i-808190579

Рис. 4.7. Продолжение. Графики изменения оценок параметров при идентификации РМНК, лист 3

Уравнения состояния дискретной модели по результатам расчета в Matlab в общем виде

.

где A

.

х(k 1) A1 х(k) b1 u(k)			,	(4.22)
у(k) Cх(k) d V (k)
.		.
, b		.
.		.

Подставляя в уравнения наблюдения уравнения состояния (4.22) и за-

	меняя переменные x (k )	на наблюдаемую y (k ) , x (k ) на		y (k )
	получим
	y (k) a y (k ) a y (k ) b u(k ),				(4.23)
	y (k) a y (k ) a y (k ) b u(k ) V (k).
	Соответственно по аналогии с уравнением (4.6) запишем
	y (k) T (k) ,				(4.24)

81

a

где T (k) y (k )

y

(k )

u(k ) ,

a .

b

По аналогии с уравнением (4.8) запишем

y

(k) T (k)

V (k) ,

(4.25)

a

где T (k) y (k )

y (k )

u(k ) ,

a .

b

Для расчета неизвестных оценок θ1 и θ2

используем РМНК (см. рис.

4.7), причем

идентификация

ведется последовательно

для каждого звена

(уравнения), а не матрицы А1 в целом. Результаты показывают хорошую сходимость оценок.

Последовательность работы в графическом интерфейсе Sistem Identification Toolbox.

Для вызова графического приложения в командном окне или m-файле набираем команду

ident.

Появляется окно System Identification Tool-United, которое условно можно разделить на 3 зоны (рис. 4.8).

Рис. 4.8.

82

В первой зоне осуществляется импорт данных (результатов наблюдений или моделирования), представленных временными данными u(k) , y(k) –

Time domain data, либо в виде подготовленного модуля (файла) функцией data1=idata(u,y,Ts)

объекта (Data object), либо типового – Example.

Входные данные можно просмотреть на графике – Time plot, рассчитать периодограмму – Data spectra, амплитудно-частотную и фазочастотную ха-

рактеристику – Frequency function.

По итогам визуального анализа можно провести предварительную обработку исходных данных – Preprocess (удаление тренда, центрирование, фильтрацию, реконструкцию пропущенных данных, дискретизацию и т.п.)

После активизации Time domain data, всплывает окно Import Data в поле Work space variable, в котором вписываем входные u и выходные переменные у разностного уравнения (звена или системы).

Можно заменить имя данных, например, W1 (первое звено) и активизировать клавишу Import. Данные введены.

В основном окне высветится окно с данными W1.

Повторяя данную последовательность для остальных звеньев, введем всю систему. При этом следует помнить, что входы второго звена – это выход первого звена.

Далее переносим мышкой окно W1→Working Data→Estimate→Linear parametric models→ открывается окно Linear parametric models→ корректи-

руем Order 1 1 1, что соответствует порядку разностного уравнения na nb nk→ARX→Estimate в левом нижнем углу.

Процедуру повторяем для второго звена для na=2, nb=2, nk=1. Устанавливая птички в поле Model Views, получим графический анализ

свойств обеих моделей arx 111 и arx 221.

Для вывода на печать результатов идентификации необходимо мышью из окна Import Models перенести имя модели в окно To Workspace и набрать это имя в командной строке, например, >>ARX 1 1 1, либо двойным кликом в окне с этим именем в поле Import Models.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ РАБОТЫ

Вариант 1. Структурная схема и измеряемые переменные

V

u

W W

u(kT0 )

y (kT )

y (kT )

83

W	K		, K	, T с.
T p
W			K		, K , T с, . .
	p	T
T
U – нормальный белый шум с параметрами mU , U .
V (t) – нормальный белый шум с параметрами mv , v							. .
Вариант 2. Структурная схема и измеряемые переменные. Параметры
и воздействия варианта 1.
						V
			u			Y
					W	W
			u(kT0 )			y(kT )
Вариант 3. Структурная схема и измеряемые переменные. Параметры
и воздействия варианта 1.
u						V
			e			W	Y
					W
			-
u(kT0 )					y (kT )	y (kT )
Вариант 4. Структурная схема и измеряемые переменные. Воздействия
варианта 1

u

V

W

W

Y

u(kT0 )

y(kT )

W

K

,

K

, T с.

T p

W e p , с.

Вариант 5. Структурная схема и измеряемые переменные. Воздействия варианта 1.

84

u(t)

V

W

W

u(kT0 )

y (kT )

y (kT )

W

K

, K

. , T . с, W

.

T p

p

Вариант 6. Структурная схема и измеряемые переменные. Воздействия варианта 1.

u(t)

V

W

W

u(kT0 )

y (kT )

y (kT )

W

T p

, T

с, T с,

T p

W

K

, K , T с, T

с.

T p T p

Вариант 7. Структурная схема и измеряемые переменные. Воздействия варианта 1.

u(t)

V

W

W

u(kT0 )

y (kT )

y (kT )

W

T p

, T

с,

T p

W

K

, K

,

T

с.

T p

Вариант 8. Исходные данные варианта 1. Далее осуществить переход к модели пространства состояний по структурной схеме. Сформировать ssмодель

85

x Ax bu

ycx V ,

иперейти к разностным уравнениям, используя процедуру с2d.

x(k 1) Ax(k) bu(k), y(k) cx(k) V (k).

