7. Находим мощность, отдаваемую источником энергии,

P пр.

0,5

Pист. = –100 (–9,43) + 120 ∙9,68 = 943 + 1161,6 = 2104,6 Вт.

8. Находим мощность, потребляемую приемниками

=11,422 · 5 + 7,72 ·10 + 19,112 · 2 + 22 · 10 + (–9,43)2 · 0,5 + 9,682 ·

=652 + 593 + 730,4 + 40 + 44,5 + 46,85 = 2106,7 Вт.

2104,6 ≈ 2106;

Рист= Рпр..

ЗАДАЧА 2

Задача посвящена расчету электрической цепи переменного однофазного синусоидального тока. Для ее решения применим метод комплексных чисел.

Рассмотрим применение этого метода на примере расчета электрической цепи, изображенной на рис. 2.1.

Дано: U = 120 В, R1 = 10 Ом, R2 = 24 Ом, R3 = 15 Ом, L1 = 19,1 мГн, L2 = 63,5 мГн, C = 455 мкФ, f = 50 Гц.

Определить: токи в ветвях цепи, напряжения на участках цепи, активную, реактивную и полную мощности. Составить баланс мощностей. Построить векторную диаграмму токов на комплексной плоскости.

190

Решение.

1. Выразим сопротивления ветвей в комплексной форме Z = R ± jX, тогда:

Z1 = R1 + jωL1 = R1 + j∙2π ∙ 50 ∙ 19,1 ∙10–3 = 10 + j6;

Z2 = R2

j

1

24 j

106

24 j7 ;

ωC2

2π50 455

Z3 = R3+ jωL3 = 15+ j2π 50∙63,5∙10–3 =15 + j20.

2. Находим полное комплексное сопротивление всей цепи, Ом.

Z

Z1

Z 2

Z 3

10

j6

(24

j7)(15

j20)

10 j6

360

j480

j105 140

Z 2

Z 3

24

j7

15

j20

39

j13

10

j6

500

j375

10

j6

(500

j375)(39

j13)

10 j6

39

j13

(39 j13)(39 j13)

19500

j6500

j14625

4875

10

j6

24375

j8125

24, 4

j10,8;

1521

169

1690

Z

Z

24, 42

10,82

26, 7 Oì .

3. Определим ток İ1 в неразветвленной части цепи, А.

I1 UZ .

Выразим заданное напряжение U в комплексной форме. Если начальная фаза напряжения ψu не задана, то ее можно принять равной нулю и располагать вектор напряжения так, чтобы он совпадал с положительным направлением действительной оси. Тогда мнимая со-

ставляющая комплексного числа будет отсутствовать, т. е. U = 120 В.

I1

120

120(24, 4

j10,8)

2928

j1296

4,11 j1,82 .

24, 4 j10,8 (24, 4 j10,8)(24, 4

j10,8)

595, 36 116, 64

4. Находим напряжение на участке цепи 0 –1

U0 1

I1Z1 (4,11

j1,82)(10

j6)

41,1

j24, 66

j18, 2 10, 92

52

j6, 46.

191

5. Находим напряжение на участке цепи 1-2

									U1 2					U	U0 1				120					52				j6, 46			68	j6, 46.
	6. Определим токи İ2														и İ3
I2	U1	2		68					j6, 46					(68	j6, 46)(24									j7)			1667, 22					j320, 96
	Z 2			24					j7					(24		j7)(24 j7)															625
2, 68		j0,51;
I3	U1	2		68					j6, 46					(68	j6, 46)(15									j20)					890,8		j1456, 9
	Z 3			15					j20						625																625
1, 42		j2, 33.
	7. Определяем действующие значения токов
									4,112					1,822
		I1			I1														20, 2					4,5				A;
									2, 682 0,512
		I2			I2														7, 44					2, 73						A;
									1, 422					2, 332																A.
		I3			I3														7, 44					2, 73

8. Построим векторную диаграмму на комплексной плоскости

(рис.2.2)

+j, Im

			2
			1											I2
–1, Re						0											+1, Re
-3		-2		-1							1		2		3		4
			-1
			-2														I1
			-3									I3
						-4
								–j, Im
						Рис. 2.2

192

9. Составим баланс мощностей. Активная и реактивная мощности источника должны быть равны сумме активных и реактивных мощностей всех приемников.

Активная и реактивная мощности источника считаются по формуле:

S U I ,

где I – сопряженное значение комплексного тока, выходящего из источника.

Sист U I1 120(4,11 j1,82) 493, 2 j218, 4.

Отсюда: активная мощность – это вещественная часть комплексной мощности, а реактивная – мнимая часть с учетом знака. Тогда

Pист.= 493,2 Вт;

Qист.= 218,4 вар.

Активные и реактивные мощности приемников можно рассчитать по формуле:

				S пр	I 2 Z	P	jQ..
Тогда:
S1	2	Z1	2
	I1		4,5 (10	j6)	20, 25(10	j6)	202,5 j121,5,
P1 = 202,5 Bт; Q1 .= 121,5 вар
S 2	2	Z 2	2
	I2		2, 73 (24	j7)	178, 9	j52,17,
P2 = 178,9 Bт; Q2 = –52,17 вар.
S3	2	Z 3	2
	I3		2, 73 (15	j20) 111, 6		j148,8,

P3 = 111,6 Bт; Q3 = 148,8 вар.

P пр = P1 + P2 + P3 = 202,5 + 178,9 + 111,6 = 493 Bт;

Q пр = Q1 + Q2 + Q3 = 121,5 – 52,17 + 148,8 = 218,1 вар.

10. Определяем показания ваттметра:

P = I 2R,

ваттметр показывает активную мощность всей цепи:

P = I12 R = 4,52 ∙ 24,4 = 494 Вт.

193