МАТЕМАТИКА 1 СЕМЕСТР АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

для функции

y x , заданной параметрическими

Пример 6.9. Найти yx ,

yxx

уравнениями

x cos3 t,

y sin3 t .

Решение. Используем полученные формулы:

yt

3sin2 t cos t

tg t ,

yx

xt

3 cos2 t sin t

yx

tg t

1/ cos2 t

1

t

t

.

yxx

xt

xt

3cos2 t sin t

3cos4 t sin t

Примеры для самостоятельного решения

Найти

от функции y y(x) , заданной параметрически

yxx

а)

x t sin t

б)

x 2 t t 2

в)

x e t

cos t

y 1 cos t,

y 3t t3,

y e t

sin t.

Ответ:

а)

1

;

б)

3

; в)

2

.

yxx

yxx

4 4 t

yxx

(1 cos t)2

e t (cos t sin t)3

6.12. Дифференциалы высших порядков

Пусть

y y x дифференцируемая функция независимого аргумента

x .

Тогда дифференциал функции

d y x y x dx

,

(6.6)

причем dx x не зависит от x . Дифференциал

d y x при фиксированном

dx

является

функцией от

x . Поэтому можно рассмотреть дифференциал от этой

функции

d d y x ,

который называется

дифференциалом второго порядка

функции

y x и обозначается

d 2 y x . Аналогично определяются дифференциа-

лы третьего и более высоких порядков.

Определение дифференциалов высших порядков

Дифференциалы высших порядков определяются при фиксированном

dx

следующим образом:

.

d 2 y d dy ,

d 3 y d d 2 y , , d n y d d n 1 y

Вычисление дифференциалов высших порядков

Выведем формулы для вычисления дифференциалов высших порядков:

d 2 y d dy d y dx d y dx y dx dx y dx 2 , то есть

	d 2 y y dx 2	.	(6.7)
Аналогично вычисляется дифференциал любого			n −го порядка:

d n y y n x dx n .

31

Дифференциалы сложной функции

Приведенные выше формулы справедливы только, если x независимая переменная. Теперь рассмотрим случай, когда y f x и x x t зависимая пере-

менная . Тогда функция y f x t сложная функция аргумента t и для ее

дифференциала получим: dy yt dt yx xt dt yx xt dt yx dx .
Форма дифференциала первого порядка			dy yx dx		имеет один и тот же вид

(т.е. инвариантна) и в случае, когда x зависимое переменное, и в случае, когда

xнезависимое переменное.

7.Теоремы о среднем

7.1. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши

Рассмотрим ряд теорем, имеющих большое теоретическое и прикладное значение. В их формулировке фигурирует некоторая «средняя» точка, поэтому их называют теоремами о среднем. Иногда, в силу их значимости, эти теоремы называют основными теоремами дифференциального исчисления.

Теорема Ролля. Пусть функция		f x
1)	непрерывна на отрезке a, b ,	2) дифференцируема на интервале	a,b ,
3)	на концах отрезка принимает равные значения f a f b .
Тогда найдется хотя бы одна точка c a, b , в которой производная			f x об-
ращается в нуль, т.е. f c 0 .

Доказательство. По свойству функций, непрерывных на отрезке, функция f x на отрезке a, b принимает наибольшее значение M и наименьшее значение m .

Возможны два случая. а ). Если M m , то функция	f x	постоянна на a, b и,
значит, ее производная f x 0 в любой точке отрезка	a, b .
б ). Если M m , а по условию f a f b , то функция	f x	хотя бы одно из зна-

чений M или m принимает внутри отрезка a, b

в точке c a, b . Пусть , напри-

мер, f c m . Тогда

f c f c x для любых достаточно малых x . Поэтому

f c f c x f c 0

и, значит,

f c

0

при x 0 ,

f c

0

при x 0 .

x

x

Так как функция f x

дифференцируема в точке c , то существует производная

f c , причем f c lim

f c

lim

f c

0 . С другой стороны,

x

x 0

x 0

x

f c lim

f c

lim

f c

0 .

x

x

x 0

x 0

Отсюда следует, что f c 0 .

