Неопределенный интеграл1

Пример.

e3x

ex

= t

t3dt

æ

1

ö

e2x

x

+ ln(e

x

+1)+ C .

ò

dx =

dt

= ò

=

òçt

-1+

÷dt

=

- e

x

x = lnt, dx =

(t +

1)t

t

+1

2

e

+

1

t

è

ø

tg

x

= t - универсальная подстановка,

2.

òR(sin x, cos x)dx =

2

=

sin x =

2t

, cos x =

1- t

2

, dx

=

2dt

1 + t2

1 + t2

1

+ t2

æ

2t

1- t2

ö

2

òR1(t)dt – интеграл от дробно-рациональной функ-

ç

,

÷

dt =

= òRç

1 + t

2

1 + t

2

÷

+ t

2

è

ø1

ции переменной t .

Пример. Вычислить I = ò

dx

.

3sin x

+ 5cos x

Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой:

tg

x

= t, x = 2arctgt, dx =

2dt

I =

2

1 + t2

= 2ò

dt

=

2t

1 - t

2

æ

2

ö

(1 + t

2

ç

6t

5(1 - t

)÷

sin x =

, cos x =

+ t

2

1 + t

2

)ç

2

+

2

÷

1

è

1 + t

1+ t

ø

æ

3

ö

dt

2

dt

2

dçt

-

÷

5

= 2ò

= -

ò

= -

ò

è

ø

=

2

6

9

34

2

- 5t

+ 6t +

5

5

t2 -

t +

-

5

æ

3

ö

34

5

25

25

çt -

÷

-

5

25

è

ø

x

3

x

3 +

2 1× 5

tg

-

-

34

1

tg

-

34

= -

ln

2

5

5

+ C = -

ln

2

5

+ C .

5 2

34

tg

x

-

3

+

34

34

tg

x

-

3 -

34

5

5

5

2

2

3.Универсальная подстановка нередко приводит к сложным выкладкам.

Вуказанных ниже случаях предпочтительнее следующие подстановки:

если		то применима подстановка
R(− sin x, cos x)= −R(sin x, cos x)		cos x = t
R(sin x, − cos x)= −R(sin x, cos x)		sin x = t
	31

R(− sin x, − cos x)= −R(sin x, cos x)

tg x = t

Пример. ò

dx

= ò

sin xdx

= -ò

d(cos x)

= -

1

ln

1 + cos x

+ C = ln

tg

x

+ C .

sin x

sin

2

x

1 - cos

2

x

2

1 - cos x

2

16.2. Приемы интегрирования иррациональных функций

ØИнтегрирование иррациональных функций

ØСведение к интегралу от рациональной функции

1. Интеграл вида ò R(x, nax + b, max + b )dx , a ¹ 0, m, nÎ N , рационализу-

ется подстановкой ax + b = tr , r = НОК(n, m).

Пример. Преобразовать ò

x

+ x

dx к интегралу от рациональной функ-

3

1

+

x

ции.

Применим подстановку x = tr ,

r = НОК(2, 3)= 6, т.е. x = t6 , dx = 6t5 dt :

+ x

t3

+ t6

t8

+ t11

ò

x

dx = ò

5

dt = 6ò

× 6t

dt .

3

2

2

1

+

x

1 + t

1

+ t

Получили интеграл от неправильонй рациональной дроби, который после

выделения целой части легко вычисляется.

æ

ö

ax + b

ç

n

÷

2. Интеграл вида òRç x,

cx + d

÷dx , где a, b, c, d – постоянные, n – целое

è

ø

положительное число, рационализируется подстановкой

ax + b

= tn

.

cx + d

dx

.

