Эти условия могут быть переписаны в виде

А = Е.

Полученное равенство показывает, что для матрицы А существует обратная.

§3. Определители.

Понятие определителя было введено для квадратной матрицы в связи с задачей решения систем линейных уравнений. Оно позволяет более просто, чем теорема 2.1, отвечать на вопрос о существовании обратной матрицы. Определитель матрицы А будем обозначать символами detА или А .

О п р е д е л е н и е. Определителем квадратной матрицы 1-го порядка, образованной числом , является само число . Пусть теперь для какого-то натурального числа n1 мы уже умеем считать определители произвольных квадратных матриц n-го порядка. Тогда для произвольной матрицы А= а_ij  (n+1) - го порядка по определению полагаем

А = а₁₁ А₁₁ - а₁₂ А₁₂ + а₁₃ А₁₃ - . . . + (-1) ^1+(n+1)а_1.n+1А_1,n+1,

где через А_1j  обозначен определитель матрицы n-го порядка, получаемой из первоначальной матрицы А вычеркиванием 1-й строки и j-го столбца.

Применяя это определение для матрицы второго порядка, получим формулу

= a₁₁ a₂₂ - a₁₂ a₂₁.

П р и м е р.

= 45 - 32 = 20 - 6 = 14.

Приведем без доказательства некоторые свойства определителей, помогающие при их вычислении ( доказательства можно найти в [ ] §2).

С в о й с т в а о п р е д е л и т е л е й.

1) Если какая-нибудь строка или какой-нибудь столбец квадратной матрицы целиком состоит из нулей, то определитель этой матрицы равен нулю.

2) Если какую-нибудь строку или какой-нибудь столбец квадратной матрицы умножить на число , то определитель матрицы также умножится на .

3) Если в квадратной матрице переставить какие-нибудь две строки (два столбца), то определитель новой матрицы будет равен определителю старой, взятому со знаком минус.

4) Определитель квадратной матрицы, имеющей две одинаковые строки (столбца), равен нулю.

5) Если к элементам i-й строки квадратной матрицы прибавить элементы другой j-й (j  i) ее строки, то определитель новой матрицы будет равен определителю старой.

6) Для произвольной квадратной матрицы А порядка n истины следующие разложения по элементам i-й строки и j-го столбца

А = (-1) ⁱ⁺¹ а_i1 А_i1  + . . . + (-1) ⁱ⁺ⁿа_in А_in ,

А = (-1) ^j+1 а_1j А_1j  + . . . + (-1) ^j+nа_nj А_nj ,

где А_ij  определитель матрицы, получающийся из А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Число А_ij  называется минором элемента а. Число

(-1) ^i+j А_ij 

называется алгебраическим дополнением или адъюнктом элемента аи обозначается частоА_ij. При помощи этого понятия формулы из 6) можно переписать в виде

А = а_i1А_i1 + . . . + а_in А_in , ( )

А = а_1j А_1j + . . . + а_nj А_nj . ( )

Из свойства 6) следует, что если все элементы какой-нибудь строки i (столбца j) равны нулю, за исключением одного элемента а,стоящего в столбце j (строке i), то имеет место формула

А = (-1) ^i+j а_ij А_ij = а_ij А_ij. ( )

В формулах ( ), ( ) элементы аумножаются на свои алгебраические дополненияА. Что будет, если взять сумму произведений элементов i-й строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов какой-нибудь другой строки. Ответ на этот вопрос дает свойство 7), которое следует из 4), 7).

7) Для ji имеет место равенство

а_i1 A _j1 + . . . + a_{i n} A_jn = 0. ( )

8) Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей матриц, т. е.

АВ= АВ.

Рассмотрим на примере нахождение значения определителя 3-го порядка, используя приведенные свойства определителей.

П р и м е р. Вычислить значение определителя

.

Для нахождения значения определителя вычтем из второй строки первую, умноженную на два, затем из третьей вычтем первую, умноженную на три. Из свойства 5) следует, что эти операции не меняют значение определителя. Таким образом получаем определитель, содержащий во 2-м столбце один ненулевой элемент, который позволяет воспользоваться формулой ( ). В результате переходим к определителю второго порядка, который остается после вычеркивания первой строки и второго столбца. Окончательно получим

= = (-1) ¹⁺²1= - ((-1)5 - 6(-5)) = 5-30 = -25.

Рассмотрим квадратную матрицу А, определитель которой не равен нулю. Из алгебраических дополнений элементов матрицы А составим матрицу, затем транспонируем ее и разделим на определитель А. Свойства 6), 7) показывают, что в результате мы получим обратную матрицу. Таким образом, если определитель матрицы А не равен нулю, то для матрицы А существует обратная. Формула обратной матрицы имеет вид

А^{- 1} = . ( )

С другой стороны, если матрица А имеет обратную, то из матричного уравнения

АА^{- 1} = Е ,

переходя к определителям и воспользовавшись свойством 8), получим

А А^{- 1}  = Е = 1.

Отсюда следует, что определитель А не равняется нулю.

Соединяя полученные результаты, приходим к утверждению:

Т е о р е м а 2.2. Квадратная матрица А имеет обратную тогда только тогда, когда определитель матрицы А не равен нулю.