В комплексном виде

	U m	U m			j(	u i )	j
								2
Z				e			xC e		jxC ,
	Im		Im

Z jxC ,

т. е. комплексное сопротивление С-элемента является отрицательным мнимым числом, модуль которого равен xC .

В цепи с С-элементом не совершается работа, а происходит периодический обмен энергии между источником и электрическим полем.

Интенсивность этого обмена характеризуется реактивной емкостной мощностью QC, которая измеряется в тех же единицах, что и Q (вар).

QC UC IC xC IC2 UC2 / xC .

Если индуктивный и емкостной элементы соединены последовательно, то в моменты времени, когда энергия магнитного поля индуктивного элемента увеличивается, энергия электрического поля емкостного элемента уменьшается, и наоборот.

Следовательно, эти элементы могут обмениваться энергией не только с источником, но и друг с другом.

3.4. Законы Кирхгофа

Законы Кирхгофа для цепей однофазного переменного тока записываются в комплексной форме или для мгновенных значений. Математическая формулировка зависит от выбранного способа представления синусоидальных величин, однако векторный и тригонометрический способы достаточно громоздкие.

I закон Кирхгофа – для мгновенных значений: алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи в каждый момент времени равна нулю.

n

ik 0 ,

k 1

где n – число ветвей, сходящихся в узле.

29

В комплексной форме: алгебраическая сумма комплексных значений токов всех ветвей, сходящихся в каком-либо узле цепи синусоидального тока, равна нулю.

n

k 1 I k 0 .

II закон Кирхгофа – для мгновенных значений: алгебраическая сумма напряжений всех участков любого контура в каждый момент времени равна нулю.

m

uk 0,

k 1

где m – число участков контура.

Для контура, содержащего пассивные элементы (резистивные, индуктивные, емкостные) и источники ЭДС, формулировка II закона Кирхгофа следующая: в каждый момент времени алгебраическая сумма падений напряжений на пассивных элементах контура равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре.

В комплексной форме II закон Кирхгофа:

		n	m
		U k	Ek .
		k 1	k 1
3.5. Неразветвленные электрические цепи
Рассмотрим цