- •Часть 1
- •Глава 1
- •§1 Понятие множества. Операции над множествами.
- •§ 2 Арифметическое векторное пространство.
- •§ 3 Системы векторов в r.
- •Глава 2 Матрицы
- •§1 Действия с матрицами.
- •§2 Квадратные матрицы.
- •Эти условия могут быть переписаны в виде
- •§3. Определители.
- •Глава 3 Системы линейных уравнений
- •§1. Системы линейных уравнений. Крамеровские системы.
- •§ 2. Общие свойства систем линейных уравнений.
§ 2 Арифметическое векторное пространство.
Из школьного курса математики известно, что точки и вектора на плоскости, с заданной системой координат, однозначно определяются с помощью упорядоченных пар чисел (x, y). Именно это обстоятельство лежит в основе определения понятия n - мерного векторного пространства.
О п р е д е л е н и я. Для целого положительного числа n обозначим через Rмножество всех упорядоченных последовательностей из n вещественных чисел
x = ( x 1 , . . . , x n )
числа x 1, . . . , x nназываются компонентами элемента. Элементы множества Rназываются точками или векторами.
Замечание. Термин вектор используется в линейной алгебре, когда рассматриваются алгебраические операции над элементами пространства. Термин точка чаще используется в математическом анализе, когда элементы пространства рассматриваются с точки зрения расстояния между ними.
Мы будем обозначать вектора буквами, набранными жирным шрифтом. Вектор x можно записать в виде
x =
В этом случае x называют вектор-столбцом.
Два вектора x = ( x 1 , . . . , x n) и y = ( y 1 , . . . , y n ) называются равными, если равны их соответствующие компоненты x 1 = y 1 , . . . , x n = y n .
Если x и yэлементы из Rи - вещественное число, то положим
x + y = ( x 1 + y1 , . . . , x 1 + y n ),
x = ( x 1 , . . . , x n ),
так, что x + y и x элементы из R.
Например, если x = (3, -1, 2) и y = (2, 4, 1) вектора из R, то вектор
2x + 3y = (6 , -2, 4) + (6 , 12, 3) = (6 + 6 , -2 + 12, 4+3)=(12 , 10, 7)
принадлежит R.
Тем самым определено сложение векторов, а также умножение вектора на число.
Эти две операции подчиняются законам:
1. сложение коммутативно
x + y = y + x
2. сложение ассоциативно
(x + y) + z = x + (y + z)
3. умножение ассоциативно
() x = (x)
4. умножение дистрибутивно по отношению к сложению чисел
( + )x = x + x
5. умножение дистрибутивно по отношению к сложению векторов
(x + y) = x + y .
6. в пространстве существует 0=(0, . . . ,0)-нулевой элемент, удовлетворяющий условию
x + 0 = 0 + x = x.
7. умножение на единицу не изменяет вектор
1x = x
8. Возможно вычитание, т.е. для любых двух векторов а, b найдется такой вектор x, что
a + x = b.
Множество R, с введенными операциями сложения векторов и умножения вектора на число, называется арифметическим векторным пространством.
Замечание. Пространство Rявляется частным случаем более общего понятия линейного пространства. Приведем общее определение.
Произвольное непустое множество L называется линейным или векторным пространством, если оно удовлетворяет следующим условиям:
а) для любых двух элементов x, yL однозначно определен третий элемент, называемый их суммой и обозначаемый x+y;
б) для любого x L и любого числа определен элемент xL, называемый произведением на x;
в) операции сложения и умножения на число удовлетворяют требованиям 1) - 8).
Арифметическое векторное пространство представляет собой линейное пространство. Другим примером линейного пространства является множество многочленов степени не выше n-1 с обычными операциями сложения многочленов и умножения их на числа.
О п р е д е л е н и е. Непустое подмножество X векторов пространства Rназывается линейным подпространством этого пространства, если из условияxX и yX следует, что вектор x + y принадлежит X при любых и .
П р и м е р. Пусть X R- подмножество векторов третья компонента которых равна нулю. Тогда X является подпространством пространства R. Действительно, еслиx = (x, x, 0) и y = (y, y, 0) вектора из X, то вектор
x + y = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , 0 + 0) = (x 1 + y 1 , x 1 + y 2 , 0)
принадлежит X.
Введем в пространстве Rеще одну операцию.
О п р е д е л е н и е. Скалярным произведением векторов x = (x 1 , . . . , xn ) и y = (y 1 , . . . , yn ) пространства Rбудем называть число ( и обозначать его (x, y) ), вычисляемое по формуле
(x, y) = x 1 y 1 + . . . + x n y n
Непосредственно из определения следует, что имеют место равенства:
1. (x, y) = (y, x);
2. (x + y, z) = (x, z) + (y, z);
3. (x, y) = (x, y) .
Два вектора a и b называются ортогональными, если (a, b) = 0.
Например, вектора
e 1= (1, 0) и e 2 = (0, 1)
ортогональны т. к.
(е 1 , е 2 ) =10 + 01 = 0 e 2
e
Рис. 3
Система ненулевых векторов a 1 , . . . , a m называется ортоганальной, если (a k, a l ) = 0 при k l.
Введенным абстрактным понятиям и операциям можно придать конкретный экономический смысл.
Например, пусть предприятие выпускает n видов продукции. Если за рассматриваемый календарный период предприятие выпустило продукции i в количестве x i , то вектор x = ( x 1 , . . . , x n ) называется вектором выпуска продукции за данный период. Если с i -цена продукта i, то вектор c = ( c 1 , . . . , c n ) называют вектором цен. Скалярное произведение
(c, x) = c 1 x 1 + . . . + c n x n
в этом случае является валовой продукцией за рассматриваемый период. Если в следующий период предприятие планирует производить продукцию i в количестве y i , то вектор y = ( y 1 , . . . , y n ) называется плановым вектором. Разность векторов y - x характеризует планируемый прирост продукции.