§ 1. Вычисление площадей плоских фигур

1. Внешние, внутренние и граничные точки плоских множеств.

Выше мы неоднократно использовали понятие площади плоской фигуры, опираясь на его интуитивное толкование. В этом параграфе мы дадим определение понятия площади плоской фигуры, установим свойства площадей и опишем класс фигур, имеющих площадь. Для этого введем несколько понятий, относящихся к плоским фигурам, т.е. к множествам, состоящим из точек плоскости.

Напомним, что открытым кругом с центром aи радиусомr называют множествоU (a, r) точек плоскости, расстояние которых от точкиaменьшеr. Любой открытый круг с центромaназывают окрестностью точкиa.

Пусть на плоскости задано некоторое множество X. Назовем точкуaэтого множества внутренней, если существует окрестность этой точки, целиком содержащаяся вX. Точку плоскости называют внешней точкой для этого множества, если у нее есть окрестность, не содержащая ни одной точки множестваX. Наконец, точки плоскости, не являющиеся ни внутренними, ни внешними для множестваX, называют граничными точками этого множества. Граничные точки могут как принадлежать множествуX, так и не принадлежать ему. Совокупность граничных точек множестваXобразует границу этого множества. Если все граничные точки множестваXпринадлежат этому множеству, то его называют замкнутым, а если ни одна граничная точка не принадлежит множествуX, то его называют открытым.

На рисунке 20 изображен квадрат. Точка eявляется внутренней для этого квадрата, точкаf- внешней, а точкаg- граничной. Граница квадрата состоит из отрезковab,bc,cdиda.

В дальнейшем будем говорить, что фигуры FиGналегают друг на друга, если у них есть хоть одна общая внутренняя точка (рис. 21).

Если фигура Fявляется объединением попарно не налегающих друг на друга фигур,, ...,, то говорят, чтоFразбита на фигуры,, ...,; при этом не исключается, что некоторые из них имеют общие граничные точки (рис. 22).

2. Квадрируемые области. Перейдем к определению понятия площади. Выберем на плоскости прямоугольную декоративу систему координатOxy. Назовем прямоугольник допустимым, если его стороны параллельны осям координат, причем не будем исключать и вырожденные прямоугольники, т.е. прямоугольники, у которых длина одной или обеих сторон равна нулю. ПодмножествоFплоскости, которое можно разбить на конечное число допустимых прямоугольников, назовем ступенчатой фигурой (рис. 23). Очевидно, что объединение и пересечение двух ступенчатых фигур являются ступенчатыми фигурами.

Назовем площадью допустимого прямоугольника Fпроизведение длин его сторон:

=ab.

При этом площадь вырожденного прямоугольника равна нулю. Очевидно, что если прямоугольник разбит на два прямоугольника (рис. 24), F=, то площадь всего прямоугольника равна сумме площадей его частей:

=+.

Вообще, если прямоугольник Fразбит на конечное число прямоугольников,, ...,, то=++...+.

Кроме того, если прямоугольник получается из прямоугольникаFпараллельным переносом, то=.

Отметим, что квадрат со стороной, равной 1, имеет площадь, равную 1.

Определим далее площадь ступенчатой фигуры. Пусть ступенчатая фигура Fразбита на прямоугольники,, ...,.

Положим тогда:

=.

Одна и та же ступенчатая фигура может разбиваться на прямоугольники различными способами. Легко доказать, что её площадь не зависит от способа разбиения.

Мы определили функцию на множестве ступенчатых фигур. Она обладает следующими свойствами:

а) если ступенчатые фигуры ине имеют общих внутренних точек, то

S(=S(+S(.

б) если ступенчатая фигура получается из ступенчатой фигурыпараллельным переносом, тоS(=S(.

Из свойства а), в частности, следует, что если и- ступенчатые фигуры и, то. В самом деле, если присоединить кграничные точки, то получится ступенчатая фигураG, не налегающая наи такая, что=. Значит,=+.

Совокупность ступенчатых фигур не охватывает таких фигур, как, например, треугольник, параллелограмм общего вида, круг, эллипс. Даже повернутый прямоугольник уже не является ступенчатой фигурой (стороны ступенчатой фигуры параллельны осям координат). Поэтому надо распространять понятие площади на более широкий класс фигур.

Возьмем на плоскости фигуру Aи поставим ей в соответствие два числовых множества. Множествосостоит из площадей ступенчатых фигур, все точки которых принадлежат фигуреA, а множество- из площадей ступенчатых фигур, содержащих фигуруA. Очевидно, что множестворасположено слева от множества. Поэтому существует хотя бы одно число, разделяющее эти множества.

Введем следующее определение.

Определение.ФигураAназывается квадрируемой (имеющей площадь), если соответствующие ей числовые множества разделяются единственным числом. Это единственное число, разделяющееи, назовем площадью фигурыA.

Применяя критерий единственности разделяющего числа, получаем необходимое и достаточное условие квадрируемости фигуры A:

Для того, чтобы фигура Aбыла квадрируемой, необходимо и достаточно, чтобы для любогонашлись такие ступенчатые фигурыи, чтоA , причем:

-.

Отметим, что граница фигуры А лежит в области, заключённой между границами ступенчатых фигур F₁ иF₂. Эта область сама является ступенчатой фигурой (рис.25). Поэтому указанное условие можно сформулировать так:

Для того, чтобы фигура А была квадрируемой, необходимо и достаточно, чтобы границу фигуры А можно было заключить в ступенчатую фигуру, площадь которой меньше.

Отметим достаточное условие квадрируемости.

Теорема 1. Для того, чтобы фигура А была квадрируемой, достаточно, чтобы её граница состояла из конечного числа дуг Г_к, являющихся графиками непрерывных функцийили

Доказательство. Покажем сначала, что лугу Г , можно заключить в ступенчатую фигуру, имеющую сколь угодно малую площадь. Зададим>0. Так как функциянепрерывна на отрезке, найдётся разбиениеэтого отрезка такое, что для любогок выполняется неравенство

где и- соответственно наибольшее и наименьшее значения функциина отрезке [x_k;x_k+1]. Но тогда дуга целиком содержится в объединение прямоугольников, имеющих основанияи высоты(рис.26). Общая площадь этих прямоугольников не превосходит числа

Объединение этих прямоугольников образует ступенчатую фигуру, содержащую дугу Г и имеющую площадь, меньшую, чем .

Поскольку граница фигуры А состоит из конечного числа таких дуг, её можно накрыть ступенчатой фигурой сколь угодно малой площади, и потому область квадрируема.

Например, круг квадрируем, так как его граница состоит из двух дуг, задаваемых уравнениями и,а эти функции непрерывны.

Иногда оказывается полезным следующее достаточное условие квадрируемости фигур.

Теорема 2. Если для любого найдутся такие квадрируемые фигуры А₁и А₂, чтои, то фигура А тоже квадрируема.

Доказательство. Зададим>0 и выберем такие квадрируемые фигуры А₁и А₂, чтои. Так какиквадрируемы, то найдутся такие ступенчатые фигурыи, чтои, причём

и.

Но тогда и

Это и доказывает квадрируемость А.

3. Свойства площадей квадрируемых фигур. Покажем, что площади квадрируемых фигур обладают свойствами, похожими на свойства ступенчатых фигур. Сначала докажем следующее утверждение:

а) пусть квадрируемые фигуры А и В не имеют общих внутренних точек и С=АВ. Тогда фигура С тоже квадрируема, причём её площадь равна сумме площадей фигур А и В:

(1)

В самом деле, из квадрируемости фигур А и В вытекает, что для любого сущствуют такие ступенчатые фигурыF₁,F₂,G₁,G₂, что,причём

.

Положимb. Тогда Н₁– ступенчатая фигура, содержащаяся в АВ, а Н₂ – ступенчатая фигура, содержащая АВ: Н₁АВН₂. При этом фигурыF₁иG₁не имеют общих внутренних точек (рис.27), и потому

(2)

Фигуры F₂иG₂ могут иметь общие внутренние точки (рис.28), а потому можно утверждать лишь, что

(3)

Отсюда следует, что

Итак, для любогонашлись ступенчатые фигуры Н₁и Н₂такие, что Н₁АВН₂, причём.

Из неравенств ивытекает, что

.

С другой стороны,

а потому в силу отношений (2) и (3)

.

