- •Раздел 1. Элементы аналитической геометрии
- •Раздел 2. Элементы линейной алгебры
- •Раздел 3. Элементы векторной алгебры
- •Раздел 4. Функции одной переменной
- •Раздел 5. Теория пределов
- •Раздел 6. Непрерывные функции
- •Раздел 7. Дифференциальные исчисления
- •Раздел 8 . Теоремы дифференциального вычисления. Исследование функций и построение графиков
- •Раздел 9. Функции нескольких переменных
- •Раздел 10. Неопределённый интеграл
- •Раздел 11. Определённый интеграл
- •Раздел 12. Ряды
- •Раздел 13. Дифференциальные уравнения
- •Список рекомендуемой основной и дополнительной литературы
- •Контрольные задания, правила выполнения и оформления контрольных работ
- •Тема 1. Элементы аналитической геометрии
- •Тема 2. Элементы линейной алгебры
- •Тема 3. Теория пределов
- •Тема 4. Дифференциальные исчисления
- •Общая схема исследования функции и построения графика
- •Тема 6. Функция двух переменных
- •Тема 6. Интегральные исчисления
- •Свойства неопределённого интеграла
- •Замена переменной в неопределённом интеграле (метод подстановки)
- •Интегрирование по частям
- •Формула интегрирования по частям
- •Площадь плоской фигуры
- •Задания для выполнения контрольной работ Задание 1. Прямая линия на плоскости
- •Задание 4. Предел функции
Тема 1. Элементы аналитической геометрии
Прямая линия на плоскости
Каждая прямая на плоскости определяется линейным уравнением первой степени с двумя неизвестными.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид
, (1.1) где – угловой коэффициент прямой, угол, между прямой и положительным направлением оси
Уравнение прямой, проходящей через две точки и, имеет вид . (1.2)
Если , то уравнение прямой (1.1) имеет вид;
если , то.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении . (1.3)
Две прямые изаданные уравнениями с угловыми коэффициентамии
параллельны, если (1.4)
перпендикулярны, если . (1.5)
Пример 1
Даны вершины треугольника ABC , (рисунок 1).
Найти:
уравнение стороны AB;
уравнение высоты CD, проведённой из вершины C к стороне AB;
уравнение медианы BM, проведённой из вершины B к стороне AC.
Решение:
Рисунок 1 ─ Треугольник ABC
1) Для нахождения уравнения стороны AB воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две данные точки (1.2). Подставим в эту формулу координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ:
(АВ).
2) Высота CD перпендикулярна стороне треугольника AB. Найдём угловой коэффициент прямой АВ, разрешим полученное уравнение относительно :
Чтобы найти уравнение высоты CD, воспользуемся условием перпендикулярности двух прямых (1.5), т.к. CDAB, то угловой коэффициент будет равен,
Искомая высота проходит через точку С(–3; –1). Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку, с заданным угловым коэффициентом (1.3) :
(СD).
3) По определению медиана BM делит точкой М противолежащую сторону СA пополам. Найдём координаты точки М :
Чтобы записать уравнение медианы ВM, воспользуемся формулой (1.2).
(ВМ).
Кривые второго порядка
Эллипс
Каноническое уравнение эллипса , (1.6)
центр эллипса лежит в точке O/(α,β), – большая полуось,– малая полуосьэллипса.
Пример 2
Уравнение кривой привести к каноническому виду и построить линию
Решение: Выделим полные квадраты при и
Разделим уравнение на 100 .
Получили каноническое уравнение эллипса (1.6), точка центр данного эллипса, полуоси ,
Для построения кривой, в системе координат построим точкуи проведёмоси параллельно осям координат. Отложим от точки отрезки ,в направлениях, параллельных и, оси эллипса,. В получившийся прямоугольник впишем эллипс (рисунок 2).
Рисунок 2 ─ График функции
Гипербола
Каноническое уравнение гиперболы с осями, параллельными координатным осям, имеет вид (1.7) или (1.8).
(1.7)
(1.8)
где – координаты центра гиперболы,– действительная полуось,– мнимая полуось гиперболы.
Пример 3
Уравнение кривой привести к каноническому виду и построить линию.
Решение: Выделим полные квадраты при и :
Разделим обе части уравнения на 225 , чтобы получить 1 в правой части .
Получили каноническое уравнение гиперболы (1.7) с центром в точке , и полуосями,
В системе координат построим точкуи проведёмоси ипараллельно осям координат. Построим основной прямоугольник гиперболы в системе координат, откладывая от точки отрезки , , ,.Диагонали прямоугольника будут являться асимптотами гиперболы. Вершины гиперболы – точки и (рисунок 3).
Рисунок 3 ─ График функции
Дробно-линейная функция
Каноническое уравнение дробно-линейной функции
(1. 10)
в новой системе координат , с началом в точкезадаёт равностороннюю гиперболу, асимптотами которой являются оси координат. ─ центр гиперболы.
Если , то ветви гиперболы расположены в чётных квадрантах, а вершинами являются точки А(и.
Если , то ветви гиперболы расположены в нечётных квадрантах, а вершины ─ точкии.
Пример 4
Уравнение кривой привести к каноническому виду и построить линию.
Решение: Приведём уравнение к каноническому виду.
Приведём полученное уравнение к виду (1.10). Выделим целую часть:
Это уравнение гиперболы с центром в точке , осииявляются асимптотами,ветви гиперболы расположены во втором и четвертом квадрантах, вершинами в новой системе координат являются точкии(рисунок 4).
Найдём точки пересечения функции с осями и .
При , получаем
Если , то
Следовательно, гипербола пересекает ось в точке и ось в точке .
Рисунок 4 ─ График функции