Вариант 9. Исходные данные варианта 3. Далее осуществить переход к модели пространства состояний по структурной схеме. Сформировать ssмодель

x Ax bu

ycx V ,

иперейти к разностным уравнениям, используя процедуру с2d.

x(k 1) Ax(k) bu(k), y(k) cx(k) V (k).

Вариант 10. Исходные данные варианта 5. Далее осуществить переход к модели пространства состояний по структурной схеме. Сформировать ssмодель

x Ax bu

ycx V ,

иперейти к разностным уравнениям, используя процедуру с2d

x(k 1) Ax(k) bu(k), y(k) cx(k) V (k).

Вариант 11. Исходные данные варианта 6. Далее осуществить переход к модели пространства состояний по структурной схеме. Сформировать ssмодель

x Ax bu

ycx V ,

иперейти к разностным уравнениям, используя процедуру с2d

x(k 1) Ax(k) bu(k), y(k) cx(k) V (k).

Вариант 12. Исходные данные варианта 7. Далее осуществить переход к модели пространства состояний по структурной схеме. Сформировать ssмодель

x Ax bU

ycx V ,

иперейти к разностным уравнениям, используя процедуру с2d

x(k 1) Ax(k) bu(k), y(k) cx(k) V (k).

86

ЗАДАНИЕ И ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

Согласовать с преподавателем среду моделирования Mathcad или Mat-

lab.

Идентификация параметров модели без помех Vk .

1) в соответствие с вариантом выбрать и нарисовать структурную схему, записать передаточную функцию Wi ( p) и ее параметры. От передаточ-

ные функции Wi ( p) перейти к дискретным передаточным функциям Wi (z)

(7.3), (7.4) с использованием z -преобразования в среде Matlab;

2) построить график переходного процесса и оценить время переходного процесса tnn объекта.

Значение интервала квантования T выбрать в интервале T ( / / ) tnn так, чтобы величина запаздывания d (если имеется звено запаздывания) была равна целому числу тактов квантования.

3) на основании дискретных передаточных функций Wi (z) записать разностные уравнения звеньев и уравнения наблюдения;

4)на основе разностных уравнений вида (7.5) (7.7) проведите испытания объекта исследования в объеме N для начальных условий y( ) ;

5)представьте реализации входной U (k) и выходной y(k) переменной на графике;

6)реализуйте процедуру МНК для получения оценок θ, сравните полученные оценки с реальными коэффициентами ;

7)реализуйте процедуру РМНК и сравните полученные оценки с МНК-оценками. Изменение РМНК-оценок в функции k представьте на графиках;

8)для полученных МНК-оценок осуществить переход к непрерывной модели и сравните графики переходного процесса исходной и полученной модели;

9)повторите расчеты для заданного уровня помех v . Оцените их

влияние.

10) повторите расчеты для уровня входного воздействия mu и Vk и оцените влияние уровня mu на процесс идентификации.

Выводы по работе должны включать:

1)процесс перехода от передаточной функции W ( p) к дискретной передаточной функции W (z) ;

2)объяснение процедуры обычного МНК (согласно листинга программы);

87

3)объяснение процедуры рекуррентного МНК (согласно листинга программы);

4)сравнительный анализ полученных оценок параметров модели с заданными (истинными);

5)объяснение результатов проведенного анализа;

6)достоинства и недостатки использованных методов;

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.В чем отличие матриц наблюдения входов и выхода для статических

идинамических объектов?

2.Матричная форма записи результатов эксперимента.

3.В чем разница между обычным МНК и рекуррентным МНК?

4.Влияют ли параметры входного mu v и сигнала на точность полу-

ченных оценок модели?

ЛИТЕРАТУРА

1. Масальский, Г.Б. Математические основы кибернетики: учебное пособие / Г.Б. Масальский. – Красноярск: Сиб. федер. ун-т, 2014. – 215 с. (электронная версия).

2. Изерман Р. Цифровые системы управления. – М.: Мир, 1984 – 541 с.

88

Тестовый пример в системе Mathcad для T

1. Проведение эксперимента на объекте

Вариант

W 0

N 100

u 1

mu 0

U rnorm(N 1 mu u )

v 0.1

СК О

Помеха

V rnorm(N 1 0 v )

a1 0.7165

b1 0.5669

a2

1

1.469

a2

2

0.6703

b2

0.323

b2

0.2824

b1

1

2

1T

Y10 0

Y20 0

Y21 0

-начальные ус ловия;

a1

b2

k 1 N

1

b2

Y1 b1 U

a1 Y1

2T

2

k

k 1

k 1

a21

k 2 N

Y2 b2

Y1

b2

Y1

a2

1

Y2

a2

2

Y2

a22

k

1

k 1

2

k 2

k 1

k 2

Y2k Y2k

(с помехой + Vk)

10

5

Uk

Y2k

0

20

40

60

80

100

5

10

k

Рис . П. 4.1. Изменение входной и выходной переменной

2. Процедура вычисления коэффициентов МНК (пакетный режим)

								Звено 1
1		for i 1 N
			qi 0	Ui 1					1				1.102	3
							T					0.01		10
			q	Y1	P1		1	1		P1
			i 1	i 1
											1.102 10 3		0.013
		1 q

89

1 P1 1T Y1
			1			0.567			1T		0.567
						0.717					0.717
								Звено 2
2		for i 2 N
			qi 0 Y1i 1
			qi 1 Y1i 2
			qi 2 Y2i 1
			qi 3 Y2i 2
		2 q
						P2		T	1
								2	2
2 P2 2T Y2
						0.361					0.323
			2			0.398			2T		0.282
						1.279					1.469
					0.506						0.67

90