Мы видим, что числа иразделяют одни и те же множестваиПри этом, как было показано, для любогонайдутся такиеF₁,F₂,G₁,G₂, что

Поэтому указанные множества могут разделяться лишь одним числом. Это и доказывает соотношение (1).

Доказанное свойство называют аддитивностью площади.

Второе свойство площадей состоит в том, что площадь квадрируемой фигуры не изменяется при параллельном переносе. Это следует из того, что при этом переносе каждая внутренняя ступенчатая фигура для А переходит во внутреннюю ступенчатую фигуру для образа А, и то же самое верно для внешних ступенчатых фигур. Но это значит, что при параллельном переносе не изменяются, ни множество , ни множество, а потому неизменным остаётся и разделяющее их число, т.е. площадь фигуры.

Недостатком данного выше определения площади является то, что оно связано с выбором системы координат на плоскости. Мы доказали лишь, что площадь не изменяется (инвариантна) при параллельных переносах, но не доказали такого же утверждения относительно других перемещений (симметрий, поворотов и т.д.). Справедливо более общее утверждение:

б) Если фигура А квадрируема и А₁ – конгруэнтная ей фигура, то А₁ тоже квадрируема, причём

.

В курсе геометрии доказывают, что любое перемещение является композицией осевых симметрий. Поэтому достаточно доказать наше утверждение для случая, когда А – прямоугольник, одна из сторон которого параллельна оси симметрии l(рис.29). В этом случае образ А₁ этого прямоугольника может быть получен из А не только с помощью осевой симметрии, но и с помощью параллельного переноса. Поэтому. Но любую квадрируемую фигуру можно с любой степенью точности заменить фигурой, состоящей из прямоугольников, одна из сторон которых параллельна оси симметрии. Применяя доказанное утверждение для каждого из этих прямоугольников и складывая полученные равенства, убеждаемся, что равенствоверно для любых квадрируемых фигур.

Мы доказали, что в классе квадрируемых фигур площадь обладает следующими свойствами:

1°. Для любой фигурыеё площадь- неотрицательно число (неотрицательность площади).

2°.Площади конгруэнтных фигур равны (инвариантность площади относительно перемещений).

3°.Если фигуры FиGне имеют общих внутренних точек, то

(аддитивность площади).

4°.Площадь единичного квадрата равна единице (условие нормировки).

Можно доказать, что условия 1°-4° однозначно определяют площадь в классе квадрируемых фигур. Это позволяет понятию площади дать аксиоматическое определение, сказав, что на совокупности фигур М определено понятие площади, если на М задана числовая функция , удовлетворяющая условиям 1°-4° (при этом, разумеется, требуется, чтобы совокупность М вместе с двумя не налегающими друг на друга фигурами содержала их объединение).

4. Вычисление площади плоской фигуры в декартовых координатах. Напомним, что мы назвали криволинейной трапецией фигуру, ограниченную осью абсцисс, прямыми х=а и х=bи графиком функции. В этом пункте выведем формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.

Теорема 3. Если функция неотрицательна на отрезке [a;b] и непрерывна на нём, то соответствующая ей криволинейная трапеция квадрируема, причём её площадьSвыражается формулой

(4)

Доказательство. Криволинейная трапеция ограничена тремя отрезками и графиком непрерывной функции . Как было показано в п.2 такая фигура квадрируема. Чтобы вычислить площадь этой трапеции, построим для неё внешние и внутренние ступенчатые фигуры (см. рис.26)

Тогда, с одной стороны, имеем:

где - площадь внутренней ступенчатой фигуры,- площадь внешней ступенчатой фигуры. С другой стороны, по определению интеграла можно записать:

Таким образом, числа иразделяют одни и те же числовые множества:

и.

Но, как было показано при изучении определённого интеграла, эти множества разделяются лишь одним числом, и потому

Теорема доказана.

Аналогично доказывается, что если фигура ограничена снизу графиком функции , сверху графиком функции, а слева и справа прямыми(рис.30), то её площадь выражается формулой:

Наглядный смысл формулы (4) состоит в том, что криволинейную трапецию можно рассматривать как объединение «бесконечно тонких полосок» с основаниями dx и высотами.

