лекции 8-14 / LEC_13

13. Плоскослоистые среды

Здесь мы рассмотрим важный частный случай неоднородной изотропной среды, в котором диэлектрическая проницаемость зависит только от одной декартовой координаты: ε =ε(z) ; среду мы считаем немагнитной, µ =1. Тогда

из-за однородности среды в направлениях x, y имеются решения уравнений (12.5), (12.6) с экспоненциальной зависимостью от этих координат вида

exp[i(kx x + k y y)]. Без ограничения общности, после соответствующего поворота осей координат x, y, можно считать, что напряженности вообще не

зависят от y, то есть k y = 0,	kx =κ, κ = const и
E = E(z) exp(iκx) e.	(13.1)

Здесь e – единичный вектор, задающий поляризацию излучения. Рассматриваемые плоские волны в общем случае можно представить в виде суперпозиции двух типов волн с различающимися (ортогональными) поляризациями:

s-поляризация (E-волны) (senkrecht – перпендикуляр, нем.). Для них

	e = e y ,	Ex = Ez = 0, H y = 0.		(13.2)
	Поскольку div E = ∂Ey / ∂y , из (12.5) следует
	d 2 E + k 2 (z)E = 0 ,			(13.3)
	dz 2
	где
	k 2 (z) =	ω2	ε(z) −κ 2 .	(13.4)
		c2

Заметим, что для прозрачной среды (поглощение отсутствует, величина Imε = 0 )

величина k2 может быть как положительной, так и отрицательной. p-поляризация (H-волны) (parallel) . В этом случае

Ey = 0, H x = H z = 0 .

(13.5)

Теперь gradε = ddzε ez , и уравнение (12.6) записывается в виде

d 2 H

−

1 dε

dH

+ k

2

(z)H = 0,

dz 2

ε dz

dz

или

d 1 dH

ω

2

κ

2

−

2

ε

+

c

ε

H = 0 .

dz

dz

(13.6)

(13.7)

На границах раздела сред диэлектрическая проницаемость может меняться скачкообразно. По общему правилу непрерывными должны быть тангенциальные составляющие напряженностей электрического и магнитного поля. Если пользоваться уравнениями вида (3) или (7), то удобнее сформулировать условия непрерывности только для одной из напряженностей, причем эти условия нетрудно получить из самих этих уравнений. Так, для уравнения (3) видно, что

при скачке ε скачком меняется d 2 E / dz 2 , так что dE / dz и тем более E непрерывны. Аналогично, для уравнения (7) (а, следовательно, и (8))

непрерывными	оказываются (1/ ε) dH / dz и H.	Точные решения приведенных
уравнений при произвольной зависимости ε(z)		получить невозможно, в связи с

чем большое значение приобретают приближенные методы.

Полуклассическое приближение

Такое приближение примыкает к геометрооптическому и справедливо в случае достаточно медленной зависимости ε(z) , когда выполняется условие

	d 1				(13.8)
				<<1.
	dz k(z)

Согласно (8), диэлектрическая проницаемость ε должна мало меняться на расстоянии порядка эффективной длины волны 2π / | k |. Функция k2(z) может

быть и положительной, и отрицательной, а при наличии поглощения и комплексной. При k = const решение (3) имеет вид плоских волн

E = A(±) exp(±ikz), A(±) = const. .

(13.9)

Полагая k большой величиной (предел k →∞ ), ищем решение (3) в виде (индексы ± временно опускаем)

E = Aexp(ikψ),

(13.10)

где A = const , а ψ разлагается в ряд по степеням 1/k (ср. с приближением геометрической оптики):

ψ =ψ0 +ψ1 +...

(13.11)

Обычно в разложении (11) ограничиваются двумя выписанными членами. Для них из (3) вытекает

dψ0 2 − k 2 (z) = 0,dz

dψ1		i		d 2ψ0
	=			dz	2			.
							dψ
dz		2
								0
							dz

Соответственно,

ψ0	= ±i∫k(z) dz, ψ1	=	i	ln k(z).
		2

Теперь общее приближенное решение уравнения (3) записывается в виде

E =	A(+)			exp[i∫k(z) dz]+	A(−)			exp[− i∫k(z) dz].	(13.12)
		k(z)				k(z)

Условик применимости полуклассического приближения (8) заведомо не выполняется в окрестности точек поворота, где k = 0. Вблизи точек поворота требуется дополнительный анализ. Пусть, например, k2(z) вещественно, k2(0) = 0, k2(z) > 0 при z < 0 и k2(z) < 0 при z > 0. Тогда в малой окрестности точки поворота можно положить

k 2 (z) ≈ −α z.

При этом уравнение (3) примет вид

	d 2 E	−α zE = 0.	(13.13)
	dz 2

Это уравнение можно привести к универсальному (не содержащему параметров) виду заменой переменных ξ =α1/ 3 z . Тогда вместо (14) получим

	d 2 E	−ξE = 0.	(13.14)
	dξ 2

Решение уравнений (13), (14) выражается через цилиндрические функции с индексом 1/3. Из двух линейно независимых решений выбирается решение, конечное при всех ξ (z) :

E = C Φ(α1/ 3 z),

(13.15)

где C = const и введена специальная фунция – функция Эйри:

	1			∞			3
					u
Φ(ξ) =				∫cos		3		+ uξ du.	(13.16)
	π		0

Использование асимптотики функции Эйри при ξ → ±∞ приводит к следующей асимптотике поля

C

z

π

∫k(z) dz

E(z)

=

k(z)

cos

+

4

,

z → −∞,

0

(13.17)

C

z

E(z)

=

2

| k(z) |

exp

− ∫| k(z) |dz ,

z → +∞.

0

При z →∞ из

двух

решений

(12) выбирается одно с экспоненциальным

убыванием амплитуды поля. При

z → −∞ (17) переходит в (12) с равными

амплитудами падающей и отраженной волн | A(+) |=| A(−) | , что отвечает полному

внутреннему отражению. Суммарное поле в этой области осциллирует (см. рис.).

Таким образом, вдали от точек поворота можно пользоваться решениями вида (12), а вблизи точек поворота (17). Последние формулы переходят в (12) при удалении от точек поворота, так что в результате получается полное решение задачи.

Аналогичные результаты можно получить и для p-поляризации (см. Ландау, Лифшиц. Электродинамика сплошных сред, где рассмотрены и дополнительные особенности поля в области ε(z) = 0 ).

Формулы Френеля

Рассмотрим отражение плоской волны от границы раздела двух сред с диэлектрическими проницаемостями ε1 (z < 0) и ε2 (z > 0) . Для s-поляризации

напряженность электрического поля определяется уравнением (3). Общее решение этого уравнения при z < 0 (первая среда считается прозрачной) имеет вид

	E = Aexp(ikz1 z) + B exp(−ikz1 z),			(13.18)
	A, B = const, kz21 =	ω2	ε1 −κ 2 .	(13.19)
		c2

Коэффициенты A и B имеют смысл амплитуд падающей и отраженной волн. Считаем, что kz21 > 0 , так как иначе падающая волна была бы неоднородной. Тогда можно положить

kz1	=	ω		cosθ1 , κ =	ω		sinθ1 ,	(13.20)
			ε1			ε1
		c			c

где введен угол падения θ1 (см. рис.). В области z > 0 имеется только уходящая от границы раздела сред волна, поэтому там

	E = C exp(ikz2 z), kz2 =	ω2	ε2 −κ 2	, Re kz2 > 0.	(13.21)
		c2

На границе раздела сред непрерывными должны быть E и dE/dz . Удобнее потребовать непрерывности при z = 0 логарифмической производной –

величины 1 dE . Тогда получим

E dz

ikz1 11 +− rr = ikz2 ,

где введен амплитудный коэффициент отражения r = B / A . Отсюда и находим r

r =

kz1

− kz2

.

(13.22)

kz1

+ kz2

Будем далее считать, что вторая среда

также прозрачная (Imε2 = 0 ).

Если kz22 > 0

,

то плоская волна во второй среде – однородная. Тогда можно

ввести угол преломления θ2

kz2

= ω

cosθ2 ,

κ = ω

sinθ2 .

(13.23)

ε2

ε2

c

c

Из сопоставления (23) с (20) следует закон преломления

sinθ1 =

sinθ2 .

(13.24)

ε1

ε2

Амплитудный коэффициент отражения записывается в форме

cosθ1

−

cosθ2

.

r =

ε1

ε2

(13.25)

cosθ1

ε1

+

ε2

cosθ2

Видно, что | r |≤1. При нормальном падении (θ1

=θ2 = 0 )

−

.

r =

ε1

ε2

(13.26)

ε1

+

ε2

Условие kz22 > 0 выполняется при углах падания, меньших критического, θ <θcr , где

sinθcr =

ε2 / ε1

.

(13.27)

Если же θ >θcr , то поле во второй среде представляет неоднородную плоскую волну и характеризуется экспоненциальным затуханием

					ω	2
	−	κ	2	−			ε2	z		(13.28)
E = C exp					c2				.

