МУ ТМ_2015 / Кинематика Т.1 (Живаго, Желтухин, Ермаченко)

Касательное ускорение совпадает по направлению с вектором скорости (ускоренное движение).

Находим величину нормального ускорения

a

n

a2 a2

9,012 2,22 8,74 см/с2.

5) Радиус кривизны траектории

1

V 2

3,392

1,31 см.

an

8,74

Результаты вычислений сведены в таблицу 2.

Таблица 2

Координаты,

Скорость,

Ускорение,

,

см

см/с

ax

см/с2

см

х

у

Vx

Vy

V

ax

aп

a

a

1,0

0,87

3,0

1,57

3,39

6,0

6,73

8,74

2,2

9,01

1,31

Задача 3. По заданным уравнениям движения точки М установить вид её траектории и для момента времени t найти положение точки на траектории, скорость, ускорение, его касательную и нормальную составляющие, а так же радиус кривизны траектории в данной точке.

Дано: x 2 sin 6t см, y 2 2 cos 3t см, t = 1c.

Найти: у = f(x), x, у; Vx, Vу, V; ax, aу, a, a , an; .

РЕШЕНИЕ

1) Определяем уравнение траектории точки, и её положение в данный момент времени. Решая совместно уравнения движения и преобразуя второе уравнение, получаем

	2 t			2 t	2
y 2 2 (1 2 sin			) 4 sin	6	, т.е. у = х .
		6

Траекторией точки является часть параболы у = х2, ограниченная неравенствами − 2 х 2, 0 у 4 (рисунок 5).

При t = 1 c, хМ = 2sin 6 = 1 см, уМ = 2 – 2cos 3 = 1 см.

11

2) Скорость точки. Вектор скорости V Vx i Vy j . Проекции вектора скорости на выбранные оси:

Vx	dx					cos		t	,	V y		dy		2	sin		t	.
	dt	x		3				6				dt	y				3
														3
При t = 1 c, Vx				3				= 0,96 см/с, V y							3	= 1,813 см/с.
						6								3
Модуль скорости
												15
		V			Vx2 V y2								= 2,027см/с.
												6

Вектор скорости строится по её составляющим, параллельным координатным осям, в выбранном масштабе (рисунок 5).

3) Ускорение точки. Вектор ускорения a ах· i + ау· j . Проекции вектора ускорения на оси

			2	sin	t			2 2	cos	t	.
ах = Vx x			18		6	, ау = V y y		9		3
		2					2
При t = 1 c, ах =		36	= – 0,274 см/с2, ау =				9 = 1,096 см/с2.

Модуль ускорения

a ax2 a2y 0,075 1,201 = 1,129 см/с2.

Строим вектор ускорения по его составляющим, параллельным координатным осям, в масштабе (рисунок 5).

4) Касательное и нормальное ускорения.

Величину касательного ускорения находим по выражению

a		dV		Vx ax		Vy a y
		dt				V
	0,96 ( 0,274) 1,813 1,096 0,857 см/с2 .
				2,027

Знак плюс показывает, что касательное ускорение совпадает по направлению с вектором скорости.

Величину нормального ускорения находим из выражения

an

a 2 a 2

1,275 0,734 = 0,735 см/с2.

12

		у
5				V
			Vу
4		a
3			ау
				aτ
2		an
				Vx
1		ах	M
				х
- 2	- 1	0	1	2

Рисунок 5 – Решение задачи 3

5)Радиус кривизны траектории

V 2 2,027 2 = 5,59 см. an 0,735

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

По данной теме предлагается 25 вариантов по шесть задач в каждом. Первые три задачи, как правило, нестандартные, хотя и не сложные. Задачи 4 и 5 типовые, а шестая задача – комплексная, охватывающая весь материал кинематики точки. Рисунки к шестой задаче приведены на страницах 38 – 41.

