МУ ТМ_2015 / Кинематика Т.1 (Живаго, Желтухин, Ермаченко)

жение, скорость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 2 c.

1.08.6. Звено ОВ механизма движется согласно закону	t
	6

( − рад, t с). Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = 1 c, t2 = 3 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме, а также найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М, и радиус кривизны траектории в точке М при t1 = 1 c, если

ОВ = АВ = АМ = 0,2 м.

Задание 1.09

1.09.1.Точка движется по некоторой траектории согласно закону S = 0,5t3 (S − м, t – с). Как должен меняться радиус кривизны траектории в функции времени движения по ней точки, чтобы в любом месте траектории касательное и нормальное ускорения были по модулю равны?

1.09.2.Поезд, двигаясь по закруглению равноускоренно, приобретает через 3 мин после отхода от станции скорость 54 км/ч. Определить ускорение поезда через 2 мин после отхода от станции, если радиус закругления равен 500 м.

1.09.3.Через 2 секунды после падения камня в колодец был услышан плеск воды. Определить глубину колодца, если скорость звука равна 330 м/с.

1.09.4. Точка движется по некоторой траектории согласно

	уравнениям x 2t, y	2		(х, у м, t с). Найти уравнение линии,
		t 1

по которой движется точка, и указать, какая её часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда она находится на оси Оу.

1.09.5. Найти уравнение траектории точки, движущейся в плос-

кости по закону x 6sin	t	,	y 8cos	t	, (х,	у м, t с). Определить
	2			2

21

положение, скорость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 1 c.

1.09.6. Звено ОМ механизма движется согласно закону	t
	12

( − рад, t с). Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = 2 c, t2 = 3 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме и найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М, и радиус кривизны траектории в точке М при t1 = 2 c, ес-ли ОМ = 2l = 1 м.

Задание 1.10

1.10.1. Точка движется по окружности радиусом R = 50 м со скоростью V = 2t (V – м/с, t – с). Найти ускорение точки в момент времени t = 5 с и закон её движения по траектории, если S0 = 0.

1.10.2.Торможение поезда, движущегося со скоростью 36 км/ч, начинается за 200 м до остановки. Считая движение равнопеременным, найти время торможения и касательное ускорение поезда.

1.10.3.Определить зависимость радиуса кривизны траектории от времени, если уравнения движения точки имеют вид: x = 4t, y = t2.

1.10.4.Точка движется по плоской траектории согласно уравнениям х = cos 2πt, у = 2sin πt + 2 (х, у м, t с). Найти уравнение линии, по которой движется точка, и указать, какая её часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда её скорость параллельна оси Оу.

1.10.5.Найти уравнение траектории точки, движущейся в плос-

	кости по закону x 6sin	t 2	,	y 6 6cos	t 2	(х, у м, t с). Опре-
		4			4

делить положение, скорость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 1 c.

1.10.6. Точка В механизма движется согласно закону S = 0,6cos t (S − м, t – с). Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = 1/6 с и t2 = 1/2 c. Написать уравнения движения

22

точек А и М механизма в координатной форме, а также найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М, и радиус кривизны траектории в точке М при t1 = 1/6 с, если АВ = 3АМ = 0,6 м.

Задание 1.11

1.11.1. Точка движется по окружности радиусом 4 м по закону S = 4t + 4t2 (S − м, t – с). Найти скорость и ускорение точки в момент времени, когда угол между их векторами равен 45°.

1.11.2.Точка движется равноускоренно из состояния покоя по

окружности радиусом 5 м. Через 2 с её нормальное ускорение достигло значения 9,8 м/с2. Найти путь, пройденный точкой за 4 с после начала движения.

1.11.3.Два автомобиля, находящиеся в исходный момент времени на расстоянии 1200 м, движутся навстречу друг другу.

Первый с	ускорением		а1 = 0,2 м/с2,		а	второй с	замедлением
а2 = 0,3 м/с2.	Какова	должна		быть	начальная скорость второго
автомобиля, чтобы в момент встречи он остановился, если первый
автомобиль имел начальную скорость 80 км/ч?
1.11.4. Точка движется в				плоскости		Oxy согласно	уравнениям
х = 4t2 – 4t + 1, у = 2t		(х,	у м, t с). Найти уравнение линии, по

которой движется точка, и указать, какая её часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда её скорость параллельна оси Оу.

	1.11.5. Найти			уравнение	траектории точки, движущейся по
	закону	x 6sin	t 2	, y 6cos	t 2	(х, у м, t с). Определить поло-
			6		6

жение, скорость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 1 c.

1.11.6. Точка В механизма движется согласно закону S = 0,8cos t (S − м, t – с). Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = 1/3 с, t2 = 1/2 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме, а также найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М,

23

и радиус кривизны траектории в точке М при t1 = 1/3 с, если

АВ = 4АМ = 0,8 м.

Задание 1.12

1.12.1.Точка движется по закону S = t3 (S − м, t – с). Найти ускорение точки и радиус кривизны её траектории в момент времени, когда вектор скорости, равный по модулю 12 м/с, составляет с вектором ускорения угол 60°.

1.12.2.Точка движется по окружности радиусом 1 м равноускоренно из состояния покоя и проходит всю окружность за 10 с. Определить скорость и ускорение точки в конце этого промежутка времени.

1.12.3.Из аэростата, поднимающегося вертикально с ускорением 1 м/с2, когда его скорость равнялась 10 м/с, а высота 150 м, был сброшен груз. Через какое время груз упадет на землю?

1.12.4.Точка движется по некоторой траектории согласно уравнениям x 3cos t, y 3sin t (х, у м, t с). Найти уравнение

линии, по которой движется точка, и указать, какая её часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда её скорость параллельна оси Оу.

1.12.5. Найти уравнение траектории точки, движущейся в плос-

кости по закону x 3 12sin	t	,	y 6cos	t	(х, у м, t с). Опреде-
	6			6

лить положение, скорость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 1 c.

1.12.6. Звено СА механизма движется согласно закону t

4

( − рад, t с). Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = 2/3 c, t2 = 2 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в коор-динатной форме, а также найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М, и радиус кривизны траектории в точке М при t1 = 2/3 c, если

ОВ = 4ВМ = 2ОС = 2АС = 1,2 м.

24

Задание 1.13

1.13.1. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности

радиусом 2 м, равноап 4cos	t	, (аn – м/c2, t – с). Найти закон
	4

движения точки по траектории, отсчитывая дуговую координату от начального положения. Определить модуль скорости и ускорения точки через 1 с после начала движения.

1.13.2. Ракета после вертикальног старта с поверхности Земли движется равноускоренно, и в конце активного участка траектории достигла высоты 30 км, имея скорость 7200 км/час. Считая дальнейшее движение ракеты равнозамедленным с ускорением, равным по модулю 9,2 м/с2, определить полную высоту подъёма ракеты и время движения с момента старта до наивысшей точки.

1.13.3.Считая движение снаряда в канале ствола равноускоренным, определить изменение его скорости при вылете из ствола, если ствол укоротить в 4 раза.

1.13.4.Точка движется по некоторой траектории согласно

	уравнениям x	3		,	y 3t (х,	у м, t с). Найти уравнение линии,
		t 1

по которой движется точка, и указать, какая её часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда она находится на оси Ох.

1.13.5. Найти уравнение траектории точки, движущейся по зако-

ну x 4 2cos	t	,	y 3 4cos	t	(х,	у м, t с). Определить поло-
	2			2

жение, скорость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = ⅓ с.

1.13.6. Звено СА механизма движется согласно закону	t
	3

( − рад, t с). Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = 1 c, t2 = 2 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме, а также найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М,

25

и радиус кривизны траектории в точке М при t1 = 1 c, если

ОВ = 6ВМ = 1,2 м, АС = ОС = 0,5 м.

