МУ ТМ_2015 / Кинематика Тема2 (Живаго, Михайленко)

Институт машиностроения и транспорта

Кафедра теоретической механики

КИНЕМАТИКА

Практикум

Тема 2. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

		3	ω3			ε3
ε2	R2
ω		r2	R	3
2
1			r3
V 1	2	V M	аМ		аМп
х		аτ		3R4		ω
		М				4

М

4 ε4

Новокузнецк

2013

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

“Сибирский государственный индустриальный университет”

Кафедра теоретической механики

КИНЕМАТИКА

Тема 2. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Практикум для выполнения самостоятельной работы

по дисциплине “Теоретическая механика”

Новокузнецк

2013

УДК 531 (075) К41

Рецензент:

доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой теории механизмов и машин и основ конструирования СибГИУ

Л..Т. Дворников

К41 Кинематика: Практикум. / Сиб. гос. индустр. ун-т; сост.: Э.Я. Живаго, Н.И. Михайленко. – Новокузнецк: Изд. центр СибГИУ, 2013. – 31 с., ил.

Приводятся материалы для комплексной организации самостоятельной работы, в том числе методические рекомендации к решению задач по дисциплине “Теоретическая механика”, раздел “Кинематика”, излагается краткая теория, примеры решения и оформления задач, варианты заданий и ответы к ним, а также список рекомендуемой литературы.

Тема 2. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Поступательным движением твердого тела называется такое его движение, при котором прямая, проходящая через любые две точки тела, будет оставаться параллельной своему первоначальному положению во все время движения. Примерами поступательного движения служат движения кабины колеса обозрения в парке относительно земли, ступенек эскалатора относительно пола и т.п.

При поступательном движении: траектории всех точек тела конгруэнтны, т.е. одинаковы, и могут быть получены одна из другой параллельным переносом; скорости всех точек тела в каждый момент времени равны по модулю и одинаковы по направлению; ускорения всех точек тела в каждый момент времени равны по модулю и одинаковы по направлению.

Вращательным движением (или просто вращением)

твердого тела относительно неподвижной оси называется такое движение, при котором хотя бы две точки, принадлежащие телу, остаются неподвижными во время движения тела. Прямая АВ, проходящая через эти неподвижные точки называется осью вращения тела.

Точки тела, расположенные на оси вращения − неподвижны. Все остальные точки тела описывают окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры лежат на этой оси.

Положение вращающегося тела (рисунок 1) определяется углом ϕ (углом поворота тела) между двумя полуплоскостями I и II, проведенными через ось вращения. Полуплоскость I – неподвижная, полуплоскость II скреплена с вращающимся телом. Зависимость угла поворота от времени выражает закон вращательного движения тела вокруг неподвижной оси (уравнение движения)

φ = φ (t).

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения тела являются его угловая скорость ω и

угловое ускорение ε .

Вектор угловой скорости ω направлен по оси вращения в ту сторону, откуда вращение тела видно происходящим против хода часовой стрелки (рисунок 2).

	В
I	ϕ
	II
	А

ω

	ε	ω > 0,
		ε < 0.

Рисунок 1 – Вращательное	Рисунок 2 – Угловые скорость и
движение	ускорение тела

Вектор углового ускорения совпадает по направлению с вектором угловой скорости при ускоренном вращении, и противоположен при замедленном вращении.

Алгебраическое значение угловой скорости определяется как первая производная по времени от угла поворота тела. Алгебраическое значение углового ускорения равно первой производной по времени от угловой скорости или второй

	производной от угла поворота тела
		dϕ	&	ε =	dω	&	d 2ϕ	&&	2
	ω =	dt			dt		dt 2		рад/с .
			=ϕ рад/с,			=ω =		=ϕ

Если знаки ω и ε совпадают, то вращение будет ускоренным, если не совпадают – замедленным.

Алгебраическую угловую скорость ω и алгебраическое угловое ускорение ε на рисунках изображают дуговыми стрелками вокруг оси вращения. Дуговая стрелка для угловой скорости указывает направление вращения тела. При ускоренном вращении дуговые стрелки ω и ε имеют одинаковое направление, при замедленном – противоположное (рисунок 2).

В технике скорость вращения (частоту вращения) задают числом оборотов в минуту – n об/мин, а угол поворота тела – числом оборотов N за какое-то время. Зависимость между N об и ϕ рад определяется выражением ϕ = 2π N, а n об/мин и ω рад/с

ω = π30n .

Скорости и ускорения точек вращающегося тела (рисунок 3) определяются по выражениям

V = ω R, an = ω2 R, aτ = ε R, a = R ω4 + ε 2 ,

где R – кратчайшее расстояние от точки до оси вращения.

z

ωz εz

O1	a	V
h
∆φ an		aτ
		A
∆S

ω α r

ε

O

Рисунок 3 – Скорость и ускорение точки при вращательном движении тела

Преобразование простейших движений твёрдого тела

Под преобразованием простейших движений следует понимать:

а) преобразование вращательного движения одного тела в поступательное другого (и обратное преобразование);

б) преобразование вращения одного тела вокруг неподвижной оси во вращение другого тела вокруг своей неподвижной оси.

При решении задач о движении механизмов, преобразующих простейшие движения, следует пользоваться совместно формулами кинематики точки и формулами кинематики твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

Передача вращательного движения от одной машины к другой или внутри машины от одного её вала к другому осуществляется разнообразными механизмами, носящими название передач.