Для каждой задачи требуется выполнить рисунок, на котором изобразить траекторию движения точки (или часть траектории), установить положение точки на траектории в заданный момент времени и построить векторы заданных и определяемых скоростей и ускорений точки.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Задание 1.01

1.01.1. Найти скорость, касательное, нормальное и полное ускорения точки, движущейся по криволинейной траектории по закону S = 2t3 (S − м, t – с), в момент времени, когда угол между векторами скорости и ускорения равен 45°. Радиус кривизны траектории в данной точке равен 24 м.

13

1.01.2.Точка движется равноускоренно из состояния покоя по

окружности радиусом 5 м. По истечении двух секунд её полное ускорение достигло значения 7,8 м/с2. Найти путь, пройденный точкой за четыре секунды с момента начала движения.

1.01.3.Точка равномерно движется по плоской траектории, радиус кривизны которой = t2 – 2t + 2 ( – м, t – с). В какой момент времени ускорение точки максимально?

1.01.4. Точка движется	по	траектории	согласно уравнениям
х = 3 – 4sin 2 t, у = 2cos 2 t	(х,	у м, t с).	Определить уравнение

траектории точки. Вычислить скорость и ускорение точки в момент времени, когда её скорость параллельна оси Ох.

1.01.5.Найти уравнение траектории точки, движущейся по закону

х= 2t, у = 4t2 – 8t (х, у м, t с). Определить положение, скорость,

ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 1 c.

1.01.6. Звено OC механизма движется согласно закону	t
	6

( − рад, t с). Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = 1 c и t2 = 3 c. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме и найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М, а также ра-диус кривизны траектории в точке М при t1 = 1 с, учиты-

вая, что МВ = АС = ВС = ОС = 0,2 м.

Задание 1.02

1.02.1.Точка движется по окружности радиусом 7 м согласно уравнению S = 0,7t2 (S − м, t – с). Определить дуговую координату точки, когда её нормальное ускорение станет равным 3 м/с2.

1.02.2.Спускаясь по склону горы, длина которого равна 128 м, лыжник движется с постоянным ускорением и за первые 5 секунд преодолевает расстояние в 50 м. Считая, что начальная скорость равна нулю, найти время спуска лыжника и его скорость в конце спуска.

14

1.02.3. Движение					точки	задано векторным уравнением
r (1 t)		(t 1)		(r − м, t – с).		Определить закон движения точки,
			j
	i
отсчитывая координату S от её начального положения.
1.02.4. Уравнения движения точки по плоской траектории имеют
вид: x 5 2sin t ,					y 3cos t	, (х, у м, t с). Найти уравнение
3					3

траектории, по которой движется точка. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда она находится на оси Ох.

1.02.5. Найти	уравнение	траектории	точки, движущейся по
закону х = 4t2 – 1,	у = 2t (х,	у м, t с).	Определить положение,

скорость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 0,5 c.

1.02.6. Точка В механизма движется согласно уравнению S = 0,6sin t (S − м, t – с). Построить положение звеньев механизма в

моменты времени t0 = 0, t1 = 1/6 с, t2 = 1/2 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме, и найти

уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М, радиус кривизны траектории в точке М при t1 = 1/6 с, если АВ = 0,6 м, АМ = 0,45 м.

Задание 1.03

1.03.1.Точка движется по закону S = 5t2 (S − м, t – с). Определить

ускорение точки при t = 1 с и радиус кривизны её траектории, если нормальное ускорение в этот момент времени равно 5 м/с2.

1.03.2.Точка, получив некоторую начальную скорость, начала двигаться равнозамедленно по окружности радиусом 10 м, расположенной в горизонтальной плоскости. За десять полных обходов по окружности скорость точки уменьшилась вдвое. Какой путь пройдёт точка до остановки?

1.03.3.Точка движется по некоторой траектории согласно закону

	S	t3		t2	1	(S − м, t – с). Определить в какой момент времени
		12		2

скорость точки достигает максимального значения.

15

1.03.4.Точка движется согласно уравнениям х = t, у = 0,5t2 – t (х,

ум, t с). Найти уравнение линии, по которой движется точка, и указать, какая её часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда её скорость параллельна оси Ох.

