i-808190579

Type – тип приближения (модели);

DFE – число степеней свободы, т.е. разность между числом данных

ипараметров модели.

# Coeff – число коэффициентов в параметрической модели.

Доверительные интервалы и полосы.

При подборе параметров в приложении cftool вычисляются довери-

тельные интервалы для найденных значений параметров модели, соответствующие некоторому заданному уровню вероятности (по умолчанию он равен 95%). Границы доверительных интервалов для параметров выводятся в область вывода Results диалогового окна Fitting.

Доверительные интервалы для параметров модели вычисляются по следующей формуле

C b t S ,

где b – найденные значения параметров, t – обратная функция для функции распределения Стьюдента, S – вектор из диагональных элементов матрицы

Sv X T X , где X – матрица плана, Sv – среднеквадратичная ошибка.

Границы доверительных полос, соответствующих различным уровням вероятности, могут быть построены как для данных, так и для приближения.

Для построения доверительной полосы для данных следует установить нужный уровень вероятности, выбрав в меню View основного окна приложения пункт Confidence Level и задав в подменю нужный уровень вероятности, а затем выбрать в меню View пункт Prediction Bounds.

Сглаживание и фильтрация данных.

Если данные сильно зашумлены, то имеет смысл произвести их сглаживание. Однако следует иметь ввиду, что сглаживание данных, приводит к тому, что предпосылка МРА относительно нормального распределения ошибки не будет выполняться. Поэтому сглаживание обычно применяется для получения информации о возможном выборе типа параметрической модели, а сам процесс подбора параметров параметрической модели проводят для исходных (несглаженных) данных.

61

Приложение 2

Тестовый пример в системе Mathcad

1. Моделирование пассивного эксперимента
N 100	W 10	U0 1	mu W u W	q 0.05
u1 rnorm(N mu u )
u2 runif(N W W)		- входные воздейс твия
a ( 10 2	3 0.2	0.4)T

n 4 F a0 U0 a1 u1 a2 u2 a3 u12 a4 u2-2модель объекта

v W 10

V rnorm(N 0 v ) - помеха

Y F V - наблюдения выходной переменной

2. Матрица наблюдения входных переменных X и вектор наблюдения выходной переменной Y

X

for i 0 N 1

j 0

while j n

xi j U0

j j 1

xi j u1i

j j 1

xi j u2i

j j 1

x

u1 2

i j

i

j j 1

x

u2 2

i j

i

j j 1

x

M XT X

C M 1

a1 C XT Y

Вектор оценок коэффициентов

11.885

10

2.02

2

a1

3.034

a

3

0.207

0.2

0.349

0.4

62

Y1 a1T XT

Остаточная дисперсия

1

N 1

T

2

SSv

Yi

Y1

i

SSv 95.221

Sv

SSv 9.758

N

n

i 1

Статистический анализ полученных результатов

1) проверка значимос ти вс ех оценок коэффициентов модели

T

M (a1

0)

Fnab

a1

0

Fnab 758.153

F

qF(1 q n 1 N n) 2.309

(n 1) SSv

kr

Fnab Fkr

,

то вс е коэффициенты значимы

2) проверка значимос ти каждой оценки

j 0 n

6.401

a1j 0

tnab

13.968

t

qt

1

q

N n 1.985

tnab

17.036

kr

j

SSv

Cj j

2

34.237

9.722

3) интервальная оценка выходной переменной

( m1 m2)		for j 0 N n
			for i 0 n
			x0 i Xj i
			m1j Y10	j	1.96 Sv
			m2j Y10	j	1.96 Sv
		( m1 m2)

4) оценка работос пос обнос ти модели

x C xT

x C xT

Ys mean(Y) 43.275					SSy Var(Y) 1.847 103		Sy
								SSy	42.974
F1nab	SSy	19.395			F1	qF(1 q N 1 N n) 1.398
	SSv				kr
			F1nab
			F1kr
3. Стандартные функции регрессии Mathcad
i 0 N 1			j 0 n 1			XM i j Xi j 1
						63

Матрица наблюдения Х без с вободного члена

aM regress (XM Y 1)

Матрица наблюдения Х с о с вободным членом

aM1 regress (X Y 1)

		10			11.885
		2				2.02
a		3		a1		3.034
		0.2				0.207
		0.4				0.349

					3
		3			3		1 - с тепень
		3			1			полинома
		1			0
		2.02					a
				aM1	2.02			1
	aM
							a
		3.034						2
					3.034
		0.207					a
					0.207			3
		0.349			0.349		а	4
		11.885
					11.885		a	0

4. Графическое представление результатов

u1max max(u1) 40.482

u2max max(u2) 9.9

u1min floor(min(u1)) 20

u2min floor(min(u2)) 10

u1max u1min

u2max u2min

u1 ceil

3

u2 ceil

1

30

30

u u1min u1min u1 u1max 1

ux u2min u2min u2 u2max 1

1

u

T

ux

YP(u ux) a1

2

u

2

ux

300				80
200				60
YP(u 3)				YP(3 ux)40
100				20
0				0	5
20	0	20	40	10		0	5	10
		u				ux
	Рис . 3.1. Уравнение регрес с ии и поле регрес с ии

5. РМНК
i 0 N 1	j 0 n	1015 - большое чис ло
		64

Si 0

- начальное значение

I identity(n 1)

- единичная матрица

x XT

( b S )

C0 I

b

0

( 0

0

0

0

0 )T

S0 0

for

K 1 N 1

K

K

Z

T

C

1

x

x

K 1

e

Y

b

K 1

T x K

K

C

x K

bK bK 1

(K 1)

e

Z

K

K

T

C

x

x

C

CK CK 1

K 1

K 1

Z

S

S

e2

K

K 1

Z

( b

S )

12.438

10

2.06

2

S

1

Sv

N

N 1

b

3.047

a

3

Sv

9.391

N 1

0.2

0.208

i 1 N 1

0.341

0.4

20

1

a0

10

a1

0

20

40

60

80

1

00

1

bi

0

bi

1

0

20

40

60

80

1

00

2

10

3

i

i

^

Рис . 3.2. Изменения оценок параметровb j (k ), k 1,2,...

65

Приложение 3

Тестовый пример регрессии в приложении cftool

clc;clear;close all; W=10; N=100;

x = random('Normal',W,W,1,N); V = normrnd(0,W,N,1);

a = [5 -2 -1];

Q = a(1)+a(2)*x+a(3)*power(x,2); Y = Q+V';

% plot(x,Y,'.g')

66

Приложение 4

Тестовый пример регрессии в пакете Statistics Toolbox

clc;clear;close all;

% Модель объекта%---------------------------------------------------

W = 10; N=100;

a=[10 -2 -3 0.2 0.4]; U1=normrnd(W,W,N,1);

U2=unifrnd(-W,W,N,1);%реализация входного воздействия

F=a(1)+a(2)*U1+a(3)*U2+a(4)*power(U1,2)+a(5)*power(U2,2);

n=4;

U3=power(U1,2);

U4=power(U2,2);

x=zeros(N,n); for i=1:N

j=1;

while j<=n x(i,j)=1; j=j+1; x(i,j)=U1(i); j=j+1; x(i,j)=U2(i); j=j+1; x(i,j)=U3(i); j=j+1; x(i,j)=U4(i); j=j+1;

end

end

%1.моделирование пассивного эксперимента:

V=normrnd(0,W,N,1);%помеха

Y=F+V;%результаты эксперимента (наблюдения выходной переменной) %3. Стандартная функция регрессии Matlab

[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,x);

disp('Оценка параметров b=');disp(b');disp('a=');disp(a);disp('в-инервал'); disp(bint');disp('stats');disp(stats);

stepwise(x,Y);

Оценка параметров b=

10.5391 -1.9022 -3.1870 0.1937 0.3786

a=

10.0000 -2.0000 -3.0000 0.2000 0.4000

в-инервал

6.8682 -2.1992 -3.5246 0.1841 0.3103

14.2100 -1.6052 -2.8494 0.2033 0.4470

stats

0.9728 848.5599 0.0000 94.7275

67

Продолжение прил. 4

68

Приложение 5

Тестовый пример нелинейной регрессии

clc;clear;close all; % Модель объекта

W=10; N=100;

a = [1 1 2 0.5]; x=1+W*rand(1,N); v=1+0.1*rand(1,N);

f=(a(1)+a(2)*x)./(a(3)*x+a(4)*power(x,2)); Y=f+v;

modelfun = @(b,x)(b(1)+b(2)*x)./(b(3)*x+b(4)*power(x,2)); b0 = [1 1 1 1];

b1 = nlinfit(x,Y,modelfun,b0)

b1 =

1.1551 2.2437 1.7962 0.0156

69

Приложение 6

Тестовый пример регрессии в графическом окне

clc;clear;close all; W=10; N=100;

x = random('Normal',W,W,1,N); V = normrnd(0,W,N,1);

a = [5 -2 -1];

Q = a(1)+a(2)*x+a(3)*power(x,2); Y = Q+V';

plot(x,Y,'.g')

70