Воробьев Теория электромагн поля и СВЧ (Кривець)

271

Метод интегральных уравнений (вторичных источников) [43]. Исследование поля в неоднородной среде сводят к расчёту его в однородной среде. Влияние на поле неоднородностей (диэлектрических, проводящих и магнитных тел) учитывают введением в поле вместо неоднородностей вторичных источников – зарядов поляризации, токов намагниченности наведённых вихревых токов и др., распределённых на границах (в объёме) неоднородностей. Первоначально определяют интегральные уравнения, которые должны соответствовать распределению вторичных источников, а затем по уравнениям поля с учётом заданных и вторичных источников решают задачу анализа поля.

Метод конечных элементов широко применяется при расчёте полей электронно-оптических систем [44]. Область поля разбивается на конечное число подобластей – элементов. Внутри каждого элемента искомая функция апроксимируется, например, полиномом, коэффициенты которого выражают через неизвестные значения искомой функции в узлах элемента. Полученные соотношения для коэффициентов подставляют в аппроксимирующий полином, что приводит к уравнению искомой функции в зависимости от узловых значений функции и функции формы элемента. Это интерполяционное уравнение записывают для каждого элемента согласно сквозной нумерации всех элементов области. После этого с помощью выбранного метода находят уравнения для узловых значений функции.

Метод сеток, как и предыдущий метод, применяется при расчётах электронной и ионной оптики [45]. Он основан на решении уравнений Лапласа и Пуассона в конечных разностях. В области исследуемого поля наносят квадратную или полярную сетку, для узлов которой рассчитывают значения потенциалов. Для этого на сетку

272

наносят предполагаемую картину поля, задаваясь значениями потенциалов в узлах, и по уравнению связи, полученному из уравнения Лапласа, находят потенциалы узлов сетки. При первом подсчёте предполагаемые и рассчитанные значения потенциалов по уравнению связи могут не совпадать, образуя остаток. Поэтому снова задаются потенциалы в узлах и опять их вычисляют. Расчёты проводят до тех пор, пока значения потенциалов не совпадут или их остаток во всех узлах не будет превышать заданного значения. Метод применим в случае граничных поверхностей произвольной формы для двумерных, трёхмерных с осевой симметрией и других более сложных полей. Позволяет найти распределение скалярного потенциала электрических и магнитных полей, а также распределение векторного потенциала магнитного поля.

Метод конечных разностей во временной области

[46, 47]. В настоящее время, с возросшим быстродействием персональных компьютеров, широкое применение находит метод конечных разностей во временной области FDTD (Finite-Difference Time-Domain),

который является одним из основных методов численного решения электродинамических задач. Метод FDTD универсален – он может быть с успехом применён практически во всех задачах электродинамики, требующих численного решения. Частотные характеристики исследуемого объекта могут быть получены с помощью дискретного преобразования Фурье или условно, путём задания квазигармонического источника и выполнения расчётов до выхода на установившийся режим. Кроме простоты постановки, метод FDTD обладает несомненными преимуществами в плане моделирования электродинамических объектов с неоднородными, анизотропными и нелинейными средами с произвольными

273

формами границ. В своей классической постановке метод FDTD основан на дискретизации уравнений Максвелла, записанных в дифференциальной пространственновременной формулировке.

Экспериментальные методы моделирования электромагнитных полей. Моделирование с помощью электрических ванн и проводящих листов [1-3].

Экспериментальное моделирование одного потенциального поля другим основывается на аналогии уравнений и подобии картин полей электростатического, электрического и магнитного (см. п. 2.5). Электростатическое поле и магнитное поле постоянного тока заменяют электрическим полем тока низкой частоты (для исключения явления поляризации, а также более лёгкого воспроизведения поля). При моделировании полей необходимо соблюдать геометрическую конфигурацию и заданное расположение электродов (полюсов), а также граничные условия. Двумерные поля исследуют с помощью металлических листов или листов из проводящей бумаги (см. приложение Б). Трёхмерные поля моделируют с помощью наклонных ванн, заполненных слабопроводящей жидкостью. Во всех случаях эквипотенциальные линии исследуют с помощью зонда.

Моделирование с помощью электрических сеток [1-3].

Строят электрическую модель поля из большого количества элементов электрической цепи. Каждый элементарный объём поля приближённо заменяют резисторами, конденсаторами и катушками. С помощью конденсаторов и катушек учитывают токи смещения и э.д.с., индуцируемые переменным магнитным полем. Данный метод может быть применён и для моделирования переменных электромагнитных полей. Метод предполагает численную обработку результатов.

