§ 3 Системы векторов в r.

Очевидно, что в пространстве существуют системы векторов из которых с помощью введенных операций сложения и умножения на число можно получить любой вектор пространства (в качестве такой системы можно взять само пространство). Из таких систем наибольший интерес вызывают системы с наименьшим числом векторов, изучением которых мы и займемся в этом параграфе.

О п р е д е л е н и е. Система векторов a ₁ , . . . , a _m называется линейно зависимой, если существуют такие числа  ₁ , . . . ,  _m не все равные нулю, что выполняется равенство

 ₁ a ₁ + . . .+  _ma _m = 0. (1)

Система векторов называется линейно независимой, если из равенства (1) следует, что все числа  ₁ , . . . , _m равны нулю.

Из определения непосредственно следует, что если к линейно зависимой системе векторов a ₁, . . . , a _m присоединить вектора b ₁ , . . . , b , то расширенная система останется линейно зависимой. В самом деле, если

₁a ₁ + . . .+  _m a _m = 0

и не все числа ₁, . . . , равны нулю, то

₁a ₁ + . . .+  _m a _m +0b ₁ + . . . + 0b = 0

и не все из чисел ₁, . . . ,  , 0, . . . , 0 равны нулю.

В вопросах связанных с линейной зависимостью, нулевой вектор 0 занимает особое место, так как любая система, содержащая нулевой вектор, является линейно зависимой. Для доказательства достаточно заметить, что

10 + 0 a₁ + . . . + 0 a _m = 0

при любых a ₁, . . . , a _m.

Важную роль в пространстве R играют вектора

e₁ = (1, 0, 0, . . . , 0, 0)

e₂ = (0, 1, 0, . . . , 0, 0)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e _{n - 1} = (0, 0, 0, . . . , 1, 0)

e _n = (0, 0, 0, . . . , 0, 1),

называемые единичными векторами. Система векторов е₁, . . . е_n является примером линейно независимой системы. Действительно, если

 ₁ е ₁ + . . . +  _n е _n = ( , . . . , _n) = 0 = (0, . . . , 0),

то ₁ = . . . =  _n = 0. Другим более общим примером является система ненулевых ортогональных векторов a ₁, . . . , a . В самом деле, если

 ₁ a ₁ + . . .+  _m a _m = 0,

то умножая обе части равенства на получим

0 = (a _k , 0)= (a _k , ₁a ₁ + . . .+  _m a _m) = _k (a _k , a _k ),

но (а _k , а _k )  0 и, значит,  _k = 0 для всех k = 1, 2, . . . m.

Если вектор b можно представить в виде

b = ₁a₁ + . . .+  _m a _m

то говорят, что b выражается линейно через a ₁, . . . , a _m или b линейно зависит от a ₁, . . . , a _m.

Т е о р е м а 1.1. Система ненулевых векторов, рассматриваемых в определенном порядке, a ₁, . . . , a _m линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов системы можно выразить линейно через предыдущие.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть система векторов a ₁, . . . , a _m линейно зависима. Тогда существуют такие числа ₁, . . . ,  _m не все равные нулю, что выполняется равенство

₁a ₁ + . . .+  _m a _m = 0.

Обозначим через  последний коэффициент, отличный от нуля. Если k=1, то равенство обращается в

₁а ₁ = 0 ( ₁  0),

откуда а ₁ = 0 вопреки предположению, что система не содержит нулевых векторов. Следовательно, 1< k  m, и равенство мы можем переписать в виде

₁а₁ + . . . +  _k а _k = 0 (  _k  0),

откуда

а _k = -  ₁ а ₁ - . . . -  _{k - 1}а _{k - 1}.

Таким образом, первая часть теоремы доказана. Обратное утверждение очевидно. Действительно, если

а _k =  ₁ а ₁ + . . . +  _{k - 1}а _{k - 1} ,

то

 ₁ а ₁ + . . . +  _{k - 1}а _{k - 1} + (-1)а _k + 0а _{k + 1} + . . . + 0а _m = 0

и коэффициент при а _k отличен от нуля.

О п р е д е л е н и е. Систему векторов a ₁ , . . . , a _m будем называть порождающей, если любой вектор b пространства выражается линейно через вектора системы, т.е. представим в виде

b =  ₁a ₁ + . . .+  _m a _m

О п р е д е л е н и е. Линейно независимая порождающая система векторов называется базисом пространства.

Примером базиса пространства R является система единичных векторов е ₁ , . . . , е _n , называемая единичным базисом. Действительно, произвольный вектор b = ( ₁ , . . . ,  _n ) представим в виде

b =  ₁ e ₁ + . . .+  _n e _n ,

а линейную независимость мы показали выше.

