Неопределенный интеграл1

-

dt

ò

t2

= -ò

sgn t dt

= -

1

ò

sgn t dt

.

5

1

1

1

- 25t

2

8

2 +10t + 8

- t

2

t +

8

+10

- 25

+

t

t2

t

5

25

Преобразуем квадратный трехчлен

2

2

8

æ

2

2

æ 1

ö2 ö

1

8

9

æ

1

ö2

- t

+

t +

= -çt

-

t + ç

÷

÷

+

+

=

- çt

-

÷ .

5

25

5

25

25

25

5

ç

è 5

ø

÷

è

ø

Окончательно

è

ø

1

æ

ö

1

sgnt dçt

-

÷

-

1

ò

sgn t dt

= -

1

ò

è

5 ø

= -

1

sgn t arcsin

t - 5

+ C =

5

9

æ

1

ö

2

5

9

æ

1 ö

2

5

3

.

- çt

-

÷

- çt -

÷

5

25

5

25

è

ø

è

5 ø

= -

1

sgn xarcsin

5 - x

+ C .

5

3x

Приведем еще один пример применения «обратной подстановки».

d x

1

= t

tdt

Пример 34. ò

dx =

x

dt

= ò

=

x x - 4x2

2

1

4

dx = - t2

t

t

-

t2

t

t

dt

sgn tdt

sgntd(t -

4)

ò

= ò

= = ò

= sgnt × 2

+ C = 2sgn x ×

1 - 4x

+ C .

t - 4

2

x

t

t - 4

t - 4

t - 4

21

ЛЕКЦИЯ 15. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

15.1.Интегрирование рациональных функций

ØПонятие о рациональной функции

ØВыделение целой и дробной частей

ØДеление многочленов столбиком

ØРазложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей

ØПрактические приемы нахождения коэффициентов разложения

ØЧетыре вида простейших дробей и их интегрирование

Определение. Дробно-рациональной функцией называется частное от де-

ления многочленов

Pm	(x)
		,	(15.1)
Q	(x)
n

где

Pm (x) = a0 xm + a1xm−1 +K + am (a0 ¹ 0),

Q (x) = b xn + b xn−1			+K + b	(b ¹ 0),
n	0	1	m	0

m, n Î N U {0}, a j , bj Î R .

Дробно-рациональная функция (15.1) называется правильной дробью, ес-

ли m < n , и неправильной, если m ³ n .

Любую рациональную дробь можно представить в виде суммы многочле- на (целой части неправильной дроби) и правильной рациональной дроби.

Пусть m > n . Тогда

P (x)

(x)+

Rn

(x)

m

= Sm−n

1

(n1

< n),

Qn (x)

Qn

(x)

где Sm−n (x) – многочлен степени m − n , Rn

(x) – многочлен степени n1.

1

Пример 1.

x4 − 2x2 + 5

= x + − 2x2 + 7x + 5 .

x3 − 7

x3 − 7

22

Здесь m = 4 , n = 3 , Sm−n (x)= x Rn1 (x)= −2x2 + 7x + 5.

Выделение целой части неправильной рациональной дроби производится делением многочлена Pm (x) на многочлен Qn (x).

Пример 2. Для R(x)=

x4 + 5x

имеем

x2 − 2x − 3

x2 − 2x − 3

x4 + 5x

x4 − 2x3 − 3x2

x2 + 2x + 7

2x3 + 3x2 + 5x

2x3 − 4x2 − 6x

7x2 +11x

7x2 −14x − 21

25x + 21

− остаток

Отсюда

x4

+ 5x

= x2 + 2x +

7 +

25x + 21

. Здесь x2

+ 2x + 7

– целая часть.

x2 − 2x −

3

x2

− 2x − 3

Выделяя целую часть, мы сводим проблему интегрирования

неправильной рациональной дроби к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.

Приведем без доказательства теорему о разложении правильной рациональной дроби.