32

	Геометрический смысл теоремы Ролля	y		C1
				M
	Если выполнены условия теоремы, то на гра-
	фике функции y f x найдется хотя бы одна
	точка, в которой касательная к графику функ-				C2
	ции параллельна оси OX . На рис.19 таких то-
	чек две : это точки C1 и C2 .				m
	Следствие. Если функция f x удовлетворяет
		o	a	c1	c2	b
	условиям теоремы Ролля и f a f b 0 , то

найдется хотя бы одна точка c a, b , в которой

Рис.19

f c 0 . Другими словами, между двумя нуля-

ми функции найдется хотя бы один нуль производной.

	Теорема Лагранжа. Пусть функция				f x
	1) непрерывна на отрезке a, b ,			2) дифференцируема на интервале		a,b .
	Тогда найдется хотя бы одна точка c a, b , такая, что
	f c	f b f a		или	f b f a f c b a .	(7.1)
		b a

Формулу (7.1) называют формулой конечных приращений Лагранжа.

Доказательство. Введем вспомогательную функцию Ф x f x x . Подберемтак, чтобы Ф a Ф b . Тогда

f a a f b b ,		f b f a	.
		b a

Вспомогательная функция Ф x удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

Ф x непрерывна на	отрезке a, b , дифференцируема на				интервале a,b и
Ф a Ф b . Поэтому	по теореме	Ролля найдется точка			c a, b такая, что
Ф c 0 . Тогда Ф c f c 0 ,		f c	f b f a	.
			b a

Геометрический смысл теоремы Лагранжа

	Отношение	f b f a	равно угловому коэф-
		b a

фициенту секущей AB (рис.20), а f c равна

угловому коэффициенту касательной к кривой y f x в точке с абсциссой c . Поэтому из тео-

ремы следует, что на кривой y f x найдется

хотя бы одна точка C, в которой касательная к кривой параллельна секущей AB . На рис. 20 таких точек две: это точки C1, C2 .

y

С1

B

C1 С2

C2

A

o

a c1

c2 b

Рис.20

x

x

33

Следствие. Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция постоянна на этом промежутке.

Доказательство. Пусть			f x 0 на интервале a,b . Рассмотрим две произволь-
ные	точки x1 x2	из	интервала a, b . Тогда	по теореме Лагранжа
f x2 f x1 f c x2		x1 , где c некоторая точка из		промежутка x1, x2 . Так
как	f c 0 , то f x2	f x1 0 . Поэтому f x 2 f x1		для произвольных точек

x1, x 2 из a,b , а значит, f x постоянна на a,b .

Теорема Коши. Пусть функции

f x и g x

1) непрерывны на отрезке a, b ,

2) дифференцируемы на интервале a,b ,

3)

g x 0

на a,b . Тогда найдется хотя бы одна точка

c a, b , такая, что

f b f a

f

c .

g b g a

g c

7.2. Правило Лопиталя

0

Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей вида

или

, выводится с помощью теоремы Коши и использует производные.

0

Теорема

Лопиталя. Пусть

в

выколотой

окрестности

точки a

функции

f x , g x дифференцируемы и

g x 0 .

Тогда,

в случае неопределенности

0

или

предел отношения функций при x a равен пределу отношения

0

их производных, если последний предел существует:

lim

f x

lim

f

x

.

g x

x a

x a

g x

Доказательство проведем для

частного случая,

когда точка a −

конечна и

f a g a 0 (неопределенность

0

). Функции

f x , g x

будут непрерывны

0

на отрезке a, x , лежащем в окрестности точки a , дифференцируемы на интер-

вале a, x

и

g x 0 на

a, x .

Поэтому можно применить теорему Коши:

f x f a

f

c

, где c a, x . Учитывая, что f a g a 0 , получим:

g c

g x g a

f x

f

c

.

g x

g c

Перейдем в этом равенстве к пределу при x a , а значит, и при c a :

lim

f x

lim

f c

lim

f x

.

g c

x a

g x

c a

x a

g x

34

f x , g x .

Здесь мы использовали тот факт, что предел функции не зависит от того, какой буквой обозначен аргумент.

Замечание. Если f x	и g x − бесконечно малые или бесконечно большие
при x a , то снова получим неопределенность вида		0		или			и можно по-
		0

вторно применить правило Лопиталя, если будут выполняться условия теоремы для функций

Пример 7.1. При a 0 имеем:

lim

ln x

lim

ln x

lim

1/ x

lim

1

0 .

a

xa

a 1

a

x x

x

x

a x

x

a x

Итак, при x функция ln x

растет медленнее,

чем xa a 0 .