Задание 1.14

1.14.1.По окружности радиусом R 3 3 м движется точка, имея скорость V = 3t (V – м/с, t – с). Определить угол между векторами скорости и ускорения точки в момент времени t = 1 с.

1.14.2.Поезд, имея начальную скорость 54 км/ч, прошёл 600 м в первые 30 с. Считая движение равнопеременным, найти скорость и ускорение поезда в конце 30-й секунды, если движение происходит по закруглению радиусом 1 км.

1.14.3.Точка движется по окружности радиусом R = 150 м, с касательным ускорением аτ = 6 м/с2. Определить угол между векторами скорости и ускорения точки в момент времени, когда её скорость V = 30 м/с.

1.14.4.Точка движется по некоторой траектории согласно

уравнениям x 2sin	t	,	y cos	t	(х,	у м, t с). Найти уравнение
	2			2

линии, по которой движется точка, и указать, какая её часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда она находится на оси Оу.

1.14.5. Найти уравнение траектории точки, движущейся по закону х = 4t + 1, у = 2t2 (х, у м, t с). Определить положение,

скорость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 1 c.

1.14.6. Звено ОВ механизма движется согласно закону	t
	4

( − рад, t с). Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = ⅔ c, t2 = 4 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме, а также найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М, радиус кривизны траектории в точке М при t1 = ⅔ c, если

ОВ = ВА = 4ВМ = 0,6 м.

26

1.16.1. Точка движется

Задание 1.16

АВ = 4ВМ = 0,4 м.

Задание 1.15

1.15.1.Найти скорость, ускорение, его касательную и нормальную составляющие при движении точки по криволинейной траектории по закону S 5sin t (S − м, t – с) в моменты времени, когда векторы скорости и ускорения точки взаимно перпендикулярны. Радиус кривизны траектории равен 0,25 м.

1.15.2.Точка движется по окружности равноускоренно из состояния покоя. Определить отношение ускорения точки после того, как она обойдёт всю окружность 5 раз, к её ускорению после первого обхода.

1.15.3.Две точки движутся по одной и той же окружности в одну сторону согласно уравнениям S1 = 8 + 2t2, S2 = t (S – см, t – с). Начало отсчета дуговых координат выбрано в одной точке окружности. Определить отношение ускорений точек через 2 с после начала движения, если радиус окружности равен 16 см.

1.15.4.Точка движется по плоской траектории согласно уравнениям х = 2cos t, у = cos 2 t (x, y – м, t – с). Найти уравнение траектории, по которой движется точка. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда она находится на оси Оу.

1.15.5.Найти уравнение траектории точки, движущейся по закону х = 6cos t2, у = 8 – 6sin t2 (х, у м, t с). Определить поло-

жение, скорость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 0,5 c.

1.15.6. Точка В механизма движется согласно закону S = 0,4sin t (S − м, t – с). Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = ¾ с, t2 = 2 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме, а также найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М, и радиус кривизны траектории в точке М при t1 = ¾ с, если

по окружности радиусом 32 м согласно уравнению S = 1,6t4 (S − м, t – с). Определить скорость и ускорение

27

точки в момент времени, когда радиус окружности, соединяющий её центр с точкой, опишет угол, равный 5 /4 радиан.

1.16.2.С какой высоты совершил затяжной прыжок парашютист, если за две секунды до раскрытия парашюта он имел скорость в 10 раз большую, чем спустя две секунды после отделения от вертолета? Сопротивление воздуха и начальную скорость парашютиста не учитывать. Парашют был раскрыт на высоте 800 м.

1.16.3.Две точки движутся по одной окуружности в одну сторону

согласно уравнениям S1 = 5 + 2t2 , S2 = t (S – cм, t – с). Начало отсчета дуговых координат выбрано в одной точке окружности. Определить

отношение ускорений точек через 5 с после начала движения, если радиус окружности равен 20 см.

Точка совершает криволинейное движение так, что величина её скорости в зависимости от времени выражается уравнением V = ln(1 + t) (V – м/с, t – с). Найти зависимость между касательным ускорением точки и её скоростью.

