3558_EI
.pdfСистема состоит из 5 уравнений и имеет 6 неизвестных. Система неопределенная. Одному из потенциалов задаем значение произвольно: пусть u1 = 0. Находим остальные потенциалы:
u2 = 4; u3 = 5; |
|
v1 = 1; v2 = -3; |
v3 = -4. |
Проверяем опорное решение на оптимальность. Для этого вычисляем оценки ij для всех незаполненных клеток таблицы:
12 = u1 + v2 - c12 = 0 - 3 - 3 = -6; 13 = u1 + v3 - c13 = 0 - 4 - 2 = -6; 23 = u2 + v3 - c23 = 4 - 4 - 4 = -4; 31 = u3 + v1 - c31 = 5 + 1 - 4 = 2.
Полученное опорное решение не является оптимальным, т.к. имеются положительные оценки.
Переходим к новому опорному решению. Для клетки (3, 1) строим цикл (табл. 4). Осуществляем сдвиг по циклу на величину θ = 150. Получаем новое опорное решение (табл. 5).
Таблица 5
A\B |
250 |
|
250 |
100 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
2 |
100 |
100 |
|
|
|
|
|
-4 |
|
-4 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
1 |
4 |
200 |
|
|
200 |
|
|
-2 |
|
|
-4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
1 |
300 |
150 |
|
50 |
100 |
|
|
|
|
|
Значение целевой функции на данном опорном решении:
Z(X) = 100·1 + 200·1 + 150·4 + 50·2 + 100·1 = 1100.
Для проверки оптимальности опорного решения находим потенциалы. Записываем систему уравнений для нахождения потенциалов.
u1 + v1 = 1, u2 + v2 = 1, u3 + v1 = 4, u3 + v2 = 2, u3 + v3 = 1.
11
Система состоит из 5 уравнений и имеет 6 неизвестных. Система неопределенная. Одному из потенциалов задаем значение произвольно: пусть u1 = 0. Находим остальные потенциалы:
u2 = 2; u3 = 3; |
|
v1 = 1; v2 = -1; |
v3 = -2. |
Проверяем опорное решение на оптимальность. Для этого вычисляем оценки ij для всех незаполненных клеток таблицы:
12 = u1 + v2 - c12 = 0 - 1 - 3 = -4; 13 = u1 + v3 - c13 = 0 - 2 - 2 = -4; 21 = u2 + v1 - c21 = 2 + 1 - 5 = -2; 23 = u2 + v3 - c23 = 2 - 2 - 4 = -4.
Полученное опорное решение является оптимальным, т.к. все оценки отрицательные.
Ответ: Наименьшие затраты на перевозку составят minZ = 1100 условных денежных
100 |
0 |
0 |
|
единиц при оптимальном плане перевозок X* = 0 |
200 |
0 |
. |
|
50 |
100 |
|
150 |
|
Модель Леонтьева. Макроэкономика функционирования многоотраслевого хозяйства требует баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль, с одной стороны, является производителем продукции, а с другой стороны, она же является потребителем продукции, выпускаемой другими отраслями. Возникает довольно непростая задача расчета связи между отраслями через производство и потребление продукции разного вида. Данная задача решается с использованием модели Леонтьева. Эта модель основана на алгебре матриц и использует аппарат математического анализа.
Введем следующие обозначения:
xi – общий объем продукции i-й отрасли (ее валовой выпуск);
xij – объем продукции i-й отрасли, потребляемый j-й отраслью при производстве объема продукции xj;
yi – объем продукции i-й отрасли, предназначенный для реализации (потребления) в непроизводственной сфере, или так называемый продукт конечного потребления. К нему относятся личное потребление граждан, удовлетворение общественных потребностей, содержание государственных институтов и т.д.
Балансовый принцип связи различных отраслей промышленности состоит в том, что валовой выпуск i-й отрасли должен быть равным сумме объемов потребления в
12
производственной и непроизводственной сферах. В самой простой форме (гипотеза линейности, или простого сложения) балансовые соотношения имеют вид
xi = xi1 + xi2 + ... + xin + yi,i = 1, 2, ...…, n. |
(1) |
Уравнение (1) называют соотношением баланса.
Линейная модель многоотраслевой экономики
В.В. Леонтьевым на основании анализа экономики США в период перед Второй мировой войной был установлен важный факт: в течение длительного времени величины aij = xij / xj меняются очень слабо и могут рассматриваться как постоянные числа.
В силу указанного факта можно сделать следующее допущение: для производства продукции j-й отрасли объема xj нужно использовать продукцию i-й отрасли объема aijxi, где aij – постоянное число. При таком допущении технология производства принимается линейной, а само это допущение называется гипотезой линейности. При этом числа aij называются коэффициентами прямых затрат. Согласно гипотезе линейности, имеем
xij = aijxj; i, j = 1, 2, …, n. |
(2) |
Тогда уравнение (1) можно переписать в виде системы уравнений
x1 a11 x1 a12 x2 ... |
a1n xn y1 , |
|
|
||||||||||||
|
|
a21 x1 a22 x2 |
a2n xn y2 |
|
|
||||||||||
x2 |
, |
||||||||||||||
.............................................. |
|
|
(3) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
a |
x a |
n 2 |
x |
2 |
... |
a |
nn |
x |
n |
y |
n1 |
, |
|
|
|
n1 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Введем в рассмотрение вектор-столбец объемов произведенной продукции (вектор валового выпуска), вектор-столбец объемов продукции конечного потребления (вектор конечного потребления) и матрицу коэффициентов прямых затрат:
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
x2 |
|
|
|
x |
... |
|
, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
a |
|
a |
... |
a |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
11 |
12 |
|
|
1n |
|
|
|
y |
y |
2 |
|
, |
A |
a21 |
a22 |
... |
a2n |
. |
(4) |
|||
... |
... ... |
... |
... |
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an2 |
... |
|
|
|
|
|
|
yn |
|
|
|
an1 |
ann |
|
|
||||||
Тогда система уравнений (3) в матричной форме имеет вид
х =А х + y . |
(5) |
13
Обычно это соотношение называют уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с описанием матричного представления (4) это уравнение носит название модели Леонтьева.
Система (5) имеет ряд особенностей, вытекающих из прикладного характера данной задачи: все элементы матрицы коэффициентов прямых затрат А и векторов х и y должны быть неотрицательными.
Задача (модель Леонтьева)
Даны вектор непроизводственного потребления C и матрица межотраслевого баланса А:
3 |
|
|
0,5 |
0,25 |
|
|
C |
|
, |
А = |
|
|
. |
|
|
|
|
0,25 |
0,25 |
|
1 |
|
|
|
|
||
Найти вектор валового выпуска, обеспечивающий данный вектор потребления.
Решение: Из равенства C = X – AX следует, что X = (E – A)-1C. Находим матрицу (Е – А):
|
1 |
0 |
|
|
0,5 |
0,25 |
|
|
0,5 |
0,25 |
|
(Е – А) = |
|
|
|
– |
|
|
|
= |
|
|
. |
|
0 |
1 |
|
|
0,25 |
0,25 |
|
|
0,25 |
0,75 |
|
|
|
|
|
|
|
Находим определитель матрицы |Е – А|:
|Е – А| = |
|
0,25 |
|
= 0,5 0,75 ( 0,25) ( 0,25) = 0,3125. |
0,5 |
|
|||
|
0,25 |
0,75 |
|
|
Определитель не равен нулю, матрица (Е – А) невырожденная и имеет обратную. Транспонируем матрицу (Е – А):
|
0,5 |
0,25 |
|
(Е – А)Т = |
|
|
|
|
0,25 |
0,75 |
|
|
|
и находим присоединенную к ней матрицу:
(Е – А)* = |
|
0,75 |
0,25 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
0,25 |
0,5 |
|
|
|
|
||
14 |
|
|
|
|
Находим обратную матрицу (Е – А)-1:
(Е – А)-1 = |
Е А |
= |
1 |
|
0,75 |
0,25 |
|
|
2,4 |
0,8 |
|
||
· |
|
|
|
= |
|
|
. |
||||||
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е А |
|
|
0,3125 |
0,25 |
0,5 |
0,8 |
1,6 |
||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
Элементы матрицы (Е – А)-1 неотрицательные. Следовательно, исходная матрица межотраслевого баланса A продуктивна.
