§ 2. Общие свойства систем линейных уравнений.

Рассмотрим систему линейных уравнений

a₁₁ x₁ + . . . + a_1n x_n = b₁

a₂₁x₁ + . . . + a_2nx_n = b₂

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( )

a_m1x₁ + . . . + a_mn x_n = b_m,

без предположения о равенстве числа уравнений и числа неизвестных. Решение системы ( ) представляет собой упорядоченную последовательность из n чисел и, следовательно, являются элементами n- мерного пространства. Совокупность всех решений системы образуют множество в пространстве Rⁿ . Изучим более подробно алгебраическую структуру этих множеств.

Без ограничения общности можно считать, что m  n. Действительно, пусть m > n. Обозначим k-ю строку матрицы системы А через a _k . Тогда, рассматривая эти строки как вектора пространства Rⁿ, получим, что система векторов a₁, . . . , a _m линейно зависима. Из теоремы следует, что один из векторов системы линейно выражается через предыдущие

a _k =  ₁ a₁ + . . . +  _{k - 1} a _{k - 1},

или

a _k -  ₁ a₁ - . . . -  _{k - 1} a _{k - 1} = 0.

Последнее равенство показывает, что вычитая из k-го уравнения предыдущие 1-е, 2-е, . . . , (k-1)-е уравнения, умноженные соответственно на ₁, . . . ,  _{k - 1}, мы получим равенство 0 = . Если   0, то система является противоречивой и не имеет решений. Если  = 0, то k-е уравнение является следствием предыдущих. Исключаем это уравнение из системы. Продолжая процесс, мы придем к эквивалентной системе с числом уравнений, не превосходящим числа неизвестных.

Система уравнений вида

a₁₁ x₁ + . . . + a_1n x_n = 0

a₂₁x₁ + . . . + a_2nx_n = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( )

a_m1x₁ + . . . + a_mn x_n = 0

называется однородной.

В матричной форме однородная система имеет вид

Ax = 0.

Заметим, что нулевой вектор

0 =

является решением системы при любых а _{i j}. Это решение называется нулевым или тривиальным решением. Более подробный ответ о структуре множества решений дает следующая теорема.

Т е о р е м а. Множество всех решений однородной системы линейных является подпространством пространства Rⁿ.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x и y решения однородной системы. Тогда

A(x + y) = Ax + Ay = 0 + 0 = 0.

Таким образом получили, что произвольная линейная комбинация решений системы () является снова решением системы ().

Поскольку все пространство имеет размерность n, то размерность пространства решений имеет размерность не выше n. Точный ответ о размерности этого пространства дает следующая теорема, которую мы приведем без доказательства ( см., например [ ] ).

Т е о р е м а. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными равна разности n-r, где r - ранг матрицы системы.

Из теоремы следует, что в случае m < n однородная система линейных уравнений имеет бесконечно много решений, т. к. r  m < n ( n-r > 0). Заметим, что пространство решений одного уравнения

a₁ x₁ + . . . + a_n x_n = 0

имеет размерность n-1 и состоит из векторов x = (x₁, . . . , x_n) ортогональных вектору а = (а₁, . . . , а_n). Такие подпространства называются гиперплоскостями. Например, в случае n = 3, множество решений уравнения

a₁x_x + a₂x₂ + a₃x₃ = 0

является плоскостью в трехмерном пространстве, проходящей через начало координат и ортогональной вектору а =(а₁, а₂, а₃).

Обозначим подпространство решений однородной системы через X⁰, через x + X⁰ - множество векторов вида x + x⁰, где x⁰  X⁰.

Рассмотрим общую систему линейных уравнений ( ), матричная форма записи которой имеет вид

Ax = b.

Следующая теорема дает описание множества решений этой системы уравнений.

Т е о р е м а. Пусть x произвольное решение системы линейных уравнений ( ). Тогда множество всех решений этой системы можно записать в виде x + X⁰.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть y произвольное решение системы линейных уравнений ( ). Тогда вектор x⁰ = x - y является решением однородной системы линейных уравнений ( ). Действительно

Ax⁰ = A( x - y ) = b - b = 0.

Отсюда получаем, что y = x⁰ + x.

Обратно, любой вектор y = x⁰ + x является решением системы ( ), т.к.

Ay = A( x⁰ + x) = Ax⁰ + Ax = 0 + b = b.

Рассмотрим совместную систему () из которой исключены уравнения, являющиеся следствием остальных. Без ограничения общности можно считать, что матрица коэффициентов при первых m неизвестных имеет обратную. В противном случае изменяем нумерацию неизвестных.

32