позволяет

получить проекции плоского сечения 123. Представление поверхностей вращения, как

многогранников с бесчисленным числом сторон, приводит к мысли о том, что сечение поверхности вращения плоскостью может быть получено аналогичным же образом.

Сечением такого цилиндра плоскостью будет эллипс, в случае прохождения плоскости через ось вращения вырожденный (две параллельные прямые).

Рисунок 8.23 - Сечение цилиндра плоскостью

Рассмотрим возможность построения сечения

проецирующего цилиндра Σ плоскостью общего положения Р (рисунок 8.23). В силу начальных условий, одна проекция сечения уже определена (11,…, 121). В этом

случае задача сводится к отысканию точек сечения, лежащих на поверхности цилиндра.

Большая ось эллипса лежит в горизонтально

проецирующей плоскости Q P1, проходящей через ось

вращения.

Варианты вида линий пересечения конуса плоскостью рассмотрены выше (в разделе 4.3). Здесь рассматривается механизм построения линии на

поверхности конуса. Пусть конус вращения Σ пересекается плоскостью общего положения Р. В соответствии с рисунком 7.5 в сечении должна получиться замкнутая кривая - эллипс.

Крайние точки кривой, лежат на очерковых образующих, и могут быть найдены, как точки их

(образующих) пересечения с плоскостью Р. Большая ось эллипса определится аналогично

предыдущей задаче. Она лежит в горизонтальнопроецирующей плоскости Q P1, проходящей через ось вращения конуса на линии пересечения Q и P .