Определяем вектор валового выпуска X = (E – A)-1C:
|
2,4 |
0,8 |
|
3 |
|
|
2,4 3 0,8 1 |
|
8 |
|
|
Х = |
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
. |
|
|
0,8 |
1,6 |
|
|
|
|
0,8 3 1,6 1 |
|
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
8
Ответ: .
4
Модель НЕЙМАНА (модель расширяющейся экономики) — теоретическая модель экономической динамики, предложенная выдающимся американским математиком Дж. фон Нейманом. В этой модели производство всех продуктов растет в одном темпе, цены не зависят от времени, прирост производства финансируется путем инвестирования прибыли.
В модели рассматривается ограниченное число (k) технологических способов, выпускающих n продуктов с определенными интенсивностями. Чистый продукт делится на фонд потребления и фонд накопления. На этой основе записывается ряд соотношений, используя которые можно последовательно, шаг за шагом «развивать» процесс производства.
Нейман обобщил модель линейного программирования, учтя временной разрыв между затратами и результатами технологического процесса. Если в линейном программировании моменты осуществления затрат и выпуска рассматриваются как одновременные, то в модели фон Неймана матрицы коэффициентов затрат (технологическая матрица) A и коэффициентов выпуска Y отделены друг от друга. Кроме того, предполагается возможным производство любых благ, коэффициенты затрат aij относятся не к единице продукта, а к единице «уровня деятельности». Тогда продукт ВХ, использование которого становится возможным в конце периода, компенсирует затраты AX, и разность между общим продуктом и затратами составляет чистый продукт Y.
Задача (модель Неймана)
Даны матрицы A, B технологических процессов, вектор цен P и вектор начальных запасов S:
15
1 |
2 |
, |
2 |
3 |
, |
P 2 |
6 , |
|
30 |
|||||
A |
|
|
|
B |
|
|
|
S |
|
. |
||||
|
2 |
1 |
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найти интенсивности технологических процессов, максимизирующих стоимость выпуска продукции за один производственный цикл и максимальную стоимость.
Решение.
z1
Пусть Z – вектор-матрица искомых интенсивностей. Тогда для их
z2
нахождения составим задачу линейного программирования:
PBZ max,
AZ S.
Находим:
PBZ → max 2 |
|
2 |
3 |
|
z |
|
→ max 2 2 6 3 |
z |
|
|
6 |
|
|
|
1 |
|
2 3 6 4 1 |
|
|||
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
z2 |
|
|
|
|
22 |
|
z |
|
→ max 22z1 |
+30z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
30 |
|
1 |
|
→ max. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
2 |
z |
|
30 |
|
|
|
1 z 2 z |
|
|
|
|
30 |
z 2z |
|
|
|
30 |
|
|||||||
AZ ≤ S |
|
|
1 |
|
≤ |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
≤ |
|
|
1 |
|
2 |
|
≤ |
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
z1 |
1 z2 |
|
|
|
|
|
2z1 |
z2 |
|
|
30 |
|
|
||
|
1 |
z2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|||||||||
z1 2z2 30,
2z1 z2 30.
Записываем задачу линейного программирования в развернутой форме:
22z1 30z2 max,
z1 2z2 30,2z1 z2 30,
z1, z2 0.
Решаем задачу линейного программирования графическим методом.
