§4. Площадь поверхности вращения.

Пусть даны прямая mи кривая Г, лежащая в одной плоскости сmи расположенная по одну сторону от этой прямой. При вращение кривой Г вокруг осиmполучается поверхность, площадь которой мы хотим сначала определить, а потом вычислить.

Начнём со случая, когда Г – отрезок, один конец которого отстоит от mнаr, а другой наR. (рис.58). Тогда, как доказывается в школьном курсе геометрии, площадь поверхности вращения (боковой поверхности усечённого конуса) выражается формулой

Р() =(r+R)l.

В этом случае при rRимеем:

(1) 2rl Р()2Rl

Таким образом, боковая поверхность конуса заключена между произведением длины образующей на длину наименьшей окружности и произведением длины образующей на длину наибольшей окружности.

То же самое неравенство будет иметь место и при вращении любой ломаной линии, расположенной по одну сторону от оси вращения:

(2) 2rl Р()2Rl,

где rиR– наименьшее и наибольшее расстояния точек ломаной от осиm, l– длина ломаной.

Для доказательства достаточно применить неравенство (1) к каждому звену ломаной, сложить полученные результаты и учесть, что l_k=lи для любого звена имеемrr_к,R_к R(здесьr_к и R_к – наименьшее и наибольшее расстояния точекк-го звена от оси вращения).

Естественно потребовать, чтобы неравенства (2) выполнялись для любой спрямляемой кривой. Кроме того, потребуем, чтобы площадь поверхности вращения обладала свойством аддитивности: при разбиении дуги Г на части ɣ₀, …, ɣ_n-1должно выполняться равенство (3) Р() =

где - поверхность, полученная при вращении всей дуги Г, а - при вращении части ɣ_к.

Если применить к каждой части неравенства (2), то получим, что 2r_кl_к Р()2R_кl_к,

где l_к= l(ɣ_к) – длина дуги ɣ_к, аr_к иR_к– наименьшее и наибольшее расстояния точек этой дуги ɣ_кот оси вращения. Складывая эти неравенства и учитывая требование аддитивности, получаем, что

(4) 2 r_кl_к Р()2 R_кl_к.

Иными словами, площадь поверхности вращения должна разделять множества

и.

Именно это требование мы и примем за определение площади поверхности вращения.

Если Г – плоская спрямляемая кривая, лежащая по одну сторону от оси m, то площадью поверхности, получаемой при вращении этой кривой вокруг осиm, называется число Р(), разделяющее эти множестваи, соответствующие всевозможным разбиениям дуги Г. Здесьr_к,l_к , R_к имеют указанный выше смысл.

Докажем сейчас, что это число существует и единственно, а затем выведем для него выражение в виде интеграла. Выберем на плоскости систему координат, такую, что ось абсцисс совпадает с осью вращения. Зададим параметризацию кривой Г, выбрав в качестве параметра длину l дуги Ам, соединяющей в заданном направлении фиксированную точку А кривой Г с произвольной точкой М этой кривой (рис.59). Тогдаr_ки R_к будут наименьшими и наибольшими значениями ординаты для точек части ɣ_к.

Поэтому суммы, стоящие в неравенствах (4) слева и справа, являются не чем иным, как суммами Дарбу для интеграла 2 (l ) dl, где черезLобозначена длина всей кривой Г. Поскольку функцияy(l) непрерывна в силу непрерывности кривой Г, то существование и единственность числа, разделяющего эти суммы Дарбу, вытекают из теоремы существования интеграла от непрерывной функции. При этом мы доказали, что площадь поверхности вращения, т.е. число Р(), разделяющее эти суммы, равняется интегралу:

(5) Р() = 2 (l ) dl.

Из формулы (5) получаются различные частные случаи в зависимости от того, как задана кривая Г. Если она задана параметрически:

t₀ tT,

и формула (5) принимает вид:

(6) Р() = 2

(когда lменяется от 0 доL, переменнаяtменяется отt₀до Т).

В частности, если кривая Г задана явным уравнением y=f(x), ахв, то

(7) .

Если кривая Г задана в полярных координатах уравнением гдеФ, а функцияимеет непрерывную производнуюна[; Ф], то, учитывая, что, а=, получим:

(8) Р = 2.

Пример 1. Найдём площадь поверхности шара радиуса R.

Решение. Поместим начало координат в центр шара. Будем рассматривать поверхность шара как поверхность, полученную в результате вращения полуокружности х²+у²=R²вокруг оси Ох. Тогда площадь поверхности шара найдётся по формуле

Р =.

Так как - функция чётная, то

Р =.

Найдя и вычислив сумму

=,

получим:

.

34