§4. Евклидово пространство

Определение 1. Скалярным произведением двух векторов и называется число

Скалярное произведение имеет экономический смысл: если вектор - объем различных товаров, а- вектор их

цен, то - выражает суммарную стоимость товаров.

Скалярное произведение обладает свойствами:

1. - коммутативность

2. - дистрибутивность

3. - ассоциативность

4. , если- ненулевой вектор

, если

Определение 2. Линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным четырем свойствам (аксиомам), называется евклидовым пространством.

Определение 3. Длиной или нормой вектора в евклидовом пространстве называется корень квадратный из его скалярного квадрата:

Норма вектора обладает свойствами:

1. , если

2. , где λ - действительное число

3. - неравенство Коши - Бунявского

4. - неравенство треугольника

В евклидовом пространстве можно тоже находить угла между двумя векторами:

, где .

Такое определение вполне корректно, так как согласно неравенству Коши - Бунявского , т.е..

Определение 4. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т.е.

Определение 5. Векторы n - мерного евклидова пространства образуют ортонормированный базис, если эти векторы попарно ортогональны и норма каждого из них равна единице, т.е. если

и

Теорема. Во всяком n – мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис (без доказательства).

Пример:

:

:

:

§5. Линейные операторы

Определение 1. Оператором (отображением) линейного векторного пространства называют функцию, определенную на множестве векторов данного пространств и со значениями во множестве векторов пространства:

Определение 2. Оператор данного пространства называется линейным, если для любых векторов этого пространства выполняются соотношения:

Теорема. Всякая матрица определяет в пространствелинейный операторпо закону:

В развернутом виде этот закон можно записать так:

Матрица, о которой говорится в теореме, называется матрицей линейного оператора φ и обозначается .

Равные матрицы задают равные линейные операторы, поэтому линейный оператор, целиком определяется своей матрицей.

Примеры линейных операторов:

1. Нулевой оператор, задаваемый нулевой матрицей:

- все векторы переходят в нуль - вектор

2. Тождественный оператор , заданный единичной матрицей:

- все векторы переходят в себя

3. Оператор подобия в задается матрицей. Этот оператор каждый векторпереводит в векторпо формулам:

4. Оператор зеркального отражения относительно оси :

§6. Алгебра линейных операторов

1. Операторы иназываются равными, если. Это означает, что, таким образом,равные линейные операторы имеют равные матрицы.

2. Суммой двух линейных операторов иназывается оператор, такой что- также линейный оператор и.

При сложении линейных операторов их матрицы складываются.

3. Произведением линейного оператора на числоназывается оператор- такой, что.

- также линейный оператор и .

При умножении оператора на число, его матрица также умножается на это число.

4. Произведением двух линейных операторов иназывается последовательное применение их к вектору: и .

При умножении операторов их матрицы перемножаются.

5. Обратный оператор (существует только для таких операторов , у которых∆ ≠ 0) – это такой оператор , что - тождественный и

Матрица обратного оператора равна обратной матрице исходного оператора.