Передачи могут быть разделены на передачи с гибкой связью (ременную, канатную, цепную) и передачи, осуществляемые путем непосредственного соприкосновения тел (фрикционную, зубчатую).

Валы и закреплённые на них шкивы и колёса называются ведущими, если они передают движение, и ведомыми, когда они его воспринимают.

Ременные передачи. Ременные передачи передают вращение одного тела другим, когда их оси вращения параллельны. Подразделяются на открытую (рисунок 4,а) и перекрестную (рисунок 4,b).

а) ω1		b)	ω1	ω2
	2	ω2		2
1			1

Рисунок 4 – Ременная передача: а – открытая, b – перекрестная

Зубчатые передачи. Они являются одним из самых распространенных видов передаточных механизмов, в которых передача вращения осуществляется с помощью зубчатых колёс. Зубчатые пары бывают с внешним зацеплением (рисунок 5,а) и внутренним (рисунок 5,b).

Во всех колёсных парах (рисунки 4, 5) контактные точки (точки сцепления) имеют общую скорость и общее касательное ускорение, следовательно, справедливы равенства

ω1 R1 = ω2 R2,	ω1		=	R2	, ε1 R1 = ε2 R2,	ε1		=	R2	.
	ω			R		ε
		2					2		R
				1					1

Отношение угловой скорости ведущего колеса к угловой скорости ведомого колеса называется передаточным отношением (передаточным числом) механизма

u12 =	ω1		=	R2	=
				R
	ω	2
				1
a)					b)

ωω2

1

1

2

d2 . d1

2

ω2

ω1

Рисунок 5 – Зубчатые передачи: а – внешнее зацепление, b – внутреннее зацепление

Принято считать, что если не учитывать проскальзывание, то при ременной передаче (рисунок 4) точки бесконечного ремня и поверхностей шкивов также имеют одинаковые скорости и касательные ускорения, следовательно, справедливы те же соотношения.

Контрольные задания

Груз 1, подвешенный на нерастяжимой нити, намотанной на барабан 2, опускается по закону х = х(t). По заданному уравнению х = х(t) прямолинейного поступательного движения груза определить скорость и ускорение точки М механизма в момент времени, когда груз пройдет расстояние S.

Примечание − Номер варианта выбирается по сумме двух последних цифр шифра.

Методические указания

1. Уяснить физический смысл задачи и вид движения каждого тела, сделать рисунок, записать исходные данные и указать величины, подлежащие определению.

2.Определить момент времени tS, соответствующий расстоянию S, пройденному телом 1.

3.Найти скорость тела 1 и показать на рисунке.

4.Определить угловую скорость и угловое ускорение тел 2 и 3, показав их на рисунке учитывая, что угловые скорости тел обратно

пропорциональны соответствующим радиусам. Радиусы R2, R3 или r2, r3 выбираются в зависимости от схемы соединения тел 2 и 3.

5.Определить и показать на рисунке скорость, касательное, нормальное и полное ускорения точки М, принадлежащей телу 3.

Пример выполнения и оформления задачи

Исходные данные: Схема механизма (рисунок 6); R2 = 50 cм; r2 = 30 см; R3 = 60 см; r3 = 40 см; R4 = 50 см; х = 20 + 70t2 см; S = 0,4 м.

Определить: V M , аМп , аМτ , аМ .

РЕШЕНИЕ

1. Найдем момент времени tS, когда путь S, пройденный грузом 1, равен 40 см

S = x

− x

t =

0

= 70 t 2 ,

t =ts

s

откуда t s =

S =

40 = 0,76

c.

70

70

2. Определяем скорость груза:

V1 =

dx

=140 t ,

dt

при t = tS = 0,76 с, V1 = 106,4 см/с.

3. Определяем угловую скорость и угловое ускорение тела 2

ω2 =

V1

=

140 t

= 4,67 t ,

r2

30

d ω2

при t = tS = 0,76 с, ω2 = 3,55 рад/с,

ε2

=

=

4,67

2

рад/с .

dt

Так как ε2 не зависит от t, то вращение тела 2 является равноускоренным.

4. Определяем угловую скорость и угловое ускорение тела 3.

Так как ω	3	R = ω	2	R , то ω	3	=	R2	ω	2	=	50	4,67 t = 3,89 t рад/с,
		3		2			R3			60

ε3 = ddωt3 = 3,89 рад/с2, при t = tS, ω3 = 2,94 рад/с.

5. Определяем угловую скорость и угловое ускорение тела 4.

Так как ω

4

R

=ω

3

r , то ω

4

=

r3

ω

3

=

40

3,89 t = 3,11t

рад/с,

4

3

R4

50

dω4

ε4 =

= 3,11рад/с2, при t = tS, ω4 = 2,36 рад/с.

dt

		3	ω3			ε3
ε2	R2
ω		r2	R	3
2
1			r3
V 1	2	V M	аМ		аМп
х		аτ		3R4		ω
		М				4

М

4 ε4

Рисунок 6 – Схема механизма

6. Определяем скорость и ускорения точки М:

VM = ω4·r4 = 1,18 м/с, aτM = ε4 r4 = 1,56 м/с2,

a Mn = ω42 r3 = 2,78 м/с2,

a	M	= r	ε2	+ ω4	= 3,19 м/с2.
		4	4	4

Направления всех найденных кинематических характеристик показаны на рисунке 6.