1.03.5.Найти уравнение траектории точки, движущейся по закону х = 3sin t2, у = 3cos t2 – 2 (х, у – м, t с). Определить поло-

жение, скорость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 0,5 c.

1.03.6. Звено ОС механизма движется согласно закону = 3 t ( − рад, t – с). Построить положение звеньев механизма в моменты

времени t0 = 0, t1 = 1/18 c и t2 = 1/6 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме, а также найти

уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М, и радиус кривизны траектории в точке М при t1 = 1/18 с,

если АС = ОС = ВС = АМ = 0,1 м.

Задание 1.04

1.04.1. Точка движется по окружности радиусом 24 м по закону S = 2t3 (S − м, t – с). Найти скорость и полное ускорение точки в момент времени, когда её нормальное и касательное ускорения равны между собой.

1.04.2.Точка, двигаясь равнозамедленно по окружности, за 0,5 с, прошла путь S = 2 м, равный половине длины окружности. Определить ускорение точки, ее касательную составляющую в конце пути, если начальная скорость точки равна 5 м/с.

1.04.3.Найти закон движения точк по криволинейной траектории, считая а const , а также ее скорость при t2 5 с, если в момент

времени t1 2 с после начала движения ( t0 0 ) точка имеет скорость V1 5 м/с.

1.04.4. Точка движется по некоторой траектории согласно уравнениям х = 3t, у = 6t – 3t2 (х, у м, t с). Найти уравнение линии

в координатной форме и указать, какая её часть является траекторией.

16

Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда её скорость параллельна оси Ох.

1.04.5. Найти уравнение траектории точки, движущейся по закону х = cos 3 t2, у = sin 3 t2 (х, у м, t с). Определить положение,

скорость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 1/3 с.

1.04.6. Точка В механизма движется согласно закону S = 0,45sin 3 t (S − м, t – с). Построить положение звеньев механизма

в моменты времени t0 = 0, t1 = 1/18 c и t2 = 1/6 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме, а также

найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и

ускорения точек А и М, и радиус кривизны траектории в точке М при t1 = 1/18 с, если АВ = 0,45 м, АМ = 0,3 м.

Задание 1.05

1.05.1. Точка движется по некоторой траектории согласно уравнению S = 0,6t2 (S − м, t – с). Найти нормальное ускорение точки

вмомент времени, когда её дуговая координата S1 = 0,3 м, а радиус кривизны траектории = 15 м.

1.05.2.При отходе от станции поезд движется равноускоренно по дуге окружности радиусом 800 м. Пройдя путь 300 м, он приобрел скорость 12 м/с. Определить время движения поезда и его ускорение

вконце этого участка пути.

1.05.3.Сколько времени продолжалось свободное падение груза, если за последнюю секунду он пролетел путь в три раза меньший, чем за все предыдущее время? Начальной скоростью пренебречь.

1.05.4.Точка движется по некоторой траектории согласно уравнениям х = 3 + 4sin t, у = 5cos t (х, у м, t с). Найти уравнение траектории, по которой движется точка. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда она находится на оси Ох.

1.05.5.Найти уравнение траектории точки, движущейся по

закону х = 6t2 + 6t, у = 6t (х, у м,

t с). Определить положение,

17

скорость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 0 c.

1.05.6. Звено ОА механизма движется согласно закону = t

( − рад, t с). Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = 1/3 c, t2 = 1/2 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме, а также найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М, и радиус кривизны траектории в точке М при t1 = 1/3 c, если

АО = 0,6 м, СМ = 1,2 м.

Задание 1.06

1.06.1. Точка движется по окружности радиусом 4 м согласно уравнению S = 0,8t2 (S − м, t – с). Определить дуговую координату

точки в момент времени, когда её нормальное ускорение равно

2,5 м/с2.