Пусть теперь функция непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на нём только неположительные значения. Выразим с помощью определённого интеграла площадь соответствующей криволинейной трапецииF.

Рассмотрим фигуру Ф, симметричную фигуре Fотносительно оси Ох. Эта фигура (рис.31) представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком непрерывной на отрезке [a;b] функции, которая на [a;b] принимает только неотрицательные значения. По доказанному выше

Но Значит,

.

Как мы видим, в рассматриваемом случае интеграл даёт значение площади криволинейной трапецииFс точностью до знака. Если же функцияfменяет знак на отрезке [a;b] в конечном числе точек, то значение интеграладаёт алгебраическую сумму площадей соответствующих криволинейных трапеций, ограниченных частями графика функции, отрезками оси Ох и, быть может, отрезками, параллельными оси Оу (рис.32).

Пример 1. Найдём площадь фигуры, ограниченной кривой , осью абсцисс и прямыми х=1, х=2. (рис.33).

Решение. Имеем:

Пример 2. Вычислим площадь фигуры, ограниченной дугой параболы и отрезком прямой. (рис.34)

Решение. Из рисунка видно, что трапеции, площадь которой нужно найти, расположена симметрично относительно оси абсцисс и, следовательно, искомая площадь равна

Пример 3. Найдём площадь, ограниченной графиками функции ,(рис.35).

Решение. Искомая площадь равна разности площадей криволинейного треугольника ОАВ и прямоугольного треугольника ОАВ:

Пример 4. Вычислим площадь фигуры, ограниченной петлёй кривой

Решение. Из уравнения кривой видно, что она расположена симметрично относительно оси Ох. Следовательно, можно сначала вычислить половину искомой площади (рис.36). Рекомендуем читателю подробно исследовать и построить данную кривую.

Записав уравнение кривой в виде найдём точки пересечения с осью Ох, положив у=0:х₁=0, х₂=а.

Учитывая сказанное, найдём площадь половины петли:

.

5. Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрическими уравнениями. Пусть кривая,, задана в параметрической форме

t ,

Где функция монотонна на отрезке, причёми имеет на этом отрезке непрерывную производную. Так както по формуле замены переменной под знаком определённого интеграла получаем:

Итак,

(5)

Пример 5. Вычислим площадь эллипса t,

Решение. Выберем ту часть эллипса (рис.37), которая расположена в первом квадранте. Точке А(а;0) соответствует значению t=0, а точке В(0;b) – значение. Поэтому

Итак,

6. Площадь в полярных координатах. Вычислим площадь сектора, ограниченного лучамиl иm, выходящими из точки О, и непрерывной кривой Г(рис.38).

Выберем полярную систему координат, полюсом которой является точка О. Пусть - полярное уравнение кривой Г, аи Ф – углы между полярной осью и лучамиl иmсоответственно. При этом пусть функциянепрерывна на. Разобьём данный сектор наnчастей лучами

и рассмотрим к-ый частичный сектор(рис.39).

Пусть r_k наименьшее значение функциив, а R_k– наибольшее значение функции в этом отрезке.

Построим два круговых сектора с радиусами r_k иR_k. Обозначим черезвеличину угла рассматриваемого частичного сектора. Тогда площадь частичного криволинейного сектора будет заключена между площадями вписанного и описанного частичных круговых секторов

Построим аналогичным образом внутренние и внешние круговые секторы для всех частичных криволинейных секторов. Объединяя их, получим внутреннюю и внешнюю фигуры.

Площадь внутренней фигуры, состоящей из круговых секторов, равна а площадь верхней фигуры равнаЭти выражения являются нижней и верхней суммами Дарбуs_p иS_pдля интеграла. Так как функциянепрерывна, то непрерывна, а потому и интегрируема, функция. Поэтому для любогонайдётся такое разбиение Р отрезка, чтоS_p–s_p <. Из теоремы 2 п.2 следует, что заданный криволинейный сектор квадрируем. При этом для его площадиSвыполняются неравенства

(6)

В тоже время по определению определённого интеграла

(7)

В силу единственности разделяющего числа из неравенств (6) и (7) следует, что

(8)

Пример 6. Вычислим площадь, ограниченную одним лепестком кривой (рис.40).

Решение. Значения исоответствуют.

Поэтому