Л е м м а . Если порождающая система векторов а ₁ , . . . , а _m содержит вектор а _k , который можно линейно выразить через остальные, то, выбрасывая а _k из системы, мы снова получим порождающую систему векторов.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В самом деле, по условию каждый вектор b пространства представляется в виде

b =  ₁ a ₁ + . . . +  _k a _k + . . . +  _m a _m , (2)

а вектор а _k в виде

а _k =  ₁ а ₁ + . . . +  _{k - 1} а _{k - 1} +  _k+1а _k+1 + . . . +  _m а _m . (3)

Подставляя (3) в (2) и приводя подобные, получим

b = (₁ +  _k  ₁ )a _k + . . . + (_{k - 1} +  _k  _{k - 1} )a _{k - 1} +

+ (_k+1 +  _k  _k+1)a _k+1 + . . . + ( _m +  _k  _m )a _m .

Последнее представление вектора b означает, что система векторов, отличных от а _k , является образующей.

Т е о р е м а 1.2. Из любой порождающей системы можно выбрать базис пространства.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Выбрасывая из порождающей системы векторы, вырождающиеся линейно через предыдущие, мы получим некоторую систему векторов, которая согласно лемме все еще будет порождающей. Так как ни один из векторов последней системы не может быть выражен линейно через предыдущие, то в силу теоремы 1.1 эта система линейно независима и, следовательно, является базисом пространства.

Т е о р е м а 1.3. Все базы пространства R состоят из одного и того же числа векторов.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что существуют две базы

a ₁, . . . , a _m (4)

b ₁ , . . . , b _l , (5)

состоящие из разного числа векторов. Пусть, для определенности, l > m. Рассмотрим систему

b ₁ , a ₁ , . . . , a _m . (6)

Так как система (4) является порождающей системой, то и расширенная система (6) обладает этим свойством. Однако система (6) линейно зависима, так как первый ее вектор b ₁ может быть линейно выражен через остальные. Применяя к системе (6) теорему 1.1, мы видим, что один из векторов системы, например а _k , должен выражаться линейно через предыдущие. Выбрасывая из (6) этот вектор, мы получим новую систему

b , a , . . . , a (7)

где через а, . . . , а обозначены оставшиеся из векторов системы (4). В силу леммы система (7) будет все еще порождающей системой. Рассмотрим систему

b ₂ , b ₁ , a , . . . ,a . (8)

Эта порождающая система линейно зависима, так как вектор b ₂ выражается линейно через остальные ее вектора. Следовательно, по теореме 1.1 один из векторов системы должен выражаться линейно через предыдущие. Этот вектор должен быть одним из а, . . . , а , так как b ₁ и b ₂ линейно независимы. Выбрасывая его из системы получим порождающую систему

b ₂ , b ₁ , a, . . . , a.

Продолжая рассуждения, через m шагов мы получим порождающую систему

b _m , . . . , b ₁ . (9)

Это означает, что любой вектор пространства, в частности и вектор b _m+1, можно выразить линейно через вектора системы (9), а это противоречит линейной независимости системы (5). Следовательно наше предположение о существовании базисов с различным числом векторов неверно.

С л е д с т в и е 1. Все базисы пространства R состоят из n векторов.

Действительно, согласно предыдущей теореме число векторов любого базиса совпадает с числом векторов единичного базиса е ₁ , . . . , е _n .

С л е д с т в и е 2. Любая порождающая система пространства R, состоящая из n векторов, является базисом пространства.

Действительно, если порождающая система из n векторов оказалась бы линейно зависимой, то удалив из системы вектора, линейно выражающиеся через остальные, мы получили бы базис пространства, состоящий из менее чем n векторов.

С л е д с т в и е 3. Любая линейно независимая система , состоящая из n векторов, является базисом пространства R.

Действительно, пусть а ₁ , . . . , а _n такая система. Присоединим к ней произвольный базис b ₁ , . . . , b _n . Расширенная система a ₁ , . . . , a _n , b ₁, . . . , b _n является порождающей. Удалив из системы все вектора, которые линейно выражаются через предыдущие, получим линейно независимую порождающую систему векторов, т. е. базис пространства. Но удалить прийдется n векторов, а именно все вектора b ₁ , . . . , b _n , т. к. ни один вектор а _k не может выражаться линейно через предыдущие. Таким образом система векторов а ₁ , . . . , а _n является базисом пространства.

З а м е ч а н и е. Понятие базиса естественным образом распространяется на подпространства X пространства R . Теорема 1.3, в этом случае, сохраняет свою силу. Число векторов, содержащихся в базисе подпространства X, называется размеренностью подпространства.

Пусть а ₁ , . . . , а _n - базис пространства. Согласно определению базиса всякий вектор а пространства будет линейно выражаться через вектора базиса. Покажем, что такое выражение возможно только единственным образом. В самом деле, пусть

а =  ₁ а ₁ + . . . +  _n а _n

и

а =  ₁ а ₁ + . . . +  _n а _n .

Вычитая, мы получим

0 = (₁ -  ₁)а ₁ + . . . + ( _n -  _n)а _n

Так как базис - линейно независимая система, то  ₁ -  ₁ = 0, . . . ,  _n -  _n = 0, или  ₁ =  ₁ , . . . ,  _n =  _n что и требовалось. Числа  ₁, . . . ,  _n называются координатами вектора а относительно базиса а ₁ , . . . , а _n . Методы нахождения координат будут рассмотрены в главе 3.