1.16.4. Точка движется по траектории согласно уравнениям х = 4t2 – 1, у = 2t (х, у м, t с). Найти уравнение линии, по которой

движется точка, и указать, какая её часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда она находится на оси Оу.

1.16.5. Найти уравнение траектории точки, движущейся по закону х = 4sin 2πt, у = 4cos 2 t (х, у м, t с). Определить положение, скорость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 1/6 с.

1.16.6. Точка В механизма движется согласно закону S = 0,8sin 2 t (S − м, t – с). Построить положение звеньев механизма в

моменты времени t0 = 0, t1 = 1/6 с, t2 = 1/4 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме, а также

найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и

ускорения точек А и М, и радиус кривизны траектории в точке М при t1 = 1/6 с, если АВ = 0,8 м, ВМ = 1,2 м.

28

Задание 1.17

1.17.1. Точка движется по криволинейной траектории. Найти закон движения точки по траектории, отсчитывая дуговую координату S от начального положения, если величина касательного ускорения изменяется по закону аτ = 20sin 2t (а − м/с2, t – с), а начальная скорость равна нулю.

1.17.2.Точка движется равноускоренно без начальной скорости

по криволинейной траектории. Определить через какой промежуток времени ускорение точки достигнет значения 5 м/с2, а его касательная

инормальная составляющие станут равными по модулю. Найти расстояние, пройденное точкой за это время, если радиус кривизны траектории равен 1 м.

1.17.3.Точка движется с ускорением a 2i 2 j из начала координат, имея начальную скорость V0 3i , где i , j − орты декар-

товой системы координат. Найти уравнение траектории и величину минимальной скорости точки.

	1.17.4. Точка движется согласно уравнениям х = 2t, y	2
		t 1

(х, у м, t с). Найти уравнение линии, по которой движется точка, и указать, какая её часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда она находится на оси Оу.

1.17.5. Найти уравнение траектории точки, движущейся по

закону	x 4cos	t	1,	y 4sin	t	(х, у м,	t с). Определить поло-
		4			4

жение, скорость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 2/3 с.

1.17.6. Звено ОВ механизма движется согласно закону	t
	12

( − рад, t с). Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = 2 c, t2 = 4 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме, а также найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М,

29

и радиус кривизны траектории в точке М при t1 = 2 c, если

ОВ = АВ = АМ = 0,6 м.

Задание 1.18

1.18.1. Точка движется по окружности радиусом 40 м по закону S = t3 + 2t2 + 3t (S − м, t – с). Определить нормальное ускорение точки

вмомент времени, когда её касательное ускорение равно 16 м/с2.

1.18.2.Точка движется равномерно и прямолинейно со скоростью 10 м/с, а через 3 секунды после начала движения начинает двигаться равнозамедленно, и проходит до остановки 100 м. Найти общее время движения точки и расстояние, пройденное за это время.

1.18.3.Точка движется с постоянной по величине скоростью в плоскости Оху. Вектор скорости V образует с осью Ох переменный

угол = 2t ( – рад, t – с). Определить траекторию точки и величину её ускорения, если в начальный момент времени точка находилась в начале координат, и V0 = 2 м/с.

1.18.4. Точка движется по некоторой траектории согласно уравнениям х = 2t2 – 4t, у = 4t (х, у м, t с). Найти уравнение линии,

по которой движется точка, и указать, какая её часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда её скорость параллельна оси Оу.

1.18.5. Найти		уравнение траектории				точки, движущейся по
закону x 4cos	t	1,	y 4sin	t	(х, у м,	t с). Определить поло-
	4			4

жение, скорость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 1 c.

1.18.6. Звено ОВ механизма движется согласно закону	t
	2

( − рад, t с). Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = 2/3 c, t2 = 2 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме, а также найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М, и радиус кривизны траектории в точке М при t1 = ⅔ c, если

ОВ = АВ = 5ВМ = 1 м.

30