Ответы к теории по матану / 24 степенные ряды, теорема абеля

Определение

Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:

Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x − x₀), то есть ряд вида

где x₀ − действительное число.

Интервал и радиус сходимости

Рассмотрим функцию . Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости.  Если интервал сходимости представляется в виде , где R > 0, то величина R называетсярадиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно.  Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле

или на основе признака Даламбера:

Теорема 1.1. (теорема Абеля). Если степенной ряд (1.2) сходится при некотором , где-число, не равное нулю, то он сходится абсолютно при всех значениях x таких, что  Наоборот, если ряд (12) расходится при , то он расходится при всех значениях x таких, что  

Доказательство. Пусть числовой ряд

  (1.3) 

сходится. Поэтому  Но любая последовательность, имеющая предел, ограничена, значит, существует такое число M, что  для всех n=0,1,2,…

Рассмотрим теперь ряд

  (1.4) 

предполагая, что  Так как  и при этом  то члены ряда (3.4) не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда

 

(геометрической прогрессии). Следовательно, ряд (1.4) сходится, а ряд (1.2) абсолютно сходится.

Предположим теперь, что ряд (1.3) расходится, а ряд (1.2) сходится при   Но тогда из сходимости ряда (1.2) следует сходимость и ряда (1.3), что противоречит предположению. Теорема доказана.

Теорема Абеля позволяет дать описание области сходимости степенного ряда.