lekcii_po_metrologii

Рис. 1.4. Классификация погрешностей измерений

Промах – погрешность измерения, которая явно и резко искажает результат. Промах является случайной субъективной ошибкой. Его появление – следствие неправильных действий экспериментатора.

Грубые погрешности и промахи обычно исключаются из экспериментальных данных, подлежащих обработке.

Отдельное значение случайной погрешности предсказать невозможно. Совокупность же случайных погрешностей какого-то измерения одной и той же величины подчиняется определенным закономерностям, которые являются вероятностными. Они описываются в метрологии с помощью методов теории вероятностей и математической статистики. При этом физическую величину, результат измерения которой содержит случайную погрешность, и саму случайную погрешность рассматривают как случайную величину.

Для количественной оценки объективной возможности появления того или иного значения случайной величины служит понятие вероятности, которую выражают в долях единицы (вероятность достоверного события равна 1, а вероятность невозможного события – 0).

Математическое описание непрерывных случайных величин осуществляется обычно с помощью дифференциальных законов распределения случайной величины. Эти законы определяют связь между возможными значениями случайной величины (погрешности) и соответствующими им плотностями вероятностей (непрерывной считают случайную величину, имеющую бесчисленное множество значений, получить которое можно только при бесконечном числе измерений).

Систематическая погрешность – составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины (см. рис. 1.4).

Выявление и оценка систематических погрешностей являются наиболее трудным моментом любого измерения и часто связаны с необходимостью проведения исследований. Обнаруженная и оцененная систематическая погрешность исключается из результата введением поправки. В зависимости от причины возникновения различают следующие систематические погрешности.

Погрешность метода (теоретическая погрешность) измерений – со-

ставляющая погрешности измерения, обусловленная несовершенством метода измерений. Здесь необходимо учитывать тот факт, что метод измерения, по определению, включает в себя и принцип измерения. Рассматриваемая погрешность определяется в основном несовершенством принципа измерения и, в частности, недостаточной изученностью явления, положенного в основу измерения.

Инструментальная погрешность измерения – составляющая погреш-

ность измерения, зависящая от погрешности применяемых средств измерений. Данная погрешность имеет несколько составляющих, наиболее важные из которых определяются несовершенством конструкции (или схемы), тех-

24

нологии изготовления средств измерений, постепенным их износом и старением материалов, из которых эти средства измерений изготовлены.

Погрешность установки является следствием неправильности установки средств измерений.

Погрешность от влияющих величин является следствием воздействия на объект и средством измерений внешних факторов (тепловых и воздушных потоков, магнитных, электрических, гравитационных и других полей, атмосферного давления, влажности воздуха, ионизирующего излучения).

Субъективная погрешность обусловлена индивидуальными свойствами человека, выполняющего измерения. Причиной ее являются укоренившиеся неправильные навыки выполнения измерений. К этой систематической погрешности относятся, например, погрешность из-за неправильного отсчитывания десятых долей делений шкалы прибора, погрешности из-за различной для различных людей скорости реакции и т. п.

По характеру проявления систематические погрешности подразделяют на постоянные и переменные (см. рис. 1.4).

Постоянные погрешности не изменяют своего значения при повторных измерениях. Причинами этих погрешностей являются: неправильная градуировка или юстировка средств измерений, неправильная установка начала отсчета и т. д.

Переменные погрешности при повторных измерениях могут принимать различные значения. Если переменная погрешность при повторных измерениях возрастает или убывает, то ее называют прогрессивной. Переменная погрешность может изменяться при повторных измерениях периодически или по сложному закону.

Причинами возникновения переменной систематической погрешности являются: действие внешних факторов и особенности конструкций средств измерений. Близость к нулю систематической погрешности определяется как правильность измерений. Исключение систематической погрешности из результатов измерений рассматривается как исправление этих результатов. Поэтому результаты наблюдений или измерений, содержащие неисключенную систематическую погрешность, называют неисправленными, а результаты, в которых систематическая погрешность исключена, – исправленными.

Погрешности, приведенные на рис. 1.4, могут иметь место как при статических, так и при динамических измерениях (см. п. 1.4.3). Погрешности, возникающие при этих измерениях, принято называть соответственно ста-

тическими или динамическими.

1.3.5. Вероятностные оценки погрешности измерений. Оценка и учет погрешностей при точных измерениях

При выполнении точных измерений пользуются средствами измерений повышенной точности, а вместе с тем применяют и более совершенные ме-

25

тоды измерения. Однако, несмотря на это, вследствие неизбежного наличия во всяком измерении случайных погрешностей, истинное значение измеряемой величины остается неизвестным, и вместо него мы принимаем некоторое среднее арифметическое значение, относительно которого при большом числе измерений, как показывает теория вероятностей и математическая статистика, у нас есть обоснованная уверенность считать, что оно является наилучшим приближением к истинному значению.

В математической статистике и теории вероятностей среднее значение величины при неограниченно большом числе отдельных наблюдений называют математическим ожиданием.

Обычно, кроме случайных погрешностей, на точность измерения могут влиять систематические погрешности. Измерения должны проводиться так, чтобы систематических погрешностей не было. В дальнейшем при применении предложений и выводов, вытекающих из теории погрешностей, и обработке результатов наблюдения будем полагать, что ряды измерений не содержат систематических погрешностей, а также из них исключены грубые погрешности.

Теория случайных погрешностей, а вместе с тем и суждение о закономерностях, которым подчиняются случайные погрешности, основывается на двух аксиомах, базирующихся на опытных данных.

Аксиома случайности. При очень большом числе измерений случайные погрешности, равные по величине, но различные по знаку, встречаются одинаково часто, т. е. число отрицательных погрешностей равно числу положительных.

Аксиома распределения. Малые погрешности случаются чаще, чем большие. Очень большие погрешности не встречаются.

Пусть неизвестное истинное значение некоторой неизменной величины есть X. При измерении этой величины получено n независимых Друг от друга результатов наблюдений x1, x2, x3, ..., xn. Измерения выполнены одним и тем же прибором и с одинаковой тщательностью, т.е. одинаково точными и свободными от систематической погрешности. Предположим, что каждому измерению сопутствует случайная погрешность δ1, δ2, ..., δn – различная по значению и по знаку. Следовательно, для каждого результата наблюдений можно написать выражение вида δi = хi –X и затем получить совокупность уравнений для ряда измерений:

δ1 = x1 −X ;
δ2	= x2 −X
.......... .......
			(1.9)
.......... .......
δn = x n −X
n	n
∑δi	= ∑x i −nX
i=1	i=1

26

Предположим, что в выполненных измерениях число, сумма и числовые значения положительных случайных погрешностей приблизительно равны числу, сумме и значениям отрицательных погрешностей. Другими словами, распределение случайных погрешностей – равностороннее по отношению к среднему значению измерений X.

Таким образом, по предположению,

∑δi =0 ,						(1.10)
и поэтому
X ≈		=	1	∑n	xi .	(1.11)
	X
			n i=1

Это равенство позволяет считать, что среднее арифметическое значение X (или математическое ожидание М) является наиболее близким к истинному значению измеряемой величины X, какое только можно получить из имеющихся опытных данных. Сделанное допущение о справедливости (1.10) и приводит к справедливости выражения (1.11).

После того как найдено среднее значение X (1.11) для ряда наблюдений х1, x2, ..., хn, для изучения погрешностей необходимо найти случайные отклонения vi каждого результата наблюдения от среднего значения X :

v1	= x1 −						;
				X
v	= x		−					;
		2			X
2
.......... ......											(1.12)
.......... ......
vn	= x n		−X

В соответствии с аксиомой случайности

∑n vi ≈0 . i=1

Выше отмечалось, что отклонения в измерениях или погрешности являются случайными, т.е. значение (размер) их для каждого отдельного измерения нельзя предвидеть. Поэтому представляется естественным применять к ним те общие законы для случайных явлений (или величин), которые рассматриваются в теории вероятностей и математической статистике.

Закон нормального распределения случайных погрешностей выражается следующим уравнением:

27

Рис. 1.5. Кривая нормального распределения случайных погрешностей

	1	e−	д2
f (д) =			2уn2	,	(1.13)
уn		2р

где f (σ) – плотность распределения вероятностей; σn – среднее квадратическое отклонение результата наблюдения при большом числе измерений ( n → ∞); е – основание натуральных логарифмов; е = 2,7183.

На рис. 1.5 закон распределения случайных погрешностей, выражаемый уравнением (1.13), представлен в виде симметричной кривой, которую называют кривой нормального (гауссовского) распределения случайных погрешностей.