Пример 7.2. При a 1 имеем:

xn

xn

n xn 1

.

lim

lim

lim

x

x

x a

x ax

x a

ln a

Если n 1, то снова получаем неопределенность

и снова применяем правило

Лопиталя и т.д.:

lim

xn

lim

n n 1 xn 2

lim

n n 1 1

0 .

ax ln a

a x ln a n

x a x

x

2

x

Итак, при x функция x n

растет медленнее, чем a x a 1 .

Использование правила Лопиталя для раскрытия других видов неопределенностей

Неопределенности вида 0 ,									,	1		,	0		сводят к неопреде-
ленностям вида	0			,				путем тождественных преобразований и затем при-
	0

меняют правило Лопиталя.

Пример 7.3. Найти пределы:

1

1 t g

x

а)

lim

tg

x

ln

,

б) lim

.

x 0

x

x 0 x

Решение. а). Имеем неопределенность вида

0 . Сведем ее к неопределенно-

сти

и применим правило Лопиталя:

lim

tg

ln

1

0

lim

ln x

lim

ln x

lim

1/ x

x

1

1

x

0

x

0

x

0

ctg

x

x

0

x

ctg

x

2

sin

x

sin2

x 2

2

sin

x

x

x

lim

2

lim

lim

sin

x 2 1 0 0 .

x

x 0

x 0

x

x 0

sin

1 .

Здесь мы воспользовались первым замечательным пределом

lim

x

x 0

x

35

б). Имеем неопределенность вида			0 . Используем основное логарифмиче-
						ln 1/ x tg			lim tg	x ln 1/ x
							x
ское тождество: lim 1/ x tg		0
	x				lim e				e x 0		e0 1.
x 0					x 0

Здесь мы воспользовались пределом, вычисленным в пункте а).

Примеры для самостоятельного решения

tg x x

1

1

1

Вычислить пределы:

1. lim

; 2.

lim

;

3. lim (cos x) sin

2

2x.

x sin x

ex 1

x 0

x 0

x

x 2

Ответы: 1) 2 ; 2)

0,5;

3) e 1/ 8 .

7.3. Формула Тейлора

Во многих прикладных задачах требуется заменить сложную функцию f x

многочленом Pn x , близким к		f x в окрестности точки x0 , в том смысле, что
			.
	Pn (x0 ) f x0 ,	Pn (x0 ) f x0 ,..., Pn n (x0 ) f n x0		(7.2)

Введем ряд понятий.

1). Многочлен Pn x , удовлетворяющий условиям (7.2), называется много-

членом Тейлора n −го порядка функции f x в окрестности точки x0 .

2). Разность между функцией f x и её многочленом Тейлора Pn x

обозна-

чают Rn x :

Rn x f (x) Pn x

f (x) Pn x Rn x .

3). Формула

называется формулой Тейлора n го

f (x) Pn x Rn x

порядка для функции

f x . Здесь Pn x

есть многочлен Тейлора n го порядка

функции f x ;

Rn x - остаточный член формулы Тейлора.

Теорема 7.1 (о виде многочлена Тейлора).

Пусть функция

f x

дифференцируема

n

раз в окрестности точки

x0 . Тогда

многочлен Тейлора n го порядка функции

f x

имеет вид:

P (x) f (x )

f (x0 )

x x

...

f n (x0 )

x x n .

(7.3)

n

0

1!

0

n!

0

Доказательство. Будем искать многочлен Pn x

в виде

Pn x a0 a1 x x0 a2 x x0 2 a3 x x0 3 an x x0 n .

Найдем производные этого многочлена

	P	(x) a 2a x x				3a	x x	2	...	na	x x	n 1 ,
	n		1	2	0	3	0			n	0
P	(x) 2a 3 2a			x x	4 3a		x x	2	...	n n 1 a		x x	n 2	,
n		2	3	0		4	0				n	0
....................................................................................................................
			P n (x) n n 1 n 2 ...						1 a n! a .
				n						n	n

Вычислим эти производные в точке x0 и воспользуемся равенствами (7.2):

36

Pn x0 a0 ;

Pn x0 f x0

a0 f x0 ;

Pn x0 a1;

Pn x0 f x0

a1 f x0 ;

Pn x0 2a2 ;

Pn x0 f x0

a2

f x0

;

2!

Pn x0 3 2 a3

; Pn (x0 ) f (x0 )

a3

f (x0 )

,

3!

...............................................................................

f n (x0 )

P n

(x ) n! a ;

P n

(x ) f n (x )

a

n

.

n

0

n

n

0

0

n!

Подставив коэффициенты a 0			, a1,..., a n в многочлен Pn x , получим формулу (7.3).
Теперь формулу Тейлора n го порядка можно записать в виде
	f (x) f (x )		f (x0 )	x x	...	f n (x0 )	x x	n R (x)	.	(7.4)
	0		1!	0		n!	0	n

При x0 0 формула Тейлора называется формулой Маклорена и имеет вид:

f (x) f

(0)

f (0)

x

f 0

x2 ...

f n (0)

xn R (x)

.

(7.5)

1!

2!

n!

n

Рассмотрим вид остаточного члена Rn x формулы Тейлора.

Теорема 7.2 (об остаточном члене в форме Пеано).

Пусть функция

f x

дифференцируема n раз в окрестности точки x0 . Тогда ос-

таточный член формулы Тейлора имеет вид:

R n x o x x0 n

при x x0

(7.6)

и называется остаточным членом в форме Пеано.

Доказательство. Из определения многочлена Тейлора (7.2) следует, что

f x0 Pn (x0 ) 0,

f x0 Pn (x0 ) 0,

...,

f n x0 Pn n (x0 ) 0.

Тогда для остаточного члена

Rn x f (x) Pn x

получим:

R

n

x

0,

R

n

x 0,

R

x

0, . . . , R n

x

0 .

(7.7)

0

0

n

0

n

0

Учитывая это, вычислим

lim

Rn x

, используя n раз правило Лопиталя:

x x

n

x x0

Rn

0

lim

Rn x

0

lim

x

0

lim

Rn x

... lim

Rnn x

0.

n

x x

n 1

n n 1 x x

n 2

x x 0 x x

0

x x 0 n

0

x x 0

x x0

n!

0

x

0

0

Так как

lim

Rn

0 ,

то это означает, что

Rn x при

x x0

есть бесконечно

x x

n

x x 0

0

малая более высокого порядка, чем x x0 n , то есть R n x o x x0 n .

37

Рассмотрим еще один вид остаточного члена формулы Тейлора, дающий более точную оценку.

Теорема 7.3 (об остаточном члене в форме Лагранжа).

Пусть функция f x дифференцируема n 1 раз в окрестности точки x0 . Тогда остаточный член формулы Тейлора в этой окрестности можно записать в форме

R

n

(x)

f n 1 c

x x

n 1 ,

(7.8)

n

1 !

0

где с – некоторая точка между x и x0 .

Доказательство этой теоремы не приводим.

Пример 7.4. Вычислить число е

с точностью до 0,01.

f n (x) ex ,

Решение.

Рассмотрим функцию f (x) ex и x

0 .

С учетом того, что

0

f n (0) e0 1,

формула Тейлора (7.5)

примет вид:

e x 1

x

x2

...

xn

R

n

x .

Запишем остаточный член Rn x

1!

2!

n!

в форме Лагранжа по формуле (7.8), учитывая,

что x

0 ,

f n 1 (x) ex :

0

R

n

(x)

f n 1 (c)

(x x )n 1

e c

xn 1.

n 1 !

0

n 1 !

При x 1 формула Тейлора примет вид:

e1 1

1

1

...

1

R n 1 ,

2!

e c

1!

n!

где R

1

, причем точка c

находится между x 1 и x 0 , то есть 0 c 1.

n

n 1 !

0

Тогда

e c e1

3 .

Подберем

n

так,

чтобы

Rn 1 0, 01 .

Так

как

R n (1)

e c

3

0.01,

то n 1 ! 300. Это неравенство выполняется при n 5

n 1 !

n 1 !

(4! 1 2 3 4 24, 5! 24 5 120,

6! 120 6 720. ). Итак, с погрешностью 0,01

e 1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

2, 72.

3!

2

1!

2!

4!

5!

6

24

120

Запишем формулу Тейлора для некоторых элементарных функций при x0 0 .

1). Пусть f (x) ex и

x 0 . Вычислим производные функции ex

в точке x и в

0

точке x : f n (x) ex ,

f n (0) 1.

Используя формулы (7.5) и (7.6), получим:

0

ex 1

x

x2

...

xn

o xn .

.

(7.9)

1!

2!

n!

В частности, при n 1

и n 2 имеем:

x2

ex 1 x o (x),

ex 1 x

o (x2 ).

2

38

2). Пусть f (x) sin x и x0

0 . Тогда

f x cos x, f x sin x,

f x cos x,... f 0 1,

f 0 0,

f 0 1,... .

Используя формулы (7.5) и (7.6) при n 2 k , получим:

x3

x5

x2k 1

sin x

x

... ( 1)k 1

o x2k

.

(7.10)

3!

5!

2k 1 !

В частности, при k 1

и k 2 имеем:

sin x x o (x2 ), sin x x

x3

o (x4 ) .

3!

1 x .

3). Аналогично получается формула Тейлора и для функций cos x,

ln 1 x ,

cos x 1

x2

x4

... ( 1)k

x 2 k

o x2k 1

.

(7.11)

2k !

2!

4!

В частности, при k 1 имеем:

cos x 1

x2

o (x3 ).

2

ln

1 x

x

x2

x3

... ( 1)n 1

xn

o (xn )

.

(7.12)

2

3

n

В частности, при n 1 имеем:

ln 1 x x o ( x).

(7.13)

1 x 1 x

1

x2 ...

1 ... n 1

xn o(xn ).

2!

n!

В частности, при n 1 имеем:

1 x 1 x o (x).

(7.14)

Формулу Тейлора иногда удобно использовать для отыскания пределов.

Пример 7.5. Найти:

lim

cos x e x 2 / 2

.

x 0

x4

Решение. Имеем неопределенность

0

. Для ее раскрытия воспользуемся фор-

0

мулой (7.11) при k 2 и формулой (7.9)

при n 2 , причем в формуле (7.9) заме-

ним x на

x2

:

cos x 1

x2

x4

o (x4 ) 1

x2

x4

o x4

,

2

2!

4!

2

24

2

x2

1

x2

2

x2

2

x2

x

4

e x

o

1

/ 2 1

o

x4

.

2

2!

2

2

2

8

Учитывая эти разложения, вычислим предел:

		x 2				x	2		x	4		x	2		x	4							o x
				1							o (x4 ) 1						o (x4 )		1		x	4		4
	cos x e	2	2 24									2		8					12									1
lim				lim														lim											.
	x4										x4												x4				12
x 0				x 0														x 0

39

Примеры для самостоятельного решения

1. Разложить многочлен P (x) x4

7x3 x2 2x 5

по степеням (x 1)

4

Ответ: P (x) 16 29(x 1) 28(x 1)2

11(x 1)3 (x 1)4 .

4

2. Написать формулу Тейлора 2–го порядка для функции

а)

f (x) e2x в окрестности точки x0

4 .

б)

f (x) ln 4 x2

в окрестности x0

0 .

Указание. Воспользоваться формулой Тейлора для функций ex , ln(1 x)

и x 0 .

0

22

2

2 x 4

x 4

Ответы: а) e2x e8 1

2!

x 4)2

o

, б)

ln 4 x2 ln 4 x42 o x2 .

8. Исследование функций с помощью производной

Одним из приложений производной является применение производной к исследованию функции и построению графика функции. Мы рассмотрим такие характеристики функции, как монотонность, экстремум, выпуклость, а также асимптоты графика функции.

8.1.Монотонность функции

Кмонотонным функциям относятся функции возрастающие или убывающие на промежутке. Напомним, что функция возрастает (соответственно убывает) на интервале a,b , если для любых точек x1, x 2 из этого интервала из нера-

венства x1 x 2 следует неравенство f x1 f x 2 (соответственно f x1 f x 2 ).

Теорема 8.1 (критерий монотонности).

Дифференцируемая функция f x возрастает (соответственно убывает) на ин-

тервале a,b тогда и только тогда, когда					f x 0 (соответственно			f x 0 ) на
интервале a,b .
Доказательство. 1). Пусть функция f x					возрастает на a,b .
Если x 0 , то	f x x f x ,			f x f x x f x 0		и	f x		0 .
							x
Если x 0 , то	f x x f x ,			f x f x x f x 0		и	f x		0 .
							x
		f x								f x
Таким образом,			0 и для x 0 , и для x 0 . Тогда			f x lim					0 ,
										x
		x					x 0

где x произвольная точка из интервала a,b .

40