Напомним, что затухание не вызвано поглощением (вторая среда предполагается прозрачной). Причина – в полном отражении излучения. Действительно, теперь

	kz1	− i	κ 2	−	ω2	ε2
					c2				(13.29)
r =								.
	kz1	+ i	κ 2	−	ω2
						ε2
					c2
Поэтому энергетический коэффициент отражения									R =| r |2 =1. Фаза

амплитудного коэффициента отражения зависит от угла падения, причем вблизи θ =θcr эта зависимость наиболее резкая (производная от фазы по углу

падения обращается в бесконечность при θ =θcr ). Значение угла падения θ =θcr называется критическим углом полного внутреннего отражения. В

соответствии с (27) полное внутреннее отражение возможно только при ε2 <ε1 .

Аналогичным образом можно рассмотреть случай p-поляризации, а также многослойные структуры [Л.М.Бреховских. Волны в слоистых средах. М., Наука, 1973]. Пользуясь линейностью задачи, можно получить и формулы для отражения пучков и импульсов излучения, разлагая их в интеграл Фурье по плоским монохроматическим волнам (см. ниже).

Упражнение: отражение от слоя

Задания: 1) вывести формулы Френеля для р-поляризации, найти условия отсутствия отражения (прозрачные среды, угол Брюстера).

2)при нормальном падении на слой найти условия просветления.

3)для слоя с усиливающей средой найти условия порога генерации (κ = 0).

Поверхностная электромагнитная волна

Здесь также рассматривается граница раздела двух сред с

различающимися вещественными диэлектрическими	проницаемостями
ε1 (z < 0) и ε2 (z > 0) . Однако, теперь мы интересуемся	не отражением

однородной плоской волны, а возможностью распространения излучения вдоль границы раздела сред, так что поле убывает при удалении от этой границы. Такие поверхностные волны возможны только для p-поляризации излучения, поэтому решению подлежит уравнение (6). В первой среде соответствующее решение (6)

H = H		exp(q z),	q	=	κ 2 −		ω2	ε		> 0 (z < 0).	(13.30)
	0								1
		1		1			c2

Во второй среде

	H = H 0 exp(−q2 z), q2 = κ 2 −		ω2	ε2 > 0 (z > 0).		(13.31)
			c2

На границе раздела сред ( z = 0 ) непрерывными должны быть H (что при записи

(30)и (31) выполняется автоматически) и величина 1 dH . Поэтому

εdz

q1	= − q2	,	(13.32)
ε1	ε2

так что диэлектрические проницаемости ε1 и ε2 должны быть разных знаков

(ε1ε2 < 0 ). Считаем ε1

> 0, тогда ε2 = −| ε2 |< 0 . При этом

κ 2

+

ω2

| ε2 |

| ε2

|

q2

c2

=

=

>1,

ε1

q1

2

ω

2

κ

−

ε

c2

1

откуда следует еще одно условие для диэлектрических проницаемостей сред

ε1 <| ε2 |.

(13.33)

Наконец, подставляя в (32) вид величин q1,2, найдем дисперсионное соотношение – связь с частотой постоянное распространения κ :

	κ 2	=	ω2	ε	1	| ε	2	|	.	(13.34)
			c2	| ε2 | −ε1

В данном случае граница раздела сред выступает в роли направляющей (волноведущей) поверхности. Далее мы рассмотрим другие варианты волноводов.

Задача Френеля для импульсов

В общем случае для описания отражения на границе раздела сред импульса излучения следует разлагать импульс в интеграл Фурье по монохроматическим волнам и далее использовать формуры Френеля для каждой составляющей монохроматической волны. Однако в пренебрежении

частотной дисперсией задача существенно упрощается, что позволяет дать ее более простое решение.

Рассмотрим случай нормального падения (тогда поляризация излучения несущественна) и выпишем волновые уравнения для напряженности поля u в первой (z < 0) и второй (z > 0) прозрачных недиспергирующих средах:

∂2u

−

1

∂2u

= 0

(z < 0),

(13.35)

∂z 2

c2

∂t 2

1

∂2u

−

1

∂2u

= 0

(z > 0),

c

=

c

.

(13.36)

∂z 2

c22

∂t 2

1,2

ε1,2

Общее решение волнового уравнения (35) имеет вид

		z			z
							(13.37)
	u = f t − c			+ g t + c		.
		1			1

Здесь f и g – произвольные функции. Их можно интерпретировать как импульс падающего на границу (f) и отраженного от него (g) излучения. Соответственно, во второй среде может распространяться только импульс уходящего от границы излучения:

		z
				(13.38)
	u = g t −	c2	.

Из требования непрерывности u и ∂u / ∂z при z = 0 получаем (штрих означает производную)

f (t) + g(t) = h(t),	f ′(t) − g′(t) =	ε2	h′(t).	(13.39)
		ε1

Продифференцировав первое из этих уравнений, найдем

1 −

ε2

2

ε1

′

′

′

′

h (t) = 1 +

ε2

f (t),

g (t) = 1 +

ε2

f (t) .

ε1

ε1

Отсюда

1 −

ε2

2

ε1

.

(13.40)

h(t) =

f (t) + h

,

g(t) =

f (t) + g

0

ε2

0

ε2

1 +

1 +

ε1

ε1

Для постоянных h0 и g0 из (39) следует h0 = g0. Эти постоянные отвечают статическому полю, возможному даже в отсутствие падающего излучения; поэтому будем полагать h0 = g0 =0. Тогда находим, что в соответствии с формулой Френеля импульс характеризуется единым амплитудным коэффициентом отражения (26).

Замечание. В начальный момент времени t = t0 должно выполняться

						z
	условие	f						= 0	при z > 0 . Иначе f (t) нельзя интерпретировать
			t =t0		− c
				= f t0
					1

как импульс падающего излучения.

Отражение пучка от границы

Для простоты рассмотрим щелевой пучок, для которого поле не зависит от координаты y. Пусть ненулевая компонента напряженности на плоскости раздела сред z = 0 характеризуется величиной u(x) . Для пучка падающего

излучения используем разложение Фурье в спектр плоских волн:

	ui (x) =	1 ∞		F(kx ) exp(ikx x) dx =	1	∞ ~		(β) exp(ikx0 x) exp(iβx) dβ .	(13.41)
							F
		2π −∞∫			2π	−∞∫

Здесь kx – x-компонента волнового вектора. Пучок предполагается широким и, соответственно, обладающим малой угловой расходимостью. Поэтому для основных (содержащих основную долю энергии) компонент поля величина kx близка к ее осевому значению kx0, то есть волновому числу для плоской волны, отвечающей осевому лучу. Это означает, что в последнем интеграле (41)

наиболее существенна область малых β = kx − kx0 .

Поле пучка отраженного излучения в той же плоскости z = 0 получается из (41) домножением амплитуды каждой парциальной плоской волны на соответствующий коэффициент френелевского отражения:

		1	∞			~
	ur (x) =		−∞∫	r(β)F			(β) exp(ikx0 x) exp(iβx) dβ.
		2π
	Введем вещественные						амплитуду и фазу коэффициента отражения:
	r =| r | exp(iϕ) . Наиболее						существенна угловая зависимость фазы ϕ вблизи
	критического угла полного внутреннего отражения. Тогда
	ur (x) =	| r0	| ∞ ~			(β) exp[i(kx0 x + iβx +ϕ)]dβ.
		2π	−∞∫		F

Здесь r0 – близкий к единице коэффициент отражения для центрального (осевого) луча пучка. Разложим фазу ϕ в ряд Тейлора, ограничившись двумя

членами:	ϕ(β) ≈ϕ			(0) +ϕ β. Производная		ϕ	′	вычисляется при	β = 0 , что
					′
отвечает осевому лучу. Теперь
		r0	∞		~	′
ur	(x) =	2π −∞∫
					F(β) exp[i(kx0 x + iβx +ϕ β)]dβ.
По свойствам Фурье-преобразования отсюда следует
ur	≈ r0ui (x +				′				(13.42)
				ϕ ).

Отсюда следует, что профиль пучка отраженного излучения сдвигается в направлении x по сравнению с профилем пучка падающего излучения на величину ∆ = −ϕ′. Привлекая формулы Френеля для s- и p-поляризаций найдем

величину этого (продольного) сдвига

λ

tgθ0

λ

tgθ0

(13.43)

∆s = π

,

∆p =

.

πn2

sin 2θ0

− n2

sin 2θ0 − n2

Здесь λ –

длина

волны

излучения и n – относительный показатель

преломления.

Характерная

величина

сдвига – длина

волны λ . При

приближении θ0 к критическому углу полного внутреннего отражения

подкоренное ввыражение в (43) стремится к нулю и соответственно продольный сдвиг стремится к бесконечности.

Аналогично, для ограниченных по обеим поперечным координатам пучков имеется и поперечный сдвиг отраженнного пучка («сдвиг Федорова»), но он имеет место только при эллиптической поляризации излучения и обращается в ноль для «чистых» состояний поляризации (s- и p-поляризаций).

Отражение от границы с переходным слоем (НПВО)

Вернемся к задаче Френеля об отражении плоской волны. Учтем теперь, что реально граница раздела двух сред – не идеально резкая, а включает переходные слои с плавным изменением диэлектрической проницаемости. Как и ранее, будем считать, что первая среда (z < 0 ) – прозрачная, с вещественной

диэлектрической проницаемостью ε1 . Вторая же среда (z > 0 ) характеризуется меняющейся в направлении z комплексной диэлектрической проницаемостью

ε =ε∞ +δε(z).

(13.44)

Соответственно, решение уравнения (3) в первой среде

E = Ei [exp(ikz1 z) + r exp(−ikz1 z)],

(13.45)