Воробьев Теория электромагн поля и СВЧ (Кривець)

281

1 ∂

2

∂ϕ

1

∂

∂ϕ

r

+

sinθ

= 0 .

(5.1)

r

2

r

2

sinθ

∂r

∂r

∂θ

∂θ

Представляя

потенциал в

виде ϕ = M (r )N (θ ) и

подставляя его в (5.1), получим

1 ∂

2

∂M

1

∂

∂N

r

+

sinθ

= 0 .

(5.2)

N sinθ

M ∂r

∂r

∂θ

∂θ

В этом уравнении первое слагаемое зависит только от r , второе – от θ , а их сумма равна нулю. Это условие выполняется либо когда каждое слагаемое равно нулю, либо когда каждое слагаемое равно некоторому пока неизвестному числу p (пусть первое слагаемое равно + p ,

второе слагаемое равно – p ), т.е.

1

∂

2 ∂M

r

∂r

= 0 ,

M ∂r

1

∂

∂N

sinθ

= 0 ,

N sinθ ∂θ

∂θ

1

∂

2 ∂M

r

∂r

= p ,

M ∂r

1

∂

∂N

sinθ

= −p .

N sinθ ∂θ

∂θ

(5.3)

(5.4)

(5.5)

(5.6)

Из

решения

уравнений (5.3)

и

(5.4)

следует,

что

M

1

=

A1

+ A и

N = A .

r

2

1

3

Используя подстановку Эйлера и уравнение (5.5)

получим, что

M

2

= Crn , где n = − 1

±

1

+ p . Решение

1,2

2

4

уравнения (5.6) имеет следующий вид:

N2

= B cosθ ,

при

подстановке которого находим, что

p =2. Здесь A1 , A2 ,

A3 ,

C и B – постоянные интегрирования.

282

Полное решение уравнения Лапласа можно представить в виде

ϕ=ϕ1 +ϕ2 = M1N1 + M2 N2 = Cr1 +C2 +

+C3r + C4 cosθ.r2

Обозначим потенциал внутри шара ϕi , вне шара

(5.7)

ϕe .

Тогда потенциалы для внутренней и наружной областей шара запишутся следующим образом:

ϕ

i

=

C1i

+C

2i

+

C

r +

C4i

cosθ ,

(5.8)

r

3i

r

2

ϕ

e

=

C1e

+C

2e

+

C

r +

C4e

cosθ .

r

3e

r

2

Постоянные интегрирования C находятся из граничных условий, которые зависят от типа заданного поля (электрического или магнитного) и материала шара (диэлектрика, магнетика, проводника).

Цилиндр во внешнем однородном поле (схема решения). Уравнение Лапласа в цилиндрической системе координат с учётом бесконечности системы по оси z имеет вид [3]:

1 ∂			∂ϕ		1			∂2ϕ
		r		+						= 0 .	(5.9)
					r	2		∂α	2
r ∂r			∂r
Аналогично шару			решение							найдём в	виде

ϕ = M (r )N (α), в результате подстановки которого в (5.9) получаем

r ∂				∂M			1 ∂2 N
			r			+			2	= 0 .	(5.10)
				∂r			N ∂α
M ∂r

В этом уравнении первое слагаемое зависит только от r , второе – от α , а их сумма равна нулю. Это условие выполняется либо когда каждое слагаемое равно нулю,

283

либо когда каждое слагаемое равно некоторому пока неизвестному числу p (пусть первое слагаемое равно + p ,

второе слагаемое равно – p ), т.е.

r

∂

∂M

1 ∂2 N

r

= 0 ,

(5.11)

2

= 0 ,

(5.12)

N ∂α

M ∂r

∂r

r

∂

∂M

1 ∂2 N

r

= p ,

(5.13)

2

= −p .

(5.14)

N ∂α

M ∂r

∂r

Из уравнения (5.11) получаем, что M1 = A1 ln r + A2 , из

(5.12) получаем, что N1 = A3 .

Из

уравнения (5.13) получаем,

что

M2 = Crn , где

n1,2

= ±

p .