Находим область допустимых решений задачи и строим график, как показано на рисунке:
(1) x1 + 2x2 = 30, |
(2) 2x1 + x2 = 30, |
||
(x1 |
= 0, x2 = 15), |
(x1 |
= 0, x2 = 30), |
(x1 |
= 30, x2 = 0). |
(x1 |
= 15, x2 = 0). |
16
30 z2
15 A
B
n
|
C |
z1 |
D |
15 |
30 |
2 |
1 |
|
Область допустимых решений ограничена многоугольником ABCD, который показан на рисунке. На этом же рисунке строим нормаль линий уровня n = (22, 30) и одну из линий уровня, имеющую общие точки с областью допустимых решений.
Для нахождения максимума целевой функции линию уровня перемещаем в направлении нормали до опорной прямой. Эта прямая проходит через точку B, лежащую на пересечении прямых (1) и (2). Решая систему
x1 2x2 30,
2x1 x2 30
получаем точку максимума Z* = (10, 10). Максимальная стоимость продукции, выпущенной за один цикл, составит Zmax = 22·10 + 30·10 = 520 ден. ед.
Ответ: 520 ден. ед.
Вариант 1
Задача № 1 (Транспортная задача)
Фирма «Три толстяка» занимается доставкой мясных консервов с трех складов, расположенных в разных точках города в три магазина. Запасы консервов, имеющиеся на складах, а также объемы заказов магазинов и тарифы на доставку (в условных денежных единицах) представлены в транспортной таблице.
17
Склады |
Магазины |
Запасы, |
|||
|
|
|
тыс. шт. |
||
№1 |
№2 |
№3 |
|||
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Склад № 1 |
3 |
5 |
1 |
700 |
|
|
|
|
|
|
|
Склад № 2 |
7 |
2 |
3 |
200 |
|
|
|
|
|
|
|
Склад № 3 |
4 |
3 |
1 |
100 |
|
|
|
|
|
|
|
Заказы, тыс. шт. |
300 |
500 |
200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти план перевозок, обеспечивающий наименьшие денежные затраты.
Задача № 2 (модель Леонтьева)
Даны вектор непроизводственного потребления C и матрица межотраслевого баланса А:
|
2 |
, |
1 8 |
1 4 |
|
|
C |
|
|
А = |
|
. |
|
|
3 |
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
1 2 |
|
||
Найти вектор валового выпуска, обеспечивающий данный вектор потребления.
Задача № 3 (модель Неймана)
Даны матрицы A, B технологических процессов, вектор цен P и вектор начальных запасов S:
1 |
3 |
, |
2 |
4 |
, |
P 3 7 , |
20 |
|
|||||
A |
|
|
|
B |
|
|
|
S |
|
. |
|||
|
3 |
1 |
|
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найти интенсивности технологических процессов, максимизирующих стоимость выпуска продукции за один производственный цикл и максимальную стоимость.
Вариант 2
Задача № 1 (Транспортная задача)
Фирма «Три толстяка» занимается доставкой мясных консервов с трех складов, расположенных в разных точках города в три магазина. Запасы консервов, имеющиеся на складах, а также объемы заказов магазинов и тарифы на доставку (в условных денежных единицах) представлены в транспортной таблице.
Склады |
Магазины |
Запасы, |
|||
|
|
|
тыс. шт. |
||
№1 |
№2 |
№3 |
|||
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Склад № 1 |
2 |
1 |
6 |
300 |
|
|
|
|
|
|
|
Склад № 2 |
1 |
3 |
5 |
400 |
|
|
|
|
|
|
|
Склад № 3 |
5 |
2 |
4 |
300 |
|
|
|
|
|
|
|
Заказы, тыс. шт. |
250 |
450 |
300 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти план перевозок, обеспечивающий наименьшие денежные затраты.
18
Задача № 2 (модель Леонтьева)
Даны вектор непроизводственного потребления C и матрица межотраслевого баланса А:
|
4 |
, |
1 4 |
1 4 |
|
|
C |
|
|
А = |
|
. |
|
|
5 |
|
|
|
1 4 |
|
|
|
|
1 5 |
|
||
Найти вектор валового выпуска, обеспечивающий данный вектор потребления.
