лекции 8-14 / LEC_12a

12. Электромагнитные волны в неоднородных средах

Введение. Волновые уравнения

Реально оптические характеристики любой среды изменяются в пространстве и, вообще говоря, во времени. Такие изменения могут быть регулярными или случайными. Последние, например, вызываются флуктуациями. Регулярное временное изменение оптических свойств среды используется при модуляции излучения. Здесь мы изучим более простой случай стационарной

изотропной (εij = ε(r)δij , µij = µ(r)δij ) среды, в которой диэлектрическая и

магнитная проницаемости зависят только от координат r : ε = ε(r), µ = µ(r) . Заряды и токи отсутствуют (ρ = 0, j = 0 ).

Исключая из уравнений Максвелла поочередно H и E, с использованием векторных тождеств получим [Борн, Вольф]

εµ	(12.1)
∆E − c2 E +[grad (ln µ)]×rot E −grad (E,grad(lnε)) = 0,
εµ	(12.2)
∆H − c2 H +[grad (lnε)]×rot H +grad (H,grad(ln µ)) = 0.

Точки означают производную по времени. В случае однородной среды grad (lnε) = grad (ln µ) = 0 , и из (1), (2) после замены c2 → c2 / εµ мы получаем

прежний вид волнового уравнения (2.1), (2.2). Замечания, относящиеся к (2.1), (2.2), сохраняют силу и теперь. Например, не каждое решение уравнений (1) и (2) служит решением уравнений Максвелла, так как требования

div (µH) = 0, div(εE) = 0

(12.3)

для решений	уравнений (1), (2) не выполняются автоматически.
Далее	мы ограничимся важным частным случаем монохроматического
излучения (E, H ~ exp(−iωt) ). Тогда уравнения Максвелла имеют вид
rot E = i ω µH,		rot H = −i ω εE.	(12.4)
	c	c

Напомним, что два других уравнения Максвелла (3) при этом удовлетворяются автоматически, так как div rot A = 0 для любого вектора A. Заменяя в (1), (2)

∂2 / ∂t 2 → −ω2 , получим

	∆E +	ω2	εµE +[grad (ln µ)]×rot E −grad (E,grad(lnε)) = 0,	(12.5)
		c2
	∆H +	ω2	εµH +[grad (lnε)]×rot H +grad (H,grad(ln µ)) = 0.	(12.6)
		c2

Точные решения уравнений (5) и (6) возможны лишь в исключительных случаях. Поэтому здесь особо важное значение имеют приближенные методы. Один из них – высокочастотные асимптотики [В.М.Бабич, В.С.Булдырев.

Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М., Наука, 1972]. Наиболее важным представителем этих методов служит геометрическая оптика.

Геометрическая оптика

Здесь мы обобщим описанный выше (лекция 3) подход, описанный выше (лекция 3) для вакуума, на случай прозрачных (без поглощения) сред с плавно изменяющимся в пространстве показателем преломления. Излучение считается монохроматическим, и исходными служат уравнения Максвелла (4). Ищем их решение в виде разложений по малому параметру 1/k0, где k0 – характерное значение волнового числа (ср. с (3.13)):

E = exp(ik0ψ) E0 + k10 E1 +... , H = exp(ik0ψ) H0 + k10 H1 +... . (12.7)

Подставляем (7) в (4) и сравниваем члены с одинаковыми степенями малого параметра. В главном приближении (члены ~ k1 ) получаем

[ ψ ×E0 ] = µH0 , [ ψ ×H0 ] = −εE0 .

(12.8)

Здесь используется обозначение ψ = gradψ . Из (8) следует ортогональность любой пары векторов в тройке ψ,E0 , H0 :

( ψ,E0 ) = 0,	( ψ, H0 ) = 0, (E0 , H0 ) = 0.	(12.9)
Исключив из (8), (9) H0, найдем
{( ψ)2 −n}E0	= 0 ,	(12.10)

где n = εµ - зависящий от координат показатель преломления. Если E0 ≠ 0 , то из (10) следует уравнение эйконала:

( ψ)2 = n2 .

(12.11)

Структура поля снова локально подобна плоской волне, направление распространения которой дается лучем - вектором ψ = gradψ . Этот вектор

ортогонален поверхности постоянной фазы ψ = const. Введем вместо него единичный вектор с тем же направлением

l =	ψ	=	ψ	=	dr	.	(12.12)
	| ψ |		n
					dl

Здесь r – координата точки на луче, l – длина луча до точки с текущей координатой r. Из (12) следует

	n	dr	= ψ.	(12.13)
		dl

Продифференцируем это выражение по l:

d		dr		d	( ψ)= lim	ψ(r + l∆l) − ψ(r)	= l ψ =
	n		=
				dl		∆l
dl		dl			∆l→0

=1n ( ψ) ψ = 21n ( ψ)2 = 21n n2 = n.

Впреобразованиях использовано понятие векторного градиента. Отсюда и следует определяющее световые лучи уравнение

d		dr	= n.	(12.14)
	n
dl		dl

Использовав соотношение dndl = l n , это уравнение можно переписать в виде

	dl	=	1	[ n − l(l, n)].	(12.15)
	dl		n

При постоянном показателе преломления n из (14) находим, как и в вакууме,

d 22r = 0,

dl

решение которого

r =al + b, a,b = const.

(12.16)

Согласно (16), лучи являются прямыми. Если изменения показателя преломления невелики, так что луч только незначительно отклоняется от прямой (угол между вектором l и фиксированной оптической осью мал), то в (14) можно дополнительно использовать так называемое параксиальное приближение. При этом, принимая оптическую ось за ось z и заменяя dl → dz , получим более простое уравнение

d		dr	= n.	(12.17)
	n
dz		dz

Из дифференциальной геометрии известно, что кривая в трехмерном пространстве с уравнением r =r(l) полностью определяется тремя взаимно

ортогональными единичными векторами: касательной l , главной нормалью N и бинормалью b. Для них

	l =	dr	,	N = R	d 2r	,	b =[l ×N],	(12.18)
		dl			dl 2

где введен радиус кривизны в данной точке

R =[x′′2 + y′′2 + z′′2 ]−1/ 2

(12.19)

(штрихи означают дифференцирование по l). Из (15) и (18) следует

	1	= N	n .	(12.20)
	R
			n

Поскольку R ≥ 0 , главная нормаль направлена так, что луч изгибается в сторону увеличения показателя преломления.

Интенсивность излучения определяется как модуль усредненного по времени вектора Пойнтинга. Этот вектор, как и групповая скорость, направлен вдоль касательной к лучу l:

<S >= Il.

(12.21)

Поскольку излучение монохроматично, средняя плотность энергии не зависит от времени в каждой точке пространства, так что div <S >= 0 . Отсюда и следует

определяющее интенсивность излучения уравнение сохранения энергии

div (Il) = 0.

(12.22)

Если выделить лучевую трубку, образованную лучами (боковая поверхность) и двумя плоскостями, ортогональными центральному лучу l, при l =l1 и l =l2 с

дифференциально малыми сечениями dσ1 и dσ2 , то из (22) следует

I1dσ1 = I2 dσ2 .

(12.23)

Поэтому, если лучи касаются или пересекаются (каустика или фокус), то интенсивность излучения обращается в бесконечность. В этих условиях приближение геометрической оптики оказывается недостаточным и необходим учет дифракционных явлений. Как отмечалось также ранее (лекция 3), ограничена применимость геометрической оптики и вблизи нулей интенсивности, где возникают дислокации волнового фронта. Кроме того, ввиду асимптотического характера приближения геометрической оптики, изменения показателя преломления и огибающей поля должны быть плавными (в масштабах характерной длины волны излучения).

Еще одной важной характеристикой излучения является его поляризация. Для плоских кривых (луч лежит в одной плоскости) поляризация сохраняется.

Поэтому изменение направления поляризации, задаваемое углом ϕ, связано с кручением кривой

	dϕ	=	1	,	(12.24)
	dl		T

где введен радиус кручения

T =	x′′	2	+ y′′	2	+ z′′	,		x′		y′
								D = Det x′′		y′′
						2
			D						x′′′	y′′′

z′

z′′ . (12.25) z′′′

Для плоских кривых радиус кручения T = ∞, так что для таких лучей состояние поляризации действительно не меняется.