Наблюдения, проведенные при большом числе повторных измерений в одних и тех же условиях, показывают, что для результатов этих наблюдений частота появления тех или иных значений случайных погрешностей подчиня-

ется устойчивым закономерностям. Если через mi обозначить частоту появлений значения погрешности δi при общем их числе n, то отношение mi /n есть относительная частота появлений значения δi. При неограниченно большом числе наблюдений ( n → ∞) это отношение равнозначно понятию вероятности, т.е. может рассматриваться как статистическая вероятность (pi = mi /n) появления погрешности δi при повторении измерений в неизменных условиях. Общность понятий частоты и вероятности подробно рассматривается в курсах теории вероятностей.

Вероятность того, что погрешности не превосходят численно некоторого значения | δ |, т.е. лежат в пределах от – δ до +δ, может быть найдена (учитывая симметричность кривой нормального распределения) путем интегрирования уравнения (1.13):

	1	д	−	д2		dд
				2уn2
P =2		∫e					.
	2	р 0				дn

Производя замену переменной δ/σn = t, получаем:

	1	д	−	t 2
P =2		∫e		2 dt =Ф(t ) .
	2р 0

28

Рис. 1.6. Кривые нормального распределения случайных погрешностей, соответствующие трем различным значениям σn

Для функции

	1	t	−	t 2
Ф(t ) =		∫e		2 dt ,		(1.14)
	2р 0

которую принято называть нормальной функцией распределения, составлены таблицы для различных значений t.

Возвращаясь к рис. 1.5, найдем точки перегиба кривой и соответствующие им значения –δk и +δk. Для этого приравняем вторую производную уравнения (1.13) нулю и найдем, что перегиб кривой происходит в двух точках, симметрично расположенных по обе стороны от оси ординат f (δ), при значениях ±δk = ±σn. Полученные точки перегиба разделяют область часто встречающихся случайных погрешностей от области погрешностей, редко встречающихся.

Для неограниченно большого ряда измерений 68,3% всех случайных погрешностей ряда лежит ниже данного значения σn и 31,7% выше его.

Параметр σn однозначно характеризует форму кривой распределения случайных погрешностей. Ордината f (δ) кривой распределения, соответствующая δ = 0, обратно пропорциональна σn; при увеличении σn ордината f (0) уменьшается (рис. 1.6). Так как площадь под кривой распределения всегда равна единице, то при увеличении σn кривая распределения 3 (рис. 1.6) становится более плоской, чем кривая 2, растягиваясь вдоль оси абсцисс. С другой стороны, при уменьшении σn кривая распределения 1 вытягивается

вверх, одновременно сжимаясь вдоль оси абсцисс. Таким образом, малому значению σn соответствует преобладание малых случайных погрешностей, а вместе с тем и большая точность измерения данной величины; при большом же σn большие случайные погрешности встречаются значительно чаще, следовательно, точность измерения меньше.

Конечная цель анализа выполненных измерений состоит в определении погрешности результата наблюдения ряда значений измеряемой величины х1, x2, ..., хn и погрешности их среднего арифметического значения, принимаемого как окончательный результат измерения, относительной частоты погрешностей и вероятности.

29

Оценка точности результата наблюдения. Для оценки точности ре-

зультата наблюдения служит среднее квадратическое отклонение результата наблюдения σn (квадрат этой величины, т.е. у2n называется рассеянием или

дисперсией результата наблюдения и обозначается обычно символом D). В реальных условиях мы имеем дело с конечными рядами наблюдаемых значений измеряемой величины, так что, определяя σ при ограниченном числе наблюдений, можем найти только приближенное значение или оценку этого отклонения, определяемого по формуле

	1	n
у =		∑(xi − X )2 ,	(1.15)
	n −1i =1
где n – число наблюдений;	xi – значение величины, полученное при i-м на-

блюдении; X – среднее арифметическое значение (результат измерений). Выражение (1.15) при ограниченном числе наблюдений дает несме-

щенную оценку среднего квадратического отклонения результата наблюдений.

Для получения полного представления о точности и надежности оценки случайного отклонения результата наблюдения должны быть указаны доверительные границы, доверительный интервал и доверительная вероятность. При известном σ доверительные границы указываются следующим образом: нижняя граница – σ или X – σ, верхняя граница + σ или X + σ (сокращенно ±σ или X ± σ), за пределы которых с вероятностью Р = 0,683 (или 68,3%) не выйдут значения случайных отклонений xi – X или результатов отдельных наблюдений xi ряда измерений. Доверительный интервал выражается в виде

IP = ( X – σ; X + σ ) .

В зависимости от целей измерения могут задаваться и другие довери-

тельные границы: – tPσ или X – tPσ и + tPσ или X + tPσ. Значения tP для наиболее употребительных доверительных вероятностей при n → ∞ приведе-

ны в табл. 1.1. В инженерной практике предпочтение отдается вероятности

0,95 и 0,997.

Таблица 1.1. Значения tP для наиболее употребительных вероятностей при n → ∞

P	0,683	0,90	0,95	0,98	0,99	0,9973
tP	1	1,645	1,96	2,33	2,58	3.000

Оценка точности результата измерения. Для оценки достоверности результата измерения, принимаемого равным среднему значению X , приме-

30

няют показатель точности, аналогичный показателю точности результата наблюдения. При этом согласно теории погрешностей оценка среднего квадра-

тического отклонения результата измерения уX в n раз меньше оценки

среднего квадратического отклонения результата наблюдения (1.15). Таким образом, при числе измерений n оценка среднего квадратического отклонения результата измерения

= у

1

n

−X )2 .

(1.16)

у

∑ (x

i

X

n n(n −1) i =1

Доверительные границы погрешности результата измерения указыва-

ются следующим образом: нижняя граница −у

или

−у

, верхняя грани-

X

X

X

ца +уX или X +уX , за пределы которых с вероятностью 0,683 не выйдут по-

грешности результата измерения или среднее арифметическое значение X . Доверительный интервал представляют в виде

I p =(X −уX ; X +уX ) .

В зависимости от назначения измерений может быть задана и другая доверительная вероятность. В этом случае доверительные границы записываются как −tpуX или X −tpуX и +tpуX или X +tpуX , а доверительный интер-

вал

I p = (X −tpуX ; X +tpуX ) .

Оценка точности результата измерения при малом числе наблюдений.

На практике, как правило, число измерений конечно и в большинстве случаев не превышает 15 – 20 отдельных наблюдений, а при ответственных измерениях – нескольких десятков. При малом числе наблюдений ( n ≤20 ) и условии, что распределение погрешностей отдельных измерений следует нормальному, пользуются для определения tP таблицей, основанной на распределении Стьюдента.

Измерения при малом числе наблюдений чаще дают преуменьшенное значение средней квадратической погрешности по сравнению с погрешностью для достаточно большего ряда тех же измерений. Распределение Стьюдента, упрощенно говоря, учитывает это обстоятельство, и при одинаковой доверительной вероятности значение t = v/σ больше в распределении Стьюдента, чем в нормальном. Иными словами, вероятность появления, например, одинаково больших погрешностей в распределении Стьюдента, т.е. при малом числе измерений, – больше.

31

В табл. 1.2 приведены вычисленные по распределению Стьюдента, вероятности (1 – Р) появления погрешностей, превышающих уX , 2уX и3уX в

зависимости от числа измерений n.

Если задана вероятность, то, пользуясь выражением для Р, можно найти положительное число tP, которое будет зависеть только от P и n.

Таблица 1.2 Вероятности (1 – Р) появления погрешностей, превышающих

уX , 2уX и 3уX

Число из-	у			2у					3у						Число из-		у			2у			3у
мерений															мерений
					X					X											X			X
		X																X
n																n
2	0,500			0,295					0,205						12		0,339			0,071			0,012
3	0,423			0,184					0,095						15		0,334			0,064			0,010
5	0,374			0,116					0,030						18		0,331			0,062			0,008
7	0,356			0,002					0,024						20		0,330			0,050			0,007
10	0,343			0,077					0,015							∞	0,317			0,016			0,003
Полагая									ε = tP у				,										(1.17)
												X
получаем
				P (				– ε < X <								+ ε) = P ;							(1.18)
							X								X

при этом ε будет зависеть от n, Р и значений x1, х2, х3, ..., хn, которые входят в

ε через уX . Выражение (1.18) позволяет достаточно точно произвести оценку приближенного равенства X ≈ X .

При практическом применении распределения Стьюдента погрешность ε среднего арифметического значения (результата измерения) при малом числе наблюдений ( n ≤20 ) и заданной доверительной вероятности Р определяется из значений σ или уX , вычисленных по формулам (1.15) или (1.16), с

помощью выражения

е =tP	у	=tP у		.	(1.19)
	n		X

Значения tP для наиболее употребительных доверительных вероятностей Р и различных п – 1 приводятся в справочных таблицах.

При n →∞ (n > 200) распределение Стьюдента сходится с нормаль-

ным.

Для оценки среднего арифметического значения X , принимаемого как окончательный результат измерения, указываются доверительные грани-

32