МУ ТМ_2015 / Кинематика Т.1 (Живаго, Желтухин, Ермаченко)

Задание 1.19

1.19.1.Точка движется по криволинейной траектории согласно уравнению S = 5t – 0,5t2 (S − м, t – с). Определить время t1, когда её нормальное ускорение станет равным нулю. Чему в этот момент времени равно ускорение точки?

1.19.2.Точка, двигаясь по окружности радиусом 1 м равноускоренно без начальной скорости, проходит всю окружность 10 раз за 2 минуты. Найти скорость и ускорение точки после того, как она прошла окружность 5 раз с начала движения.

1.19.3.Конькобежец, двигаясь равномерно по беговой дорожке стадиона, проходит путь длиной 1000 м за 1 мин 15 с. Дорожка состоит из двух прямолинейных и двух криволинейных участков, имеющих вид полуокружностей радиусом 30 м. Определить наибольшее и наименьшее по величине ускорения конькобежца.

1.19.4. Точка движется согласно уравнениям х = 2t, у = 4t(1 – t) (х, у м, t с). Найти уравнение линии, по которой движется точка, и указать, какая её часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда точка находится в наивысшем положении на траектории.

1.19.5. Найти уравнение траектории точки, движущейся по закону х = 16sin 3 t2, у = 16cos 3 t2 (х, у м, t с). Определить поло-

жение, скорость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 1/3 с.

1.19.6. Звено ОВ механизма движется согласно закону = t

( − рад, t с). Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = 1/3 c, t2 = 1 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме и найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М, а также радиус кривизны траектории в точке М при t1 = 1/3 c, если

ОВ = АВ = СВ = СМ = 0,12 м.

Задание 1.20

1.20.1. Точка движется по закону S = 0,5t3 – 0,3t2 (S − м, t – с). Определить радиус кривизны траектории точки и её полное

31

ускорение в тот момент времени, когда вектор скорости, равный по модулю 0,9 м/с, составляет с вектором ускорения угол 60°.

1.20.2.Точка движется по окружности радиусом 2 м равнозамедленно с начальной скоростью 100 м/с. Определить промежуток времени, за который модуль нормального ускорения станет в 4 раза меньше его первоначального значения, и путь, пройденный точкой с начала движения до остановки, если она двигалась 10 секунд.

1.20.3.Точка движется по окружности радиусом R = 0,8 м по уравнению S = 0,16t3 (S − м, t – с). Определить скорость и ускорение

	точки		в		момент	времени,	когда	её	нормальное	ускорение
	аn = 0,288 м/с2.
	1.20.4. Точка движется						в плоскости		согласно	уравнениям
	x	1,5		,	y 1 2t	(х, у м,	t с).	Найти	уравнение	линии, по
		t 1

которой движется точка, и указать, какая её часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда она находится на оси Ох.

1.20.5. Найти уравнение траектории точки, движущейся по закону у = 9 – 18cos t, х = 18sin t (х, у м, t с). Определить положение, скорость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = /3 с.

1.20.6. Точка В механизма движется согласно закону S 0,8 3t

(S − м, t – с). Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = 1 с, t2 = 3 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме, а также найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М, и радиус кривизны траектории в точке М при t1 = 1 с, если

АВ = АМ = 0,8 м.

32

Задание 1.21

1.21.1. Точка движется по закону S 40sin 4t 30 (S − м, t – с).

Найти радиус кривизны траектории и ускорение точки в момент, когда вектор скорости, модуль которого равен 5 м/с, составляет с вектором ускорения угол 30°.

1.21.2.Точка, двигаясь по окружности равнозамедленно с начальной скоростью 10 м/с, остановилась, пройдя дважды всю окружность. Найти скорость и ускорение точки в середине пути, если радиус окружности равен 7 м.

1.21.3.Камень брошен вертикально вверх с начальной скоростью

34,3 м/с. Определить его скорость на высоте 29,4 м. Сопротивлением воздуха пренебречь. (g = 9,8 м/с2).

1.21.4.Точка движется в плоскости Oxy согласно уравнениям

x 1 2sin	t	,	y 1 cos	t	(х, у м, t с). Найти уравнение траек-
	6			6

тории, по которой движется точка. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда её скорость параллельна оси Оу.

1.21.5. Найти уравнение	траектории	точки, движущейся по
закону х = 4t, у = 4t2 – 3t (х,	у м, t с).	Определить положение,

скорость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 0 c.

1.21.6. Звено ОВ механизма движется согласно закону	t
	3

( − рад, t с). Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = 1 c, t2 = 3 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме и найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М, а также радиус кривизны траектории в точке М при t1 = 1 c, если

ОВ = АВ = 6ВМ = 1,2 м.

33

Задание 1.22

1.22.1. Точка движется согласно закону S = 0,2t2 + 0,6 (S − м, t – с). Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда угол между ними равен 30°, а радиус кривизны траектории

3 3 м.

1.22.2. Точка движется по окружности равноускоренно без начальной скорости. Через 10 с после начала движения ускорение точки достигает значения 2 м/с2. Определить скорость точки и угол между её скоростью и ускорением в указанный момент времени, если радиус окружности равен 20 м.

1.22.3. . С высоты h = 1500 м без начальной скорости падает тело А. Спустя 10 с с высоты Н = 2000 м брошено вниз с начальной скоростью V0 тело В. При какой начальной скорости V0 тела В оба тела достигнут поверхности земли одновременно.

1.22.4. Точка движется в плоскости Oxy согласно уравнениям

x cos	t	,	y 3cos	t	(х, у м,	t с). Найти уравнение траектории,
	4			4

по которой движется точка. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда она находится на оси Оу.

1.22.5. Найти уравнение траектории точки, движущейся по

	закону x 4sin	3 t 2	,	y 4cos	3 t 2	(х, у м, t с). Определить поло-
		2			2

жение, скорость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 1/3 с.

1.22.6. Точка В		плоского механизма	движется	по закону
S 0,4sin	t (S − м, t – с). Построить положение звеньев механизма в
	3	t0 = 0, t1 = 1 с, t2 = 3 с.	Написать	уравнения
моменты	времени

движения точек А и М механизма в координатной форме и найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М, а также радиус кривизны траектории в точке М при t1 = 1 с, если АВ = 4ВМ = 0,4 м.

34

Задание 1.23

1.23.1 Точка движется согласно закону S = 5t2 t (S − м, t – с). Определить скорость, ускорение и радиус кривизны траектории в момент времени t = 1 с, когда нормальное ускорение точки равно

9м/с2.

1.23.2.Точка движется прямолинейно с начальной скоростью V0 = 10 м/с и постоянным ускорением а = 2 м/с2, причём вектор ускорения направлен противоположноV0 . Определить время, по

истечении которого величина скорости достигнет значения 20 м/с, и расстояние, пройденное точкой за это время.

1.23.3. Точка движется в плоскости с постоянной по величине

	скоростью V0	= 5	м/с по траектории, уравнение которой	х2		у2	1
				32		22

(х, у м). Найти наименьшее по величине ускорение точки, если радиусы кривизны в вершинах эллипса с полуосями a, b

	определяются формулами: 1				b2	, 2	a2	.
					a		b
	1.23.4. Точка	движется	в	плоскости Oxy согласно уравнениям
	x 4 cos t , y 3 2sin t		(х, у м, t с). Найти уравнение траек-
	4	4

тории, по которой движется точка. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда её скорость параллельна оси Оу.

1.23.5.Найти уравнение траектории точки, движущейся по закону

х= 3sin t, у = 5cos 2 t (х, у м, t с). Определить положение,

скорость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 1/6 с.

1.23.6. Точка			В	плоского механизма движется по закону
S cos	t	(S − м,	t –	с). Построить положение звеньев механизма в
	12

моменты времени t0 = 0, t1 = 4 с, t2 = 12 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме и найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения

35

точек А и М, а также радиус кривизны траектории в точке М при t1 = 4 с, если АВ = АМ = 1 м.

