- •Раздел 1. Элементы аналитической геометрии
- •Раздел 2. Элементы линейной алгебры
- •Раздел 3. Элементы векторной алгебры
- •Раздел 4. Функции одной переменной
- •Раздел 5. Теория пределов
- •Раздел 6. Непрерывные функции
- •Раздел 7. Дифференциальные исчисления
- •Раздел 8 . Теоремы дифференциального вычисления. Исследование функций и построение графиков
- •Раздел 9. Функции нескольких переменных
- •Раздел 10. Неопределённый интеграл
- •Раздел 11. Определённый интеграл
- •Раздел 12. Ряды
- •Раздел 13. Дифференциальные уравнения
- •Список рекомендуемой основной и дополнительной литературы
- •Контрольные задания, правила выполнения и оформления контрольных работ
- •Тема 1. Элементы аналитической геометрии
- •Тема 2. Элементы линейной алгебры
- •Тема 3. Теория пределов
- •Тема 4. Дифференциальные исчисления
- •Общая схема исследования функции и построения графика
- •Тема 6. Функция двух переменных
- •Тема 6. Интегральные исчисления
- •Свойства неопределённого интеграла
- •Замена переменной в неопределённом интеграле (метод подстановки)
- •Интегрирование по частям
- •Формула интегрирования по частям
- •Площадь плоской фигуры
- •Задания для выполнения контрольной работ Задание 1. Прямая линия на плоскости
- •Задание 4. Предел функции
Тема 4. Дифференциальные исчисления
Производная и дифференциал
Пусть функция у = f(x) определена на промежутке X. Возьмём точку хХ. Дадим значению х приращение , тогда функция получит приращение .
Определение. Производной функции у = f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению переменной х, при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует): .
Основные правила дифференцирования
Если С ─ постоянное число, ─ функции, имеющие производные, тогда:
; (I)
; (II)
; (III)
; (IV)
. (V)
Если у = f(u), u = φ (х) ─ дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции y=f[(φ(x)] существует и равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной х, т.е. (VI).
Таблица производных основных функций
№ |
Формула |
|
Формула |
1 |
15 | ||
2 |
( |
16 | |
3 |
17 |
| |
4 |
( |
18 | |
5 |
19 |
| |
6 |
20 | ||
7 |
21 | ||
9 |
22 | ||
10 |
23 | ||
11 |
24 | ||
12 |
25 | ||
13 |
26 | ||
14 |
27 |
Пример 14 Найти производные функций:
a) ; b); c).
Решение:
а) функцию можно представить в виде , где . Поэтому, используя правило дифференцирования (VI) и формулы таблицы производных ;
b) функция представлена произведением двух функций, поэтому на основании правила (IV)
c) функцию можно представить в виде, где , используя формулу (26) и правила дифференцирования (V) и (VI) получим:
Определение. Дифференциалом функции у=f(x) называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:
.
Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной, т.е. . Итак, дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента:.
Общая схема исследования функции и построения графика
Для полного исследования функции и построения её графика рекомендуется использовать следующую схему:
1) найти область определения функции;
2) найти точки разрыва функции и вертикальные асимптоты (если они существуют);
3) исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты;
4) исследовать функцию на чётность (нечётность) и на периодичность (для тригонометрических функций);
5) найти экстремумы и интервалы монотонности функции;
6) определить интервалы выпуклости и точки перегиба;
7) найти точки пересечения с осями координат, если возможно и некоторые дополнительные точки, уточняющие график.
Исследование функции проводится одновременно с построением её графика.
Пример 15 Исследовать функцию и построить график.
Решение:
1) область определения : ;
2) функция терпит разрывв точках,.
Исследуем функцию на наличие вертикальных асимптот.
;, ─ вертикальная асимптота.
;, ─ вертикальная асимптота;
3) исследуем функцию на наличие наклонных и горизонтальных асимптот.
Прямая ─ наклонная асимптота, если, .
,.
Прямая ─ горизонтальная асимптота.
4)функция является чётной т.к. . Чётность функции указывает на симметричность графика относительно оси ординат;
5) найдем интервалы монотонности и экстремумы функции.
.
Найдём критические точки, т.е. точки в которых производная равна 0 или не существует: ;. Имеем три точки;. Эти точки разбивают всю действительную ось на четыре промежутка. Определим знакина каждом из них.
На интервалах (-∞; -1) и (-1; 0) функция возрастает, на интервалах (0; 1) и (1 ; +∞) ─ убывает. При переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, в этой точке функция имеет максимум ;
6) найдём интервалы выпуклости, точки перегиба.
.
Найдём точки, в которых равна 0 или не существует.
не имеет действительных корней. , ,
Точки и разбивают действительную ось на три интервала. Определим знак на каждом промежутке.
Таким образом, кривая, на интервалах ивыпуклая вниз и выпуклая вверх на интервале (-1;1); точек перегиба нет, т. к. функция в точках и не определена;
7) найдем точки пересечения с осями.
С осью график функции пересекается в точке (0; -1), а с осьюграфик не пересекается, т.к. числитель данной функции не имеет действительных корней.
График заданной функции изображен на рисунке 5.
Рисунок 5 ─ График функции