1.06.2.С вертолета, вертикально поднимающегося с постоянной скоростью 2 м/с, в некоторый момент времени сбрасывается груз. На

какой высоте находился вертолет, если свободное падение груза продолжалось 18 с? Считать g ≈ 10 м/с2.

1.06.3.Точка движется по криволинейной траектории по закону S = 10 – 5sin t (S − м, t – с). Найти скорость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие в моменты времени, когда её скорость и ускорение взаимно перпендикулярны, если радиус кривизны траектории в эти моменты равен 10 м.

1.06.4.Точка движется по некоторой траектории согласно

уравнениям x 2sin	t	,	x 2cos	t	, (х,	у м, t с). Найти уравне-
	4			4

ние траектории, по которой движется точка. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда она находится на оси Оу.

1.06.5. Найти уравнение траектории точки, движущейся по закону х = 3t + 1, у = 9t2 – 3t (х, у м, t с). Определить положение,

скорость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 0 c.

18

1.06.6. Звено СА механизма движется согласно закону = t2

( − рад, t с). Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = 1/2 с, t2 = 2/3 c. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме, а также найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М, и радиус кривизны траектории в точке М при t1 = 1/2 c, если

ОС = СА = 0,4 м, ОМ = 0,3 м.

Задание 1.07

1.07.1. Найти радиус кривизны траектории точки и её ускорение в тот момент, когда векторы скорости и ускорения совпадают по направлению. Закон движения точки по траектории имеет вид

S 5 sin 3t , (S − м, t – с), а модуль скорости в этот момент времени равен /6 м/с.

1.07.2. Найти закон движения точки по криволинейной траектории, считая аτ = const, а также ее скорость при t2, если в момент времени t1 = 3 с после начала движения (t0 = 0) точка имеет скорость V1 = 6 м/с.

1.07.3.Определить зависимость радиуса кривизны траектории от времени, если уравнения движения имеют вид: х = 2t, у = 2t.

1.07.4.Точка движется согласно уравнениям х = − 3t, у = 6t – 3t2 (х, у м, t с). Найти уравнение линии, по которой движется точка,

иуказать, какая её часть является траекторией. Определить скорость

иускорение точки в момент времени, когда её скорость параллельна оси Ох.

1.07.5.Найти уравнение траектории точки, движущейся по

	закону x 30sin	t 2	,	y 30 30cos	t 2	(х, у м, t с). Определить
		6			6

положение, скорость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 1 c.

19

1.07.6. Звено ОВ механизма движется согласно закону 3t

( − рад, t с). Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = 1 с, t2 = 3 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме, а также найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М, и радиус кривизны траектории в точке М при t1 = 1 c, если

ОВ = ВА = 2ВМ = 0,4 м.

Задание 1.08

1.08.1. Точка движется по окружности радиусом R = 2 м с нормальным ускорением, изменяющимся по закону аn = 2t4 (аn – м/с2, t – с). Найти закон движения точки по траектории, отсчитывая дуговую координату от начального положения. Определить скорость точки при t = 2 с.

1.08.2. Точка, имевшая начальную скорость V0 = 3 м/с, получила постоянное касательное ускорение, равное по модулю 1 м/с2 и направленное в сторону, противоположную V0 . Найти путь,

пройденный точкой за 10 с, и её дуговую координату S в конце десятой секунды, если S0 = 5 м.

1.08.3. Два велосипедиста начали одновременно движение с места с постоянными ускорениями а1 = 1,5 м/с2 и а2 = 0,75 м/с2. Какой из них наберёт большую скорость: первый на полукилометре или второй на километре дистанции?

1.08.4. Точка движется				по		плоской траектории согласно
уравнениям x 2sin	t	,	y	6cos	t	(х, у м, t с). Найти уравнение
	2				2

линии, по которой движется точка, и указать, какая её часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда она находится на оси Оу.

1.08.5. Найти уравнение траектории точки, движущейся по

	закону x 12cos	t 2	,	y 6sin	t 2	(х, у м, t с). Определить поло-
		4			4

20