Теорема 1. Пусть

Pm

(x)

– правильная рациональная дробь, то есть m < n

Q

(x)

n

и пусть Q

(x) = b

(x − α

1

)k1 K(x − α

i

)ki (x2 + p x + q )l1

K(x2 + p

m

x + q

m

)lm ,

n

0

1

1

где α

s

, p

s

, q

s

, b

R ,

k

s

, l

s

z

+

,

k + K+ k

i

+ 2(l

+K + l

m

)= n ,

p

2 − 4q

s

< 0

0

1

1

s

(s =

), b

¹ 0. Тогда существуют числа A j , B

j , C

j R , такие, что

1,m

0

s

s

s

23

P (x)

A 1

A

1

Ak

1

1

A i

A i

Ak

i

m

=

1

+

2

+ L +

+ L

+

1

+

2

+ K +

i

+

(x - α

)2

(x - α

)k1

(x - α

)2

(x - α

)ki

Q (x)

x - α

1

1

1

x - α

i

n

i

i

B 1 + C 1

B 1x + C

1

Bl

1x + Cl

1

+

1

1

+

2

2

+ L +

1

1

+ L +

x

2

+ p x + q

2

ö

2

2

ö

l

æ

+

p x + q

æ

+ p x

+ q

1

1

1

ç x

÷

ç x

÷

è

1

1

ø

è

1

1

ø

B m x + C m

B m x + C

m

Bl

m x + Cl

m

m

+

1

1

+

2

2

+ L +

m

.

x

2 + p

m

x + q

m

æ

2

+

p

x + q

ö2

æ

2

+ p

x + q

ölm

ç x

m

÷

ç x

m

÷

è

m ø

è

m ø

Числа

A

j , B j , C

j

(неопределенные

коэффициенты)

вычисляются в

s

s

s

процессе разложения правильной дроби.

Таким образом, всякая правильная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей вида:

A

,

A

,

Bx + C

,

Bx + C

,

x - a

(x - a)k

x2 + px + q

æ

2

öl

ç x

+ px + q÷

è

ø

k, l N , A, B C, a, p, q R .

Интегрирование простых (элементарных) дробей

1. ò

A

dx = Aln

x - a

+ C .

x

- a

2. ò

A

dx =

1

1

+ C , k ¹1.

(x - a)k

1 - k (x - a)k −1

Bx + C

(x2 + px + q)¢ = 2x + p

B

(2x + p)+ C -

Bp

3. ò

dx =

= ò

2

2

dx =

x

2

x

2

+ px + q

+ px + q

B

2x + p

æ

Bp

ö

dx

=

ò

dx + çC -

÷ò

=

2

x2 + px + q

2

x2 + px + q

è

ø

24

æ

p ö

B

æ

2

ö

æ

Bp

ö

dç x

+

÷

2

è

2 ø

=

lnç x

+ px + q÷ + çC -

÷ò

=

p

< 4q

=

2

2

è

ø

è

2

ø

æ

p

ö

æ

p ö2

ç x +

÷

+ q - ç

÷

2

è

ø

è

2 ø

B

ln(x2 + px + q)+

C -

Bp

x +

p

=

2

arctg

2

+ C .

2

q -

p

2

q -

p

2

4

a

Bx + C

2

¢

B

(2x + p)+ C -

Bp

4. ò

(x2 + px + q)l

dx =

(x

+ px + q)

= 2x + p

=ò

2 (x2 + px + q)l

2

dx =

(2x + p)dx = d(x

2

+ px + q)

B d(x2 + px + q)

æ

Bp

ö

dx

=

=

+

çC

-

÷

=

2 ò (x2 + px + q)l

è

2

øò (x2

+ px + q)l

b

1

æ

Bp ö

dx

=

+ çC -

÷

.

2(1

- l)(x2 + px + q)l −1

è

2 øò (x2 + px + q)l

æ

p

ö

dx

dç x

+

÷

p

dt

2

è

ø

Найдем ò

(x2 + px + q)l

=

ò

=

x +

= t

= ò

(t2 + b2 )l

,

æ

p ö2

p2

2

ç x

+

÷

+ q -

4

è

2 ø

b2 = q -

p2

.

4

dt

1

b

2 + t2 - t

2

1

dt

1

t × tdt

Il = ò

(t2 + b2 )l

=

ò

(t2 + b2 )l

dt =

ò

-

ò

=

b2

b2

(t2 + b2 )l −1

b2

(t2 + b2 )l

u = t Þ du = dt

=

tdt

= dv Þ v =

1

1

=

(t2 + b2 )l

2(- l +1)

(t2 + b2 )l −1

1

dt

1

æ

1

t

1

dt

ö

ç

÷

= b2 ò (t2 + b2 )l −1 - b2

èç 2(1 - l) (t2 + b2 )l −1

- ò 2(- l +1) (t2 + b2 )l −1

ø÷ .