Решение

уравнения

(5.14)

имеет

вид

N2

= B cosα , откуда

p =1. Здесь

A1 ,

A2 ,

A3 , C и

B –

постоянные интегрирования.

Тогда полное решение уравнения Лапласа можно представить в виде

ϕ =ϕ1 +ϕ2 = M1N1 + M2 N2 = C1 ln r +C2 +
+	C r +	C4	cosα.	(5.15)
	3	r

Обозначим потенциал внутри цилиндра ϕi , вне цилиндра ϕe .

Тогда потенциалы для внутренней и внешней областей

ϕ

i

= C

ln r +C

2i

+

C

r +

C4i

cosα ,

(5.16)

1i

3i

r

ϕ

e

= C

ln r +C

2e

+

C

r +

C4e

cosα .

1e

3e

r

Постоянные интегрирования C находятся из граничных условий и зависят от того, из какого материала изготовлен цилиндр.

Граничные условия для шара и цилиндра

284

1 Для диэлектрического и магнитного шаров (цилиндров) удобно потенциал в начале координат принять равным нулю (ϕr=0 = 0 ).

2 Заряд шара Q на бесконечности ( r → ∞ )

воспринимается как точечный заряд ϕ0 = 4πεQa r − Er cosθ ,

а заряженный цилиндр – как заряженная ось

ϕ0

=

τ

ln r − Er cosα .

2πεa

3 На поверхности проводящего незаряженного шара

(цилиндра)

потенциал

непрерывен

(поверхность

эквипотенциальна

ϕr=R = const ):

ϕ1(r =R) =ϕ2(r =R)

или

E1τ = E2τ ( H1τ = H2τ ).

4

На

границе

раздела диэлектрических

сред

нормальные

составляющие

вектора

→

непрерывны:

D

D

= D

,

ε

∂ϕ1

= ε

∂ϕ2

(с

учётом

заданной

1n

2n

1

∂r

2

∂r

→

поляризованности P шара 5 На границе раздела

D	= ε	→	→
		E2	+ P ).
1n		0

проводящих сред нормальные

									→
составляющие						вектора			δ	непрерывны:	δ1n =δ2n ,
γ		∂ϕ1	= γ	∂ϕ2 .
	1	∂r		2	∂r
		6	На	границе раздела					магнитных сред нормальные
									→
составляющие						вектора			B	равны:	B1n = B2n ,
µ		∂ϕ1м = µ			∂ϕ2 м	(ϕ	м	- магнитный потенциал			поля, с
	1	∂r			2 ∂r

285

учётом	заданной	намагниченности	→	шара
			M
→	→
B1n = µ0 H 2	+ µ0 M ).

Сучётом граничных условий 1-6 общие решения (5.8)

и(5.16) для конкретных объектов будут иметь следующий вид:

1) Если шар диэлектрический, то потенциал на

бесконечности ϕ =ϕ0 + E0r cosθ , отсюда

ϕ

e

=ϕ

0

+

E r

+

C4e

cosθ . ϕ

i

=ϕ

0

+C

r cosθ .

0

r

2

3i

Из граничных условий (при r = R )

ϕi =ϕe и D1n = D2n

находим, что

C

= E

3εe

;

C

= R3E

εe

−εi

.

3i

0 2εe +εi

4e

0 2εe +εi

Тогда ϕi =ϕ0 + E0r

3εe

cosθ

=ϕ0 + E0

3εe

z ,

2εe

+εi

2εe +εi

R3

(εe

−εi )

ϕ

e

=

ϕ

0

+ E

r

+

cosθ .

2

0

r

(2εe

+εi )

2)

Если

шар

проводящий,

но не заряженный, то

ϕ

i

=ϕ

0

. C

4e

= −E R3 .

0

3

ϕe

=ϕ0

+ E0

r

−

R

cosθ .

2

r

3) Если проводящий шар заряжен, то ϕi

=ϕ0 .

Q

3

ϕe =

+ϕ0 + E0 r

−

R

cos

θ .

