13. Плоскослоистые среды

Здесь мы рассмотрим важный частный случай неоднородной изотропной среды, в котором диэлектрическая проницаемость зависит только от одной декартовой координаты: ; среду мы считаем немагнитной,. Тогда из-за однородности среды в направленияхx, yимеются решения уравнений (12.5), (12.6) с экспоненциальной зависимостью от этих координат вида. Без ограничения общности, после соответствующего поворота осей координатx, y, можно считать, что напряженности вообще не зависят отy, то есть и

(13.1)

Здесь e – единичный вектор, задающий поляризацию излучения. Рассматриваемые плоские волны в общем случае можно представить в виде суперпозиции двух типов волн с различающимися (ортогональными) поляризациями:

s-поляризация (E-волны). Для них

(13.2)

Поскольку , из (12.5) следует

, (13.3)

где

. (13.4)

Заметим, что для прозрачной среды (поглощение отсутствует, величина ) величина k² может быть как положительной, так и отрицательной.

p-поляризация (H-волны). В этом случае

. (13.5)

Теперь , и уравнение (12.6) записывается в виде

(13.6)

или

. (13.7)

На границах раздела сред диэлектрическая проницаемость может меняться скачкообразно. По общему правилу непрерывными должны быть тангенциальные составляющие напряженностей электрического и магнитного поля. Если пользоваться уравнениями вида (3) или (7), то удобнее сформулировать условия непрерывности только для одной из напряженностей, причем эти условия нетрудно получить из самих этих уравнений. Так, для уравнения (3) видно, что при скачке скачком меняется, так чтои тем болееE непрерывны. Аналогично, для уравнения (7) (а, следовательно, и (8)) непрерывными оказываются иH. Точные решения приведенных уравнений при произвольной зависимости получить невозможно, в связи с чем большое значение приобретают приближенные методы.

Полуклассическое приближение

Такое приближение примыкает к геометрооптическому и справедливо в случае достаточно медленной зависимости , когда выполняется условие

(13.8)

Согласно (8), диэлектрическая проницаемость должна мало меняться на расстоянии порядка эффективной длины волны. Функцияk²(z) может быть и положительной, и отрицательной, а при наличии поглощения и комплексной. При k = const решение (3) имеет вид плоских волн

. (13.9)

Полагая k большой величиной (предел ), ищем решение (3) в виде (индексывременно опускаем)

(13.10)

где , аразлагается в ряд по степеням 1/k (ср. с приближением геометрической оптики):

(13.11)

Обычно в разложении (11) ограничиваются двумя выписанными членами. Для них из (3) вытекает

Соответственно,

Теперь общее приближенное решение уравнения (3) записывается в виде

(13.12)

Условик применимости полуклассического приближения (8) заведомо не выполняется в окрестности точек поворота, где k = 0. Вблизи точек поворота требуется дополнительный анализ. Пусть, например, k²(z) вещественно, k²(0) = 0, k²(z) > 0 при z < 0 и k²(z) < 0 при z > 0. Тогда в малой окрестности точки поворота можно положить

При этом уравнение (3) примет вид

(13.13)

Это уравнение можно привести к универсальному (не содержащему параметров) виду заменой переменных . Тогда вместо (14) получим

(13.14)

Решение уравнений (13), (14) выражается через цилиндрические функции с индексом 1/3. Из двух линейно независимых решений выбирается решение, конечное при всех

(13.15)

где C = const и введена специальная фунция – функция Эйри:

(13.16)

Использование асимптотики функции Эйри при приводит к следующей асимптотике поля

(13.17)

При из двух решений (12) выбирается одно с экспоненциальным убыванием амплитуды поля. При(17) переходит в (12) с равными амплитудами падающей и отраженной волн, что отвечает полному внутреннему отражению. Суммарное поле в этой области осциллирует (см. рис.).

Таким образом, вдали от точек поворота можно пользоваться решениями вида (12), а вблизи точек поворота (17). Последние формулы переходят в (12) при удалении от точек поворота, так что в результате получается полное решение задачи.

Аналогичные результаты можно получить и для p-поляризации (см. Ландау, Лифшиц. Электродинамика сплошных сред, где рассмотрены и дополнительные особенности поля в области ).

Формулы Френеля

Рассмотрим отражение плоской волны от границы раздела двух сред с диэлектрическими проницаемостями и. Дляs-поляризации напряженность электрического поля определяется уравнением (3). Общее решение этого уравнения при (первая среда считается прозрачной) имеет вид

(13.18)

(13.19)

Коэффициенты A и B имеют смысл амплитуд падающей и отраженной волн. Считаем, что , так как иначе падающая волна была бы неоднородной. Тогда можно положить

(13.20)

где введен угол падения (см. рис.). В областиимеется только уходящая от границы раздела сред волна, поэтому там

(13.21)

На границе раздела сред непрерывными должны быть E и dE/dz . Удобнее потребовать непрерывности при z = 0 логарифмической производной – величины . Тогда получим

где введен амплитудный коэффициент отражения . Отсюда и находимr

(13.22)

Будем далее считать, что вторая среда также прозрачная (). Если, то плоская волна во второй среде – однородная. Тогда можно ввести угол преломления

(13.23)

Из сопоставления (23) с (20) следует закон преломления

. (13.24)

Амплитудный коэффициент отражения записывается в форме

(13.25)

Видно, что . При нормальном падении ()

(13.26)

Условие выполняется при углах падания, меньших критического,, где

. (13.27)

Если же , то поле во второй среде представляет неоднородную плоскую волну и характеризуется экспоненциальным затуханием

. (13.28)

Напомним, что затухание не вызвано поглощением (вторая среда предполагается прозрачной). Причина – в полном отражении излучения. Действительно, теперь

(13.29)

Поэтому энергетический коэффициент отражения . Фаза амплитудного коэффициента отражения зависит от угла падения, причем вблизиэта зависимость наиболее резкая (производная от фазы по углу падения обращается в бесконечность при). Значение угла паденияназывается критическим углом полного внутреннего отражения. В соответствии с (27) полное внутреннее отражение возможно только при.

Аналогичным образом можно рассмотреть случай p-поляризации, а также многослойные структуры [Л.М.Бреховских. Волны в слоистых средах. М., Наука, 1973]. Пользуясь линейностью задачи, можно получить и формулы для отражения пучков и импульсов излучения, разлагая их в интеграл Фурье по плоским монохроматическим волнам (см. ниже).