Таким образом,

25

1

æ

1

ö

1

t

I

=

ç1 -

÷I

+

– рекуррентная формула.

l

2

2l -1

l

−1

2b2 (l -1)æ

−

b

è

ø

2

+ b

2

öl 1

çt

÷

è

ø

Например,

I

=

1

t

+

1

1

arctg

t

+ C , t = x +

p

, b2

= q -

p2

.

2b2 t2 + b2

b

2

4

2

2b2 b

ò

x4 +1

æ

2

ö

ò (x2

dx

+1)

x4 -1

òè

x4 -1ø

-1)(x2

Пример 3.

I =

dx =

ç1+

÷dx

= x + 2

.

Имеем

1

=

A

+

B

+

Cx + D

.

x -1

x

+ 1

x4 -1

x2 +1

Отсюда 1 = A(x +1)(x2 +1)+ B(x −1)(x2 +1)+ (Cx + D)(x2 −1).

Неопределенные коэффициенты можно найти, приравняв коэффициенты

при одинаковых степенях x :

x3 :

A + B + C = 0,

(1)

x2 : A − B + D = 0,

(2)

x :

A + B − C = 0 ,

(3)

x0 :

A − B − D =1.

(4)

Решая систему линейных уравнений (1) – (4) относительно неизвестных A, B, C, D, находим:

A = 14 , B = - 14 , C = 0 , D = - 12 .

Для определения коэффициентов удобно придавать x некоторые значе- ния (например, значения корней знаменателя).

Для отыскания коэффициентов можно комбинировать оба приема:

	x = −1: 1 = -2B × 2		A = 1	, B = -				1
			4					4
	x =1:	1 = 4A
	x = 0 :	1 = A - B - D D =		1	+	1	-1 = -		1
				4		4			2
	x3 :	0 = A + B + C C = −(A + B)= 0 .
						26

æ

1

1

1

ö

1

x -1

I = x + 2ò

ç

÷

èç 4(x -1) - 4(x + 1) -

2(x2

+1)ø÷dx

= x + 2 ln

x +1

- arctg x + C .

Пример 4. Найти ò

2x2

- 3x + 1

x

3 +1

dx .

Имеем 2x2 - 3x +1 =

A

+

Bx + C

,

x3 + 1

x +1

x2 - x + 1

откуда 2x

2

- 3x +1=

æ

2

ö

+ (Bx + C)(x +1).

Aç x

- x +1÷

è

ø

Комбинируя методы частных значений и сравнения коэффициентов, най-

дем:

x = −1: 6 = 3A,

A = 2 ,

x = 0 : 1 = A + C , C = −1,

x2 :

2 = A + B , B = 0.

æ

1

ö

2x2

- 3x +1

dx

dx

dç x

+

÷

è

2 ø

Итак, ò

dx = 2ò

-

ò

= 2ln

x + 1

- ò

=

x

3

+1

x +

1

x

2

+ x +1

æ

1

ö

2

3

ç x

+

÷

+

2

4

è

ø

= -2ln

x +1

-

2

arctg

2x

+

1

+ C .

3

3

xdx

Пример 5. Найти ò

(x -1)2 (x2 + 2x + 2).

Cx + D

x

A

B

Имеем

(x -1)2 (x2 + 2x + 2)=

+

+

.

x -1

(x -1)2

x2 + 2x + 2

Отсюда x = A(x -

æ

+ 2x +

ö

æ

ö

+ (Cx + D)(x -1) .

