лекции 8-14 / Lec12b

Условия непрерывности поля на резких границах

Уравнения Максвелла, в которых фигурируют пространственные производные полей, справедливы если фигурирующие в них величины непрерывны (и дифференцируемы). Имеет смысл и рассмотрение структур поля с разрывами при изменении координат/времени,длякоторых уравнения Максвелла справедливыв областях, ограниченных поверхностями разрывов. На этих поверхностях, как правило, должны соблюдаться условия непрерывности, которые мы сейчас и получим (по поводу исключений см. выше «Уравнение распространения фронта электромагнитной волны»).

А. Стационарные скачки электродинамических характеристик среды

Отвлекаясь от микроструктуры переходных слоев, рассматриваем резкий скачок характеристик среды как предел плавных слоев при стремлении к нулю ширин переходных слоев. Исходим из уравнения Максвелла

divB = 0 .

(1)

Отсюда по интегральной теореме Гаусса (n – единичный вектор внешней нормали к поверхности S)

∫divBdV = ∫(B,n)dS = 0 .

(2)

Пусть среды 1 и 2 с непрерывным распределением характеристик разделяются поверхностью Т и n12 – единичная нормаль к этой поверхности в некоторой точке поверхности, направленная из среды 1 к среде 2 (рис. 1.1БВ). Выбираем область интегрирования в (2) в виде дифференциально малого прямоугольного параллелепипеда с ребром вдоль n12 и длиной ребра в этом направлении h и основаниями – площадками δS1 и

δS2 (в действительности конкретная форма этой области несущественна, поскольку далее проводится предельный переход с устремлением ее размеров к нулю). Теперь

∫(B,n)dS ≈(B(1) ,n1)δS1 +(B(2) ,n2 )δS2 +∑(B(l ) ,nl )δSl = 0 .

(3)

Приближенное равенство переходит в точное при стремлении размеров области к нулю. В

(3) n1 = −n12 , n2 =n12 , сумма в правой части –вкладвинтегралотбоковойповерхности.При

записи (3) учтено, что ввиду непрерывности в каждой из сред 1 и 2 и дифференциальной малостиплощадок δS1 и δS2 и высотыпараллелепипедаh изменениемВ(1) иВ(2) впределах

этих площадок можно пренебречь (вклад изменений более высокого порядка малости). По тем же причинам вклад от боковых поверхностей обращается в 0. Тогда из (3) в указанном пределе следует

{(B(1) ,n ) +(B(2) ,n	2	)}δS = 0 или
1
n (B(2) −B(1) ) = 0		(4)
12
– непрерывность нормальной компоненты вектора магнитной индукции.
Аналогично из уравнения Максвелла
divD = 4πρ		(5)

следует

n (D(2) −D(1) ) = 4πρˆ ,	(6)
12
где введена поверхностная плотность заряда соотношением
∫ρˆ dS = limL→0 ∫ρ dV .	(7)

В отсутствие поверхностной плотности заряда непрерывна нормальная компонента электрической индукции:

n (D(2)	−D(1) ) = 0 .	(8)
12

Переходим к условиям непрерывности для тангенциальных составляющих поля. Привлекаем уравнение Максвелла

rot E = −	1	∂B .	(9)
	c	∂t

В плоскости, включающей нормаль к поверхности раздела двух сред n12, строим дифференциально малый (слабо искривленный) прямоугольник (рис. 1.2БВ), две стороны которого параллельны границе раздела Т. Умножаем (9) скалярно на единичный вектор m, ортогональный плоскости, и интегрируем по площади прямоугольника

−	1	∫	∂B			∫	(rot E,m) dS
	c			∂t	,m dS =

= ∫(E, dr) .	(10)
L

В последнем преобразовании использована интегральная теорема Стокса, сводящая интеграл по площади к интегралу по контуру. Устремляем к нулю высоту прямоугольника δh ,считая,чтотангенциальныесоставляющиеЕи ∂B / ∂t неимеют бесконечных разрывов (это подтвердится результатом). Тогда

−

1 ∂B

,m

δsδh = (E(1)

,t

)δs +(E(2)

,t

2

)δs

2

+O(δh)

.