Задание 1.24

1.24.1.Точка движется по закону S = 10t3 – 20t2 – 80t (S − м, t – с) Найти скорость и ускорение точки в момент времени, когда она вернётся в начальное положение, если в этом месте траектории радиус кривизны равен 20 м.

1.24.2.Точка, совершая равнозамедленное движение, проходит до остановки путь, равный 20 м, за 10 секунд. Определить начальную скорость точки, а также её скорость на середине пройденной дистанции.

1.24.3. От самолёта, летящего со скоростью 300 км/ч на высоте 4 км, в некоторый момент времени отделяется груз и падает с ускорением g = 9,8 м/с2. Определить дальность и время падения груза

	на землю.
	1.24.4. Точка движется				в плоскости Oxy согласно уравнениям
	х = 4t – 4, y	4		(х, у	м, t с). Найти уравнение линии, по
		t 1

которой движется точка, и указать, какая её часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда она находится на оси Оу.

1.24.5.Найти уравнение траектории точки, движущейся по закону

х= 6sin 2 t, у = 12cos 2 t (х, у м, t с). Определить положение,

скорость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 1/6 с.

1.24.6. Звено ОА механизма движется согласно закону	t
	12

( − рад, t с). Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = 2 c, t2 = 3 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме и найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М, а также радиус кривизны траектории в точке М при t1 = 2 c, если ОМ = 0,4 м, l = 0,6 м.

36

Задание 1.25

1.25.1. Точка движется по окружности радиусом 48 м по закону S = 4t3 (S − м, t – с). Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда модули касательного и нормального ускорений равны между собой.

1.25.2. Точка движется равнопеременно по произвольной траектории без начальной скорости. За время движения t1 = 2 с точка приобрела скорость V1 = 10 м/с, а в момент времени t2 скорость стала V2 = 40 м/с. Определить расстояние, пройденное точкой за промежуток времени ∆t = t2 – t1.

1.25.3. С высоты h = 1000 м без начальной скорости падает тело А. Спустя 5 с с высоты Н = 1500 м брошено вниз с начальной скоростью V0 тело В. При какой начальной скорости V0 тела В оба тела достигнут поверхности земли одновременно.

1.25.4. Точка движется согласно уравнениям х = 9,8t, у = 4,9(2 – t2) (х, у м, t с). Найти уравнение линии, по которой движется точка, и указать, какая её часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда она занимает наивысшее положение на траектории.

1.25.5. Найти уравнение траектории точки, движущейся по закону х = 40cos t2, у = 40sin t2 (х, у м, t с). Определить положе-

ние, скорость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 1/2 с.

1.25.6. Звено ОВ механизма движется согласно закону	t
	4

( − рад, t с). Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = 2/3 c, t2 = 2 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме и найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М, а также ра-диус кривизны траектории в точке М при t1 = 2/3 c, если

ОВ = СВ = АВ = АМ = 0,6 м.

37

		Рисунки к задачам 1.01.6 – 1.25.6
	1.			2.
	М	у			у
		В		А
		С			М
			А			х
	О		х	О	S
						В
	3.			4.
			М	у
	О		у	А
			А
					М
		С
		В		О		х
					S
	х					В
	5.			6.
		О	у	О	С	у
			А

	С	М
		А
М	х	х

38

7.	8.
у	О
	В

	М
	х	М	А
О			х
	А

9.

10.

х	А
М	х
А	В
	М

			l
у		О
11.				12.
у					у
						А
А
	М				С
О	S		х
		В			О
13.				14.
х	С		О		у	В
						М
	А			О
М
			у
В

у

В

О

S

В

у

В

М

х

Ах

39

15.		16.
S		у
х		М
	О
В		А
М

				А		О		х
							S
				у				В
17.					18.
				М	х			О
О				у
			А			В
							М	А
	х	В						у
19.					20.
			у	М			S	у
						О
			С					В
		В			М		А
А
			О
				х			х
21.					22.
		у						S
		В	М			х	В	О
								М
	О		А	х				А
								у

40