4πεa r

2

r

Для описания магнитной среды вместо потенциала ϕ используется скалярный магнитный потенциал ϕм .

286

Зная ϕ не сложно определить напряжённость поля

E

= −

∂ϕi , E

=

E2

+ E2

=

−

∂ϕe

2

+

−

1

∂ϕe 2 .

i

∂z

e

r

θ

∂r

r ∂θ

4) Если цилиндр диэлектрический, то потенциал на бесконечности ϕ =ϕ0 + E0r cosα , отсюда

ϕ

e

=ϕ

0

+ E r +

C4e

cosα . ϕ

i

=ϕ

0

+C

r cosα .

0

r

3i

Из граничных условий (при r = R )

ϕi

=ϕe

и D1n = D2n

находим, что C

= E

2εe

; C

= R2 E

εe

−εi .

3i

0 ε

e

+ε

i

4e

0 ε

e

+ε

i

Тогда ϕ

i

=ϕ

+ E r

2εe

cosα =ϕ

+ E

2εe

z ,

ε

0

0

e

+ε

i

0

0 ε

e

+ε

i

R2 (εe −εi )

ϕ

e

=

ϕ

0

+ E

r +

cosα .

0

r

(εe +εi )

5) Если цилиндр проводящий, но незаряженный, то

ϕi =ϕ0 . C4e = −E0 R2 .

					R	2
	ϕe	=ϕ0	+ E0	r −			cosα .
					r

6) Если проводящий цилиндр заряжен, то ϕi =ϕ0 .

		τ				R	2
	ϕe =		ln r +ϕ0	+ E0	r −			cosα .
		2πεa				r

Для описания магнитной среды вместо потенциала ϕ используется скалярный магнитный потенциал ϕм .

Зная ϕ , несложно определить напряжённость поля

E

= −

∂ϕi , E

=

E2

+ E2

=

−

∂ϕe

2

+

−

∂ϕe 2 .

i

∂z

e

r

α

∂r

∂α

287

Анализируя полученные выше соотношения для потенциалов шаров и цилиндров с учётом конкретных граничных условий, можно сделать обобщающие выводы по отношению к исследуемым объектам:

1)в диэлектрическом шаре и цилиндре с диэлектрической проницаемостью большей, чем диэлектрическая проницаемость среды, результирующее поле меньше внешнего поля. Это объясняется тем, что поле связанных зарядов внутри тела направлено навстречу внешнему полю. Такое поле связанных зарядов называют деполяризующим. Деполяризующее электрическое и результирующее поля в шаре и цилиндре являются однородными только в диэлектрическом эллипсоиде, шаре

ицилиндре;

2)выражения для потенциала внутри и вне шара (цилиндра), а также для напряжённости внешнего электрического поля в диэлектрике и магнитного поля в ферромагнетике аналогичны. Переход от одного выражения к другому может быть осуществлён заменой соответствующих величин, исходя из аналогии уравнений полей (см. п.2.5). Например, напряжённость поля внутри

диэлектрического				шара	с	проницаемостью		ε1 ,
помещённого			в	однородное			электрическое	поле,
				→
напряжённостью				E0 в среде		с	проницаемостью ε2 ,
	3ε2
Ei =		E0 ,	а	внутри	шара		в магнитном	поле
	ε1 + 2ε2

Hi = µ 3+µ2µ H0 ;

12 2

3)задачу о магнитном шаре и цилиндре, внесённых в однородное магнитное поле, решают, используя аналогию уравнений с уравнениями электростатического поля (см. п.2.5). Намагничивание магнитного шара также получают

288

однородным. При внесении магнитного шара в однородное магнитное поле напряжённость магнитного поля внутри шара, обусловленная намагниченностью шара, направлена навстречу напряжённости внешнего поля. Такое поле называют размагничивающим полем. При этом результирующее магнитное поле внутри шара меньше внешнего поля.

Решение уравнения Гельмгольца для H -волны в прямоугольном волноводе. Уравнение Гельмгольца для H -волны

••

				2		→		+ω2εa µa	→
						H z			H z = 0 .	(5.17)
Подставив			значение					•	•
								H z (x, y, z,t )= H z (x, y)e j(ωt−kp z) и
проведя дифференцирование по z , получим
	2	•		z + ∂	2	•			•
∂		H2				H2	z +(ω2εa µa −kp2 )H z = 0 ,			(5.18)
	∂x				∂y

где ω2εa µa = k2 .

Тогда уравнение (5.17) преобразуется в двумерное дифференциальное уравнение следующего вида:

∂2	•		∂2	•
	H z			H z		+(k	2	2	•	(5.19)
∂x		2 +	∂y		2			−kp )H z = 0 .

Воспользуемся методом разделения переменных и

•

представим H z в виде произведения двух независимых функций:

		•				(5.20)
		H z (x, y)= X (x)Y (y).
Подставив (5.20) в (5.19), имеем
1		∂2 X2	+	1	∂2Y2 +(k2 −kp2 )= 0 .	(5.21)
	X
		∂x		Y ∂y

289

Обозначим k2 −kp2 = kx2 + ky2 , где kx и ky по аналогии с

продольными волновыми числами, называются поперечными волновыми числами.

Таким образом, получаем два независимых уравнения:

	1 ∂2 X		= −kx2 ,	1 ∂2Y			= −ky2 .
	X ∂ x2			Y ∂ y2

Общее решение этих уравнений имеет следующий вид:

			•
	H z = jH0 cos(kx x +ϕx )cos(ky y +ϕy ),			(5.22)
где H0 =	E0		- заданная амплитуда поля;
	Zc
kx , ky ,	ϕx ,		ϕy - постоянные интегрирования,	которые

определяются из граничных условий на стенках прямоугольного волновода (см. п.3.4).

5.5 Метод зеркальных изображений

Для расчёта электростатических полей, особенно ограниченных какой-либо проводящей поверхностью правильной формы или в которых есть геометрически правильной формы граница между двумя диэлектриками,

широко применяют метод зеркальных изображений. Это искусственный приём расчёта, в котором кроме заданных зарядов, вводят ещё дополнительные заряды, величины и местоположение которых выбирают так, чтобы удовлетворить граничным условиям в поле. Если граница между двумя средами плоская, то дополнительные («фиктивные») заряды помещают территориально там, где находятся зеркальные (в геометрическом смысле) отображения заданных зарядов. Метод зеркальных изображений применяют не только для расчёта электростатических полей, но и для расчёта электрических полей в проводящей среде и магнитных полей постоянного

290

тока. Обоснованием метода и правильности даваемого им решения является теорема единственности решения (см.

п.1.1).

Рассмотрим два примера на метод зеркальных изображений.

Система проводящая среда – диэлектрик. Если в диэлектрической среде с диэлектрической проницаемостью ε поместить точечный заряд (заряженную нить), то свободные электроны проводящей среды будут двигаться в сторону (или в противоположную сторону) этого заряда (явление электростатической индукции). В результате электрическое поле в диэлектрике будет равно сумме электрического поля, создаваемого точечным зарядом, и поля, создаваемого свободными электронами проводящей среды.

Пусть в диэлектрическую среду помещён заряд q

на

q

расстоянии

h

от

поверхности

проводящей среды. Тогда для

h

определения

электрического

ε

поля в диэлектрической среде с

ε

(в

проводящей

среде

ε

h

электрическое поле равно нулю)

проводящую

среду заменяют

-q

диэлектрической

с

такой

же

Рисунок 5.1

–

проницаемостью

ε

и

вводят

дополнительный

«мнимый»

Метод

зеркальных

заряд q такой же величины, но

изображений

для

противоположный

по

знаку,

системы

диэлектрик

расположенный

зеркально

на

- проводник

расстоянии

h

от

поверхности

раздела (рис. 5.1). Поле в любой точке диэлектрика будет равно векторной сумме поля фактического и «мнимого» зарядов.