Пример. Вычислить ò

1 + x

×

1- x

1- x

1 + x

= t

2

, получим x

t 2 -1

dx =

4t

dt

2

Полагая

=

,

и 1 - x =

. Отсюда

1 - x

t 2 + 1

(t 2 +1)2

t 2 + 1

dx

4t dt

t2dt

é

1 ù

1 + x

ò

×

= òt

= 2ò

=

2òê1-

údt =

1

- x

1- x

2

2

2

t

2

+ 1

t

2

(t

+

1) ×

ë

+ 1û

t2 +1

32

= 2t - 2arctg t + C = 2	1	+ x	- 2arctg	1	+ x	+ C .
	1	- x		1	- x
					æ						ö
							ax		2
3. Рассмотрим интегралы вида òRç x,										+ bx + c ÷dx .
					è					ø

Преобразуя квадратный трехчлен ax2 + bx + c в сумму или разность квадратов, сведем указанный интеграл к одному из интегралов следующих ти- пов:

òæ

1)Rç

è

òæ

2)Rç

è

òæ

3)Rç

è

						ö
z,	m		2	- z	2
						÷dz ;
						ø
						ö
z,	z	2		- m	2
						÷dz ;
						ø
						ö
z,	m		2	+ z	2
						÷dz .
						ø

Эти интервалы сводятся соответственно к интегралам функций, рацио- нально зависящих от синуса и косинуса с помощью подстановок:

1)z = msin t (или z = mcost );

2)z = cosm t (или z = sinmt );

3)z = mtgt (или z = mctgt ).

Вместо тригонометрических могут быть соответственно использованы гиперболические подстановки:

1)z = mtht ;

2)z = mcht ;

3)z = msht .

	Пример. Вычислить ò 36 - x2 dx .
			x = 6sint, dx = 6costdt,
	36 - x2 dx =
ò			36 - x2 = 36(1 - sin2 t)= 36cos2 t			=
			33

= ò6cost ×6costdt =

36

ò(1+ cos2t)dt =18t +18

sin 2t

+ C =

2

2

x

x

x

x

x

=18arcsin

+ 9sin(2arcsin

) + C =18arcsin

+18sin(arcsin

)cos(arcsin

) + C =

6

6

6

6

6

=18arcsin

x

+ 18 ×

x

1 -

x2

+ C =18arcsin

x

+

3x 1 -

x2

+ C .

6

6

36

6

36

ПРИМЕР 2. Вычислить I = ò

dx

.

(x2 +1)2

Положим x = tgt ,

t (− π / 2, π / 2). Тогда t = arctg x , x (− ∞, + ∞), dx =

x2 +1 =

1

и

cos2

t

dt

1

t

sin 2t

I = ò

= òcos2 t dt =

ò(1 + cos2t)dt =

+

+ C .

1

cos2 t ×

2

2

4

cos4 t

Возвращаясь к первоначальной переменной x , получим

sin 2t =

2sin t cost

=

2tgt

=

2x

. Отсюда

tg2t +1

sin2 t + cos2 t

x2 +1

I =

1

arctg x +

1 x

+ C .

2 x2 +

2

1

4. Интегралы от дифференциальных биномов:

ò xm (a + bxn )pdx ,

(5)

dt , cos2 t

m, n, p – рациональные числа.

Условия Чебышева1. Интеграл (5) выражается через конечную комбина- цию элементарных функций лишь в следующих трех случаях:

1) если p – целое число; интеграл ò xm (a + bxn )p dx рационализируется под-

становкой

t = rx ,

где r – наименьшее общее кратное знаменателей рациональных чисел m и

n ;

1 Пафнутий Львович Чебышёв (1821 – 1894 гг.) – русский математик.

34

		m + 1
	2) если					– целое число. Здесь применима подстановка	a + bxn = zs ,	s
			n
	– знаменатель дроби p ;
	3) если		m + 1			+ p – целое число. В этом случае используется подстановка
			n

ax−n + b = zs .

Пример.

m = 3,

ò x3 (1+ 2x2 )− 32 dx = n = 2, p = - 32 ,

	m +1		= 2,
	n					ò(z2	-1)× z−3zdz =
1 + 2x			2 = z2 ,	=	1
	2 × 4xdx = 2zdz,				4
2x2 = z2 -1

2

2

æ

2

ö

2

1

z

-1

1

æ

1 ö

1 z

+ 1

1

2ç x

+ 1÷

1 + x

ò

è

ø

=

dz =

ç z +

÷

+ C =

+ C =

+ C =

+ C .

2

1 + 2x2

4

z

4

è

z ø

4 z

4

2 1+ 2x

2

35