274

Моделирование излучения электронного потока с помощью поверхностной волны диэлектрического волновода. В [30] показано, что эффективным способом исследования новых модификаций квазиоптических систем устройств дифракционной электроники является метод экспериментального моделирования, при котором излучение электронной волны тока пространственного заряда ЭП моделируется излучением поверхностной волны планарного диэлектрического волновода, расположенного вблизи дифракционной решётки. При равномерном и прямолинейном движении электронного потока собственное его поле имеет вид плоской волны, подобную волну можно сформировать плоским диэлектрическим волноводом. Часть мощности, распространяющейся вдоль волновода, сосредоточена в наружной по отношению к нему области в виде поверхностного поля медленных волн, обуславливая его дифракцию на элементах периодической структуры. Это позволяет при помощи только волновых полей моделировать эффекты дифракционного и черенковского излучения [40]. В результате энергия медленных волн преобразуется в энергию быстрых пространственных гармоник, излучаемую в окружающее пространство (открытый резонатор, открытый волновод и т.д.).

Поскольку в рамках данного учебного курса для наглядной иллюстрации электромагнитных процессов в основном используются аналитические методы решения задач теории поля, то остановимся на более подробном их описании с демонстрацией на конкретных примерах.

275

5.2 Методы, основанные на теореме Гаусса и законе полного тока в интегральной форме с использованием свойства наложения полей

→

Вектор электрического смещения D или вектор

→

напряжённости электрического поля E , обладающего плоской осевой или сферической симметрией, определяются с помощью теоремы Гаусса в интегральной

→ →	→ →
форме ∫ D dS = ∑Q или	∫ E dS = ∑Q / εa при εa	= const
S	S

(см. п.2.2). В этом случае в каждой точке замкнутой поверхности интегрирования (поверхности симметрии), охватывающей заряды и проведённой через точку

→

наблюдения, вектор E имеет одно и то же значение и может быть вынесен из-под знака интеграла. Например, для поля точечного заряда и заряженного шара поверхностью интегрирования является сферическая поверхность, а для поля заряженной бесконечной оси и цилиндра – цилиндрическая поверхность. В каждой точке

→

этих поверхностей вектор E имеет только радиальную

→ →

составляющую. Поэтому векторы E и dS совпадают по

направлению.

Тогда

E = Q / (εa S ),

а

потенциал

→→

ϕ= −∫E dr +C .

При наличии нескольких точечных (электрический диполь, одноимённые точечные заряды, равномерно заряженное кольцо) или распределённых зарядов (равномерно заряженный отрезок, бесконечно длинная заряженная ось, цилиндры) поле рассчитывают, применяя принцип наложения (см. п.1.1). При этом распределённые заряды по объёму, поверхности и линии представляют в

276

виде совокупности точечных зарядов, соответственно

ρ dV , σ dS и τ dl .

Поле близко расположенных разноимённо заряженных бесконечных цилиндров (параллельно расположенных вне и внутри друг друга) рассматривают как поле, созданное фиктивными разноимённо заряженными осями – электрическими осями (см. п.2.7, пример 2.5). Электрические оси не совпадают с геометрическими осями цилиндров. Электрические оси располагают таким образом, чтобы поверхность каждого провода, являющегося эквипотенциальной поверхностью, совпадала с эквипотенциальной поверхностью поля электрических осей. В пространстве вне цилиндров поле электрических осей совпадает с полем цилиндров. Внутри проводящих цилиндров электрическое поле отсутствует, а поверхностная плотность зарядов на поверхности цилиндров неравномерна вследствие электростатической индукции. Положение электрических осей можно определить аналитически (см. пример 2.5, формула (2.32)).

→

Вектор напряжённости H или вектор магнитной

→

индукции B магнитного поля постоянного тока, обладающего симметрией относительно контура интегрирования, определяют с помощью закона полного

→ →

тока в интегральной форме: ∫ H dl = ∑I (см. п.2.4). В

каждой точке замкнутого контура интегрирования, охватывающего токи, и проведенного через точку

→

наблюдения, вектор H имеет одно и то же значение и может быть вынесен из-под знака интеграла. При

→→ →

совпадении векторов H и dl (вектор H направлен по

→

касательной к элементу контура интегрирования dl ) закон

			277
полного	тока	принимает	вид	H l = ∑I . Например,
напряжённость		магнитного		поля,	создаваемого
постоянным током I , протекающим по цилиндрическому
проводу	на расстоянии r		от	его оси,	H = I / (2π r ).

Подробное решение задачи рассмотрено в примере 1.1. При наличии нескольких проводов с током или

→

катушки с число витков ϖ вектор напряжённости H рассчитывают, применяя, как и для электростатического поля, метод наложения (см. п.1.1).

5.3 Интегрирование уравнений Пуассона и Лапласа для одномерных полей

Наиболее просто уравнения Пуассона и Лапласа решаются в случае одномерных полей, потенциал которых зависит от одной координаты. При этом дифференциальное уравнение в частных производных переходит в одномерное дифференциальное уравнение второго порядка, решение которого при известных граничных условиях не представляет трудностей. Если потенциал является функцией двух или трёх координат, то решить уравнение в частных производных значительно труднее.

В краевой электрической задаче необходимо учитывать следующие условия, которым должен удовлетворять потенциал ϕ :

-во всех точках поля, не лежащих на граничных поверхностях, и не занятых внешними источниками справедливо уравнение Лапласа;

-потенциал ϕ всюду непрерывен, включая границы

диэлектриков и проводников; - потенциал ϕ всюду конечен;

278

- потенциал ϕ имеет постоянное значение внутри и на

поверхности проводников; - ϕ - регулярная функция на бесконечности.

Кроме этих условий для однозначности решения необходимо выполнение граничных условий (2.10), (2.11)

→→

для векторов E и D (см. п.2.2).

При решении уравнения Лапласа для магнитного потенциала ϕм он всюду конечен и непрерывен, включая и

граничные поверхности: ϕм1 =ϕм2 .

При определении магнитного поля внутри проводника

спостоянным током решается уравнение Пуассона для

→→

2 A = −µa δ при выполнении

следующих условий:

→

- во всех точках вне областей с током 2 A = 0 ;

→

-во всех точках, не лежащих на границе div A = 0 ;

-тангенциальные и нормальные составляющие вектора

→

A- непрерывны ( A1τ = A2τ , A1n = A2n ).

5.4Интегрирование уравнений Лапласа и Гельмгольца методом разделения переменных (методом Фурье)

Метод разделения переменных в основном используется для решения уравнений Лапласа и однородных волновых уравнений Гельмгольца. Рассмотрим для простоты двумерные случаи в декартовой, сферической и цилиндрической системах координат.

Система плоскопараллельных электродов. Для поля,

создаваемого плоскими, неограниченными по оси z электродами, уравнение Лапласа примет вид [3]:

			279
	∂2ϕ(x, y)	+	∂2ϕ(x, y)	= 0 .
	∂ x2		∂ y2

Решение уравнения Лапласа можно записать в форме произведения двух независимых функций

ϕ(x, y)= M (x)N (y).

Подставив это решение в уравнение Лапласа и почленно разделив на произведение M (x)N (y), находим

1		d 2M (x)	1			d 2 N (y)	.
			= −
M (x)		dx2		N (y)		dy2

Так как левая и правая части этого уравнения зависят от разных переменных, то они должны быть равны

некоторой постоянной, например						K 2	(постоянная
разделения).
В	результате		получают		два		независимых
дифференциальных уравнения:
	d 2M (x)	= ±K 2M (x);		d 2 N (y)		= K 2 N (y).
	dx2			dy2

Решение этих уравнений при первом сочетании знаков при K имеет вид

M (x)= Acos(Kx)+ B sin (Kx);

N (y)= Cch(Ky)+ Dsh(Ky).

При обратном сочетании знаков при K гиперболические и тригонометрические функции меняются местами.

Сначала находят ту независимую функцию, по переменной которой заданы нулевые граничные условия,

например M (x). Эта функция будет удовлетворять

заданным однородным граничным условиям и не будет равна нулю (что не представляет интереса) только при определённых значениях чисел Kn . Числа Kn в общем

280

случае вычисляют, приравнивая к нулю главный определитель системы уравнений, полученной путём

подстановки решения Mn (Kx) в выражение для

граничных условий (при x = a и x = b ). Определитель составляют из коэффициентов при An и Bn , которые

рассматривают как искомые величины. Затем какое-либо из найденных чисел Kn подставляют в эту систему

уравнений и находят одну из постоянных, например A , выраженную через B . Однако числа Kn в ряде случаев

могут быть рассчитаны без составления системы уравнений, непосредственно по граничным условиям с учётом свойств искомого поля. После нахождения Kn

записывают частное решение для функции:

Nn (y) = Cnch(Kn y)+ Dn sh(Kn y).

Общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид

∞

ϕ(x, y)= ∑ (An cos(Kn x)+ Bn sin (Kn x))×

n=1

×(Cnch(Kn y)+ Dn sh(Kn y)) .

Постоянные Cn и Dn определяют из граничных условий по переменной y в зависимости от условий задачи. Зная ϕ , не сложно определить напряжённость поля:

E =	Ex2 + Ey2 =		−	∂ϕ 2		−	∂ϕ 2
					+		.
				∂x			∂y

Шар во внешнем однородном поле (схема решения).

Для шара (шарообразной полости) с учётом независимости потенциала от координаты α уравнение Лапласа в сферической системе координат имеет два слагаемых [3]: