Интегрирование по частям
Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле
,
где
─
непрерывно дифференцируемые функции.
При использовании этой формулы за U берется та функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dV - та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.
Пример 21 Найти интегралы:
a)
;
б)
;
в)
.
Решение:
a)
б)
в)
Определенный интеграл
Формула Ньютона – Лейбница
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а;b] и F(x) ─ первообразная для f(x) на этом отрезке, то справедлива формула Ньютона ─ Лейбница
.
Пример 22
Вычислить:
.
Решение:
Формула интегрирования по частям
Пример 23
Площадь плоской фигуры
Площадь фигуры,
ограниченной сверху непрерывной кривой
,
снизу ─ непрерывной кривой
,
слева ─ прямой
,
справа прямой
,
вычисляется по формуле
Пример 24
Найти площадь фигуры, ограниченной
линиями
.
Решение: Определим
точки пересечения данных линий. Из
уравнения прямой находим
.
Решим систему
.
,
,
.
Таким образом, прямая и парабола пересекаются в точках А (-4;9) и В (6;4) (рисунок 6).
Рисунок 6 ─
фигура, ограниченная линиями
.
Площадь фигуры
равна
Задания для выполнения контрольной работ Задание 1. Прямая линия на плоскости
В задачах 1 – 20 даны вершины треугольника ABC. Найти:
а) уравнение стороны AB;
б) уравнение высоты CD, проведённой из вершины C к стороне AB;
в) уравнение медианы BM, проведённой из вершины B к стороне AC;
г) построить чертеж.
|
№ |
|
№ |
|
|
1 |
А(–3; 9), В(4; –2), С(7; 6). |
11 |
А(8; 1), В(–2; –1), С(4; –11) |
|
2 |
А(2; 8), В(–6; –2), С(4; 2). |
12 |
А(–4; –6), В(7; 3), С(–6; 4). |
|
3 |
А(–6; 4), В(3; –7), С(6; 3). |
13 |
А(8; –4), В(6; 6), С(–3; 0). |
|
4 |
А(–7; 1), В(0; –7), С(4; 3). |
14 |
А(–4; 0), В(8; –3), С(3; 7). |
|
5 |
А(–2; –6), В(3; 4), С(–8; 0). |
15 |
А(–5; –5), В(8; –2), С(1; 4) |
|
6 |
А(–2; 8), В(–11; 3), С(2; –3). |
16 |
А(–3; 9), В(–1; –1), С(10; 7) |
|
7 |
А(8; –4), В(3; 9), С(–5; 2). |
17 |
А(6; 7), В(–5; 0), С(8; –6). |
|
8 |
А(0; –9), В(8; 2), С(–2; 2). |
18 |
А(–1; 7), В(–2; –5), С(8; 2). |
|
9 |
А(–3; –1), В(12; –2), С(3; 7). |
19 |
А(0; –2), В(16; –1), С(6; 6). |
|
10 |
А(–2; 9), В(–10; 1), С(4; 3) |
20 |
А(12; –4), В(7; 9), С(0; –5). |
Задание 2. Кривые второго порядка
Уравнение кривой привести к каноническому виду и построить линию.
|
1 |
а)
|
б)
|
|
2 |
а)
|
б)
|
|
3 |
а)
|
б)
|
|
4 |
а)
|
б)
|
|
5 |
а)
|
б) |
|
6 |
а)
|
б)
|
|
7 |
а)
|
б)
|
|
8 |
а)
|
б)
|
|
9 |
а)
|
б)
|
|
10 |
а)
|
б)
|
|
11 |
а)
|
б)
|
|
12 |
а)
|
б)
|
|
13 |
а)
|
б)
|
|
14 |
а)
|
б)
|
|
15 |
а)
|
б)
|
|
16 |
а)
|
б)
|
|
17 |
а)
|
б)
|
|
18 |
а)
|
б)
|
|
19 |
а)
|
б)
|
|
20 |
а)
|
б)
|
Задание 3. Методы решения систем линейных уравнений
Решить систему а) матричным методом, б) методом Крамера.
|
№ |
Система уравнений |
№ |
Система уравнений |
|
1 |
|
11 |
|
|
2 |
|
12 |
|
|
3 |
|
13 |
|
|
4 |
|
14 |
|
|
5 |
|
15 |
|
|
6 |
|
16 |
|
|
7 |
|
17 |
|
|
8 |
|
18 |
|
|
9 |
|
19 |
|
|
10 |
|
20 |
|