1)ç x

2

2÷

+ Bç x

2

+ 2x + 2÷

è

ø

è

ø

2

x =1: 1 = 5B ,

B = 1

,

5

x = 0 : 0 = −2A + 2B + D ,

D - 2A = -

2

D = 2A - 2

,

5

5

x3 :

0 = A + C ,

C = −A ,

27

					x2 :						0 = −A + 2A + B + D − 2C , 0 = A + 1																																							+ 2A −									2	+ 2A,
																																														5													5
	5A =					1	, A =								1			, D = −											8			, C = −								1			.
						5								25															25										25
																1									dx						1						dx								−	1	x −			8									1							1
				Итак, I =															ò										+				ò									+ ò				25			25					dx =						ln		x − 1			−			−
																							x −																	2					2																					5(x −1)
															25												1				5																										25
																																				(x −1)									x	+ 2x + 2
−	1		ò					x + 8									dx .
	25				x	2	+ 2x +								2
											x + 8																			(x2 + 2x + 2)′ = 2x + 2																						1			(2x + 2)+ 7
																																																			2
Найдем ò																								dx =																								=		ò													dx =
									x	2	+ 2x + 2																																													2
																																																						x			+ 2x + 2
=	1	ln(x2					+ 2x + 2)+ 7arctg(x + 1)+ C .
	2
				Окончательно,
					I =			1			ln		x −1								−						1								−		1	+			1			ln(x2		+ 2x + 2)+ 7arctg(x + 1)+ C .
																										5(x −					1)
								25																													25			2

28

ЛЕКЦИЯ 16. РАЦИОНАЛИЗИРУЮЩИЕ ПОДСТАНОВКИ

16.1. Интегрирование тригонометрических функций

1. Интегралы òsin mxcosnxdx , òsin mxsin nxdx , òcosmxcosnxdx вычисля-

ются с помощью формул:

sin mx cosnx = 12 (sin(m + n)x + sin(m - n)x);

sin mxsin nx = 12 (cos(m - n)x - cos(m + n)x);

cosmxcosnx = 12 (cos(m - n)x + cos(m + n)x).

Пример 1. òsin 7xsin xdx = 12 ò(cos6x - cos8x)dx = 121 sin 6x - 161 sin8x + C .

2.Интегралы вида òsinm xcosn xdx :

1)хотя бы одно из чисел m или n – натуральное, нечетное, например, m = 2 p + 1. Имеем

òsin2 p x cosn x sin xdx = sin xdx = -d(cos x) - ò(1- cos2 x)p cosn xd(cos x) = = u = cos x = -ò(1- u2 )p undu .

Пример 2. Найти òsin3 x 4cos x dx = -ò(1- cos2 x)4cos x d (cos x)=

=-ò(4u - u2 4u )du = - 45 cos x 4cos x - 134 cos3 x 4cos x + C .

2)m, n – четные, неотрицательные числа. Используются формулы

sin mx cosmx =

1

sin

2mx , cos2 mx =

1

(1+ cos2mx), sin2 mx =

1

(1 - cos2mx).

2

2

2

Пример.

4

2

æ

1 - cos2x ö2

1 + cos2x

1

2

2x(1

- cos2x)dx =

òsin

xcos

xdx = òç

÷

×

dx =

òsin

2

2

8

è

ø

29

= ò

1 - cos4x

1

òsin

2

2x d(sin 2x)=

1

æ

sin 4x ö

1 sin3

2x

dx

-

ç x -

÷

-

+ C .

2

2

×

8

16

16

3

è

4 ø

3) m + n – четное, отрицательное целое число. Замена:

.

tg x = t

Пример.

dx

d(tg x)

ò

dx

=

ò

cos2 x

= ò

=

1

=

1

+ 1

=

2

2

cos x sin7

cos x sin7

x

sin2 x

sin

x

tg

x

tg3x

x

cos4 x

tg2 x + 1

æ

− 3

−

7

ö

2

2

= ò

d(tg x)

= òç tg

2 x - tg

2 x÷ d(tg x)= -

-

+ C .

7

2

tg

2 x

tg x

5tg

x

è

ø

tg x

Методы рационализации функций

Рассмотрим

некоторые

виды

интегралов,

подынтегральное

выражение которых содержит дробно-рациональную

функцию от

некоторых функций.

Если такой интеграл может быть сведен к интегралу от рациональной

дроби одного независимого аргумента, то говорят, что исходный интеграл рационализируется, а значит, может быть вычислен и выражен через элементар- ные функции исходного аргумента.

Рассмотрим несколько конкретных типов интегралов с указанными свой- ствами.

1. Интеграл òR(eαx )dx рационализируется подстановкой eα x = t , x = α1 ln t , α ¹ 0

Имеем:

òR(eα x )dx = òR(t)	1		dt	= òR (t)dt , где	R (t) – некоторая рациональная
α t				1	1
функция.

30