Задача № 3 (модель Неймана)
Даны матрицы A, B технологических процессов, вектор цен P и вектор начальных запасов S:
1 |
4 |
, |
3 |
6 |
, |
P 1 8 , |
60 |
|
|||||
A |
|
|
|
B |
|
|
|
S |
|
. |
|||
|
4 |
1 |
|
|
|
6 |
5 |
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найти интенсивности технологических процессов, максимизирующих стоимость выпуска продукции за один производственный цикл и максимальную стоимость.
Вариант 3
Задача № 1 (Транспортная задача)
Фирма «Три толстяка» занимается доставкой мясных консервов с трех складов, расположенных в разных точках города в три магазина. Запасы консервов, имеющиеся на складах, а также объемы заказов магазинов и тарифы на доставку (в условных денежных единицах) представлены в транспортной таблице.
Склады |
Магазины |
Запасы, |
|||
|
|
|
тыс. шт. |
||
№1 |
№2 |
№3 |
|||
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Склад № 1 |
4 |
2 |
3 |
200 |
|
|
|
|
|
|
|
Склад № 2 |
5 |
4 |
1 |
300 |
|
|
|
|
|
|
|
Склад № 3 |
3 |
1 |
4 |
200 |
|
|
|
|
|
|
|
Заказы, тыс. шт. |
100 |
200 |
400 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти план перевозок, обеспечивающий наименьшие денежные затраты.
Задача № 2 (модель Леонтьева)
Даны вектор непроизводственного потребления C и матрица межотраслевого баланса А:
2 |
|
, |
1/ 5 |
1/ 2 |
|
C |
|
А = |
|
. |
|
|
|
|
|
1/ 4 |
|
1 |
|
|
1/ 8 |
|
|
Найти вектор валового выпуска, обеспечивающий данный вектор потребления.
19
Задача № 3 (модель Неймана)
Даны матрицы A, B технологических процессов, вектор цен P и вектор начальных запасов S:
1 |
5 |
, |
4 |
2 |
, |
P 2 5 , |
40 |
|
|||||
A |
|
|
|
B |
|
|
|
S |
|
. |
|||
|
5 |
1 |
|
|
|
2 |
6 |
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найти интенсивности технологических процессов, максимизирующих стоимость выпуска продукции за один производственный цикл и максимальную стоимость.
Вариант 4
Задача № 1 (Транспортная задача)
Фирма «Три толстяка» занимается доставкой мясных консервов с трех складов, расположенных в разных точках города в три магазина. Запасы консервов, имеющиеся на складах, а также объемы заказов магазинов и тарифы на доставку (в условных денежных единицах) представлены в транспортной таблице.
Склады |
Магазины |
Запасы, |
|||
|
|
|
тыс. шт. |
||
№1 |
№2 |
№3 |
|||
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Склад № 1 |
5 |
4 |
1 |
350 |
|
|
|
|
|
|
|
Склад № 2 |
3 |
5 |
2 |
450 |
|
|
|
|
|
|
|
Склад № 3 |
4 |
3 |
5 |
100 |
|
|
|
|
|
|
|
Заказы, тыс. шт. |
300 |
350 |
250 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти план перевозок, обеспечивающий наименьшие денежные затраты.
Задача № 2 (модель Леонтьева)
Даны вектор непроизводственного потребления C и матрица межотраслевого баланса А:
|
4 |
, |
1/ 4 |
1/ 2 |
||
C |
|
|
А = |
|
. |
|
|
3 |
|
|
|
1/ 3 |
|
|
|
|
1/ 5 |
|
||
Найти вектор валового выпуска, обеспечивающий данный вектор потребления.
Задача № 3 (модель Неймана)
Даны матрицы A, B технологических процессов, вектор цен P и вектор начальных запасов S:
1 |
7 |
, |
3 |
4 |
, |
P 3 |
8 , |
60 |
|
|||||
A |
|
|
|
B |
|
|
|
S |
|
. |
||||
|
7 |
1 |
|
|
|
4 |
7 |
|
|
|
|
|
70 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найти интенсивности технологических процессов, максимизирующих стоимость выпуска продукции за один производственный цикл и максимальную стоимость.
20