(11)

c

∂t

1

1

P2P1 ,Q2Q1

Здесь t1,t2 - единичные векторы вдоль ширин прямоугольника. В пределе δh →0

{(E(1) ,t1) +(E(2) ,t2 )}δs = 0 .	(12)
Так как t2 =[m×n12 ], t1 = −t2 = −[m×n12 ], то из (12) следует
(E(2) −E(1) ,[n ×m]) = 0.	(13)
12

Это смешанное произведение трех векторов, перестановка множителей в нем может приводить только к изменению знака результата. Поэтому (13) можно записать в виде

(m,[n ×(E(2)	−E(1) )]) = 0.	(14)
12

Ориентация прямоугольника содержит произвол (допускаются любые его повороты вокруг оси n12). Поэтому окончательно

[n ×(E(2)	−E(1) )] = 0	(15)
12

- непрерывность тангенциальной компоненты электрической напряженности. Аналогично из уравнения Максвелла

rot H = 1 ∂D +			4π j				(16)
c ∂t			c
следует
	(2)		(1)		4π ˆ
[n ×(H		−H		)] =		j ,	(17)
12					c
где поверхностная плотность тока введена соотношением
∫ˆjdS = limL→0			∫jdV .				(18)
В отсутствие поверхностного тока
[n ×(H(2)		−H(1) )] = 0					(19)
12

- непрерывность тангенциальной составляющей магнитной напряженности.

Б. Условия непрерывности на равномерно движущейся границе раздела диэлектриков

В диэлектриках свободные заряды и токи отсутствуют. Граница раздела движется со скоростью, нормальная к границе раздела компонента которой = vn. Преобразования Лоренца позволяют получить условия непрерывности из известных для неподвижных сред условий. Результат:

Для нормальных компонент электрической и магнитной индукции изменений нет:

n (D(2) −D(1) ) = 0 , n (B(2)						−B(1) ) = 0 .	(20)
12	12
Для тангенциальных составляющих возникают дополнительные члены,
пропорциональные vn:
[n ×(E(2)	−E(1) )] =	vn		(B(2) −B(1) ),
12		c					(21)
				vn
[n ×(H(2)	−H(1) )] = −				(D(2)	−D(1) ).
12				c

При vn = 0 получим прежние условия непрерывности тангенциальных составляющих Е и Н.

Можно ли оптически зарегистрировать движение поверхности раздела со скоростью в плоскости раздела?

В. Общие соотношения для разрывов векторов поля

Пустьпроизвольнаяповерхностьразрывахарактеризуетсяусловием F(x, y, z,t) = 0 ,такчто

для точек по разные стороны от этой поверхности F < 0 и F > 0. Скорость, с которой движется поверхность раздела, определяется таким образом. При дифференциально малом сдвиге времени δt точка поверхности r превращается в точку r +δr , тогда

F(r,t) = 0, F(r +δr,t +δt) = 0, (grad F,δr) +	∂F	δt = 0 .	(22)
	∂t

Тогда величина локальной и мгновенной нормальной компоненты скорости движения поверхности разрыва ( grad F =| grad F | n12 )

v = −	1		∂F	.	(23)
n	| grad F |		∂t

Соотношения для разрывов полей примут вид (Борн и Вольф, Основы оптики, Приложение

6)

[n	×(E(2)		−E(1) )]−	vn		(B(2) −B(1) ) = 0,
12				c
									4π
[n12	×(H(2)		−H(1) )]+		vn		(D(2)	−D(1) ) =		ˆj,	(24)
					c				с
n (D(2)		−D(1) ) = 4πρˆ,
12
n (B(2)		−B(1) ) = 0.
12

Отличие от условий в разделе Б в том, что теперь скорость движения поверхности разрыва может быть непостоянной, зависеть от координат и времени и превышать скорость света в вакууме.