Неопределенный интеграл1

Пример 9. Вычислить ò x(2x + 3)11dx .

2x + 3 = t

ò x(2x + 3)11dx =

x =

t - 3

= ò

t - 3

t11

1

dt =

1

ò(t12 - 3t11)dt =

2

2

2

4

dx = 1 dt

2

1 t13

t12

1

1

=

4 13 - 3

12 + C =

(2x

+ 3)13 -

4 (2x

+ 3)12 + C .

52

Пример 10. Вычислить òcos3x dx .

Умножим и поделим подынтегральное выражение на число 3 и запишем

cos 3x dx =

1

cos 3x × d(3x). Применив формулу 6 таблицы интегралов, получим

3

òcos3x dx = ò

1

cos 3x d(3x)=

1

òcos3x d(3x)=

3x = t

=

1

òcost dt =

3

3

3

=

1

sin t + C =

1

sin 3x + C .

3

3

Пример 11. ò

dx

=

1

ò

d(3x)

=

1

ò

d(3x + 5)

=

1

ln

3x + 5

+ C .

3x + 5

3 3x + 5 3 3x + 5

3

Здесь под знаком дифференциала мы добавили слагаемое 5, так как на величину производной (и дифференциала) оно не влияет.

Пример 12. Найти ò(2x + 3)11dx .

		1 d(2x) =	1 d(2x + 3)		=	1	ò(2x + 3)11d(2x + 3) =
Имеем ò(2x + 3)11dx =	dx =
		2	2			2

=1 (2x + 3)12 + C .

2 12

Пример 13. Найти ò tg x dx .

Имеем

tg xdx =

sin x

dx =

sin xdx = d(

sin xdx)= -d(cos x)

= -

d(cos x)

= - ln

cos x

+ C .

ò

ò cos x

ò

11

ò

cos x

Здесь мы воспользовались «подведения под знак дифференциала» функ-

ции sin x.

Пример 14. ò

ln x dx

dx

æ

ò

1

ö

= d(ln x)

= òln x d(ln x) =

1

2

x + C .

=

= dç

dx÷

ln

x

x

x

2

è

ø

Пример 15. Заметим, что

f (ln x)dx

dx

ò

=

= d(ln x)

=

ò f (ln x)d(ln x)=

ln x = t

= ò f (t)d(t).

x

x

sin xdx

Пример 16. Вычислить ò

.

1+ cos2

x

Имеем ò

sin xdx

=

sin xdx = -d(cos x)

= -ò

d(cos x)

=

cos x = t

=

1+ cos2 x

1+ cos2 x

dt

+ C = -ln

cos x +

+ C .

= -ò

= -ln

t +

1 + t2

1 + cos2 x

1+ t2

exdx

Пример 17. Вычислить ò

.

(ex +1)2

Имеем

ò

exdx

=

ò

d(ex

+1)

= -

1

+ C .

(ex +1)2

(ex +1)2

ex +

1

Пример 18. Вычислить ò

dx

.

x

x

2 -1

dx

dx

sgn xdx

dx

æ 1

ö

ò

2

= ò

= ò

=

x

=

x

=

x

= x ×sgn x

=

= -dç

÷

=

x2

x x2 -1

x

x

1

x

2

1

è x

ø

æ

1 ö

1-

x2

1-

x2

dç

÷

= - sgn xarcsin 1

1

= -sgn xò

è x ø

= -arcsin

+ C .

1 -

1

x

x

x2

Пример 19. Найти интеграл ò

dx

.

x(2 + x)

Из неравенства x(2 + x)> 0 находим область определения подынтеграль-

ной функции. При x > 0 имеем

12

dx

2dx

dx

= d(

)

d(

)

=2ln(

+

)+ C .

ò

=

ò

=

= 2ò

x

x

x

x + 2

x(2 + x)

2 x 2 + x

2 x

2 + (

)2

x

Если x < −2 , то аналогично,

d(

)

dx

dx

ò

ò

= -2ò

- x - 2

+ C .

=

= 2ln

- x - 2

+

- x

x(2 + x)

- x - 2 - x

- x - 2 + 2

Или, объединяя оба решения, получим

dx

ò

= 2sgn x ln(

x

+

x + 2

)+ C , x (− ∞, − 2)U (0, + ∞).

x(2 + x)

Приведем наиболее часто встречающиеся формулы «подведения под знак

дифференциала»:

1

æ

2

ö

e

x

dx = d(e

x

),

dx

= d(arctg x),

xdx =

dç x

÷ ,

2

1 + x2

è

ø

x

2

dx =

1

æ

3 ö

sin xdx = −d(cos x),

dx

= d

(ln x)

, x > 0,

3

dç x

÷ ,

x

è

ø

3

1

æ

4 ö

dx

cos xdx = d(sin x),

= d(

x ),

x

dx =

4

dç x

÷ ,

è

ø

2 x

dx

æ 1 ö

dx

= d(tg x),

dx

(arcsin x).

= -dç

÷ ,

= d

x2

cos2 x

è x ø

1- x2

Формула интегрирования по частям

ТЕОРЕМА. Если u = u(x) и v = v(x) дифференцируемые на X функции и

′

существует

первообразная, тогда

на X справедлива

для функции u(x)v (x)

формула интегрирования по частям

òudv = uv − òvdu

.

(14.4)

Доказательство. Имеем d(uv)= udv + vdu . Интегрируя обе части равен-

ства, получим uv = òudv + òvdu , откуда легко следует формула (14.4).

Использование:

1. Подынтегральное выражение содержит в виде множителя функцию

P (x)e αx

, P (x)cos α x ,

P (x)sin α x . Здесь следует ввести u = u(x)= P (x).

n

n

n

13

n

2. Подынтегральное выражение содержит в виде множителя функцию ln x, arcsin x , arctg x и так далее. Эти функции, как правило, обозначают

u= u(x).

3.Подынтегральное выражение содержит в виде множителя функцию eαx cosβx , eαx sin βx , sin(ln x), cos(ln x) и так далее.

Замечание. Использование формулы интегрирования по частям целесо- образно в тех случаях, когда операция дифференцирования упрощает один из сомножителей (его обозначают u = u(x)), а операция интегрирования не услож-

′

няет другой (его обозначают d v = v (x)d x ).

Пример 20. Вычислить ò x × cos 2x dx .

Выберем

u(x)= x ,

dv(x)= cos 2x dx и

проведем вычисления согласно

(14.4):

ò x cos2x dx =

u = x,

du =1× dx,

dv = cos2x dx,

v = òcos2x dx =

1

sin 2x

=

2

= x ×

1

sin 2x - ò

1

sin 2x dx =

1

x× sin 2x +

1

cos2x + C .

2

2

2

4

При отыскании v(x)

постоянную интегрирования положили равной нулю.

Можно проверить, что введение произвольной постоянной C ¹ 0 при нахожде- нии v(x) не изменит вида окончательного ответа.

Замечание. Иногда для вычисления интеграла приходится применять формулу интегрирования по частям последовательно несколько раз.

Пример 21. Вычислить ò(x2 - 2x)e−5xdx .

РЕШЕНИЕ. Применяя формулу (1) дважды, получим

ò(x2 - 2x)e

−5xdx =

u = x2 - 2x,

du = (2x - 2)dx,

=

dv = e

−5x

dx , v

= òe

−5x

dx = -

1

e

−5x

5

æ

1

ö

æ

1

ö

= (x2

- 2x)ç

-

÷e−5x - òç-

÷e−5x (2x - 2)dx =

5

5

è

ø

è

ø

14

x2 − 2x

2

òe−5x (x −1)dx =

x −1 = u,

du = dx

= −

e−5x +

dv = e−5xdx, v = −

1

e−5x

=

5

5

5

x

2 - 2x

2 é

æ

1

ö

æ

1

ö

ù

= -

e−5x +

ê(x -

1)ç

-

÷e−5x -

òç

-

÷e−5xdxú

=

5

5

5

5 ë

è

ø

è

ø

û

æ

x2

2x ö

æ 2

2

ö

2

=

ç

-

+

÷e−5x

- ç

x -

÷e−5x -

e

−5x + C =

ç

5

5

÷

è 25

25 ø

125

è

ø

æ

x

2

8x

8

ö

=

ç

-

+

+

÷e−5x

+ C .

5

25

ç

125

÷

è

ø

u = ln x,

du =

1

dx

=

xα +1

ln x - ò

xα +1

Пример 22. ò xα ln xdx =

x

×

1

dx =

α +1

α +1

dv = xα dx,

v =

x

α +1

x

α + 1

1

æ

α+1

xα+1 ö

=

ç

ln x -

÷

+ C . (a ¹ -1).

ç x

÷

a +1è

a +1ø

Сравните решение этого примера с решением примеров 14, 15 предыдущего пункта.

Пример 23. òPn (x)eαxdx =

u = Pn (x),

.

dv =eαx dx

Пример 24. Вычислить òarctg x dx .

òarctg x dx =

u = arctg x,

du =

dx

,

= x × arctg x - ò

x dx

=

1+ x2

1

2

dv = dx,

v = x

+ x

= x × arctg x - 12 ln(1 + x2 )+ C .

Интегрирование по частям иногда эффективно для вычисления интегра-

лов от тригонометрических функций, в частности, для òsinα x × cosβ x dx , в

случае, когда один из показателей – нечетное отрицательное целое число.

Пример 25. Вычислить ò sin4 x dx . cos3 x

15

Множитель dv(x) выбираем так, чтобы в интеграле òv(x)du(x) степень функции

в

знаменателе

уменьшилась.

Полагая

dv =

sin x dx

,

имеем

cos3 x

ò

sin4 x

u = sin3 x,

du = 3sin2 x cos x dx,

dx =

dv = -

d cos x

,

v =

1

=

cos3 x

2cos2 x

cos3 x

=

sin3 x

- ò

3sin2 x cos x dx

=

sin 3

x

-

3

ò

sin 2 x

dx =

2cos2 x

2cos2 x

2 cos

2 x

2

cos x

sin3 x

3

ò

1- cos2

x

sin3 x

2 æ

æ x

p ö

ö

=

-

dx =

-

çln

tg ç

+

÷

- sin x÷ + C .

2cos2 x

2

cos x

2cos2

x

3

4

è

è 2

ø

ø

Иногда формула интегрирования по частям позволяет искомый интеграл выразить через некоторые функции и этот же интеграл. Полученное равенство является уравнением относительно искомого интеграла. Решив это уравнение, вычислим интеграл. Интегралы такого типа называют возвратными.

Пример 26. Вычислить I = ò

dx

.

3

x

sin

dx

1

d(- ctg x)

ctg x

æ

cos x ö

Решение. I = ò

= ò

= -

- ò- ctg x × ç

-

÷dx =

sin

3

sin x

sin x

sin

2

x

è

x ø

= -

cos x

- ò

cos2 x

dx = -

cos x

- ò

1- sin

2 x

dx = -

cos x

- I + ò

dx

.

sin

2

x

sin

3

x

sin

2

x

sin

3

x

sin

2

x

sin x

æ x

ö

dç

÷

2

2 ×

è

ø

æ

x

ö

2

x

dx

dx

cos

dç tg

2

÷

Найдем ò

= ò

= ò

2

= ò

è

ø

=

sin x

x

x

x

x

x

2sin

cos

2sin

cos

tg

2

2

2

2

2

cos2

x

2

Получили уравнение для значения I : I = -

cos x

- I

sin2 x

да окончательно имеем I = -

cos x

1

x

+ C .

+

ln

tg

2sin2

2

x

2

ln tg 2x + C .

			x		+ C . Отсю-
	+ ln	tg
			2

16

Пример 27. Вычислить I = òa2 + x2 dx , применяя интегрирование по частям, a – число, a ¹ 0 .

, dv = dx .

x dx

Полагаем u =

a2 + x2

Тогда du =

,

v = x . Применяя

a2 + x2

формулу

интегрирования

по

частям,

получим

I = x

- ò

x2dx

= x

- ò

x2

+ a2 - a2

a2 + x2

a2 + x2

dx =

a2 + x2

a2 + x2

dx + a2 ò

dx

= x

a2 + x2

- ò

a2 + x2

=

a2 + x2

= x

a2 + x2

- I + a2 ln

x +

a2 + x2

+ C .

Из уравнения I = x

a2 + x2

- I + a2 ln

x +

a2 + x2

+ C

находим инте-

грал I

dx =

x

+

a2

ln

x +

+ C

,

ò

a2 + x2

a2 + x2

a2 + x2

2

2

Интегралы

вида

òeαx cos β x dx

и

òeαx sin β x dx

вычисляются

аналогично, но после двукратного интегрирования по частям.

Пример 28. Вычислить I = òeαx sin βxdx .

I = òeαx sin b xdx =

eαx = u Þ du = aeαxdx

=

sin b xdx = dv Þ v = -

1

cosb x

b

= -

1

e

αx

cosb x +

1

òa cosb x e

αx

dx

=

u = eαx Þ du = aeαxdx,

=

1

b

b

dv = cosb xdx Þ v = b sin b x

1

αx

a æ 1

αx

a

òe

αx

ö

= -

e

cosb x +

ç

e

sin b x -

sin b xdx÷ =

b

b è b

b

ø

= -

1

e

αx

cosb x +

a

e

αx

sin b x -

a2

I + C.

b

b2

b2

17

Получим уравнение I = -

1

e

αx

cosb x

+

a

e

αx

sin b x -

a2

I + C ,

b

b2

b2

из которого находим искомый интеграл

αx

æ

1

αx

a

αx

ö

1

I = òe

ç

÷

sin b xdx = ç

-

e

cosb x +

e

sin b x÷ ×

+ C

=

b

2

2

è

b

ø 1+ a

.

b2

=

eαx

(asin b x - bcosb x)+ C.

a2 + b2

Аналогично вычисляется интеграл

òeαx cosb x dx =

eαx

(a cosb x + bsin b x)+ C.

a2 + b2

Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен

1. Интегралы вида ò

Mx

+ N

dx (a ¹ 0, b, c, M , N ÎR).

2

ax + bx + c

Найдем производную квадратного трехчлена и выделим ее в числителе:

Mx

+ N

(ax2 + bx + c)¢ = 2ax + b

M

(2ax + b)-

Mb

+ N

ò

= ò

2a

2a

dx =

dx =

2

ax

2

ax

+ bx + c

+ bx + c

M

(2ax + b)

N -

Mb

(2ax + b)dx = d (ax2 + bx + c)

=

ò

dx - ò

2a

dx =

=

2a

2

2

ax

+ bx + c

ax

+ bx + c

M

2

æ

Mb ö

dx

,

=

ln

ax

+ bx + c

+ ç N -

÷

2a

2a

ò ax2

è

ø

+ bx + c

где

æ

b ö

dx

dx

dç x +

÷

ò

= ò

=

ò

è

2a ø

=

ax2

+ bx + c

æ

2

b

b2

ö

b2

æ

b ö2

b2

aç x

+

x

+

÷ -

+ c

aç x +

÷

+ c -

2

2

2

ç

a

4a

÷

4a

è

2a ø

4a

è

ø

b

1

du

, где p2 =

=

u = x +

, du = dx

=

ò

D

, D = b2 - 4ac .

2a

a

u

2

2

2

± p

4a

18

Пример 29. ò

4x - 3

2

ö¢

= ò

2(2x - 2)+1

æ

dx =

ç x

- 2x + 6

÷

= 2x - 2

dx =

2

2

x

- 2x + 6

è

ø

x

- 2x

+ 6

= 2ln(x2 - 2x + 6)+

1

arctg

x −

1

+ C .

5

5

Указанный выше интеграл можно вычислить иначе: продемонстрируем это на примере.

Пример 30. Вычислить ò

xdx

.

2x

2

- 5x + 4

Выделим полный квадрат в трехчлене:

2

æ

2

5

25

ö

25

æ

5

ö2

7

2x

- 5x

+ 4

= 2ç x

-

x +

÷

-

+

4 = 2ç x -

÷

+

.

2

16

8

4

8

è

ø

è

ø

x -

5

= t, x =

5

+ t

4

Тогда ò

xdx

= ò

xdx

4

=

dx = dt,

=

2x

2

- 5x + 4

æ

5

ö

2

7

7

2ç x

-

÷

+

2x

2

- 5x + 4 = 2t

2

+

4

8

è

ø

8

5

+ t

5

dt

tdt

51× 4

4t

1

æ

7

ö

= ò

4

dt =

ò

ò

2t

2

+ C =

+

=

arctg

+

lnç

+

÷

7

7

7

2t2 +

4

2t

2 +

2t2 +

8 7

7

2

× 2

è

8

ø

8

8

8

æ

5 ö

5

4ç x

-

÷

1

ln(2x2 - 5x + 4)+ C .

=

arctg

è

4 ø

+

4

2

7

7

Аналогично можно найти интегралы вида ò

Mx + N

dx :

ax2 + bx + c

Mx + N

2ax + b = (ax2 + bx + c)¢

M

(2ax + b)

+ N -

Mb

ò

dx =

=ò

2a

2a

dx =

ax2 + bx + c

ax2 + bx + c

M

d(ax2 + bx + c)

æ

Mb ö

dx

=

ò

+

ç N

-

÷ò

=

2a

2a

2

2

2

ax

+ bx + c

è

ø

x2 +

b

x +

b

-

b

+

c

a

4a2

4a2

a

a

19

æ

b

ö

M

Mb ö

dç x +

÷

b

æ

2a

2

è

ø

=

ax

+ bx

+ c

+ ç N

-

÷ò

=

x = x +

, dx = dt

=

a

è

2a ø

æ

b

ö2

4ac - b2

2a

ç x +

÷

+

4a2

è

2a ø

M

æ

Mb ö

dt

2

D

2

=

ax

+ bx

+ c

+ ç N

-

÷ò

, где p

=

.

2

a

è

2a ø

t2 ± p2

4a

Пример 31.

Вычислить I = ò

3x + 5

dx .

3 - 2x - x2

(3 - 2x - x2 )¢ = -2x - 2

-

3

(- 2x - 2)- 3 + 5

I =

= ò

2

dx =

3 - 2x - x2

3

d(x + 1)

x +1

+ C .

= - 3

+ 2arcsin

= -

× 2

3 - 2x - x2

+ 2ò

3 - 2x - x2

2

- (x +1)2 + 4

2

Пример 32. Вычислить интеграл I =

(5x − 3)dx

.

x2 + 2x + 2

I = ò

(5x - 3)dx

x +1 = t

= ò

(5t

- 8)dt =

=

x = t -1

(x +1)2 +1

dx = dt

t2 +1

5

d(t2

+1)

=

ò

- 8ln

t + t

2

+1

+ C = 5

x

2

+ 2x +

2 - 8ln

x +1 + x

2

+ 2x + 2

+ C .

2

t

2

+1

Интегралы вида

ò

dx

(α = 1, 2)

сводятся к интегралам

(x - a)α ax2 + bx + c

предыдущего пункта с

помощью «обратной подстановки

»

1

= t,

x =

1

+ a

.

x - a

t

Она приводит интеграл к интегралу без множителя перед корнем в знаме- нателе. Покажем это на конкретном примере.

Пример 33. Вычислить ò

dx

.

x

8x2 +10x - 25

dx

1

= t, x =

1

,

Имеем ò

=

x

t

=

dt

x 8x

2

+10x - 25

dx = - t2

20