§7. Собственные векторы и собственные числа линейного оператора

Определение 1. Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора , если под действиемэтот вектор переходит в коллинеарный ему вектор, т.е.

или

При этом число называетсясобственным числом оператора .

Займемся теперь вопросом о нахождении собственных векторов и собственных чисел линейного оператора.

Пусть в φ: , т.е., где

Тогда оператор можно задать формулами:

или матрицей .

Для того, чтобы был собственным вектором с собственным числом λ,

нужно чтобы , т.е.

Подставляя эти формулы в систему (1), получим:

или .

Полученной системе (2) должны удовлетворять координаты собственных векторов и собственные числа. Эта система однородная, следовательно, она имеет ненулевое решение при условии . Таким образом:

.

Это так называемое характеристическое уравнение оператора , из которого можно находить собственные числа, а затем, используя систему (2), находить собственные векторы, соответствующие этим.

Характеристическое уравнение часто записывают в более компактной форме. Преобразуем левую часть:

.

Получим: - характеристическое уравнение.

Пример: Найти собственные векторы и собственные числа линейного оператора , заданного формулами:

Решение:

1) Составляем характеристическое уравнение:

2) Для нахождения собственных векторов составляем систему (2):

а) при

Таким образом, числу соответствует семейство свободных векторов;

б) при

Значит, собственному числу соответствует подпространство

свободных векторов

Ответ: имеем собственные числа ;и соответствующие семейства свободных векторов.

Отметим, что приведенные рассуждения аналогичны и для и.

Например, в случае , если операторзадан формулами

,

то характеристическое уравнение имеет следующий вид:

, а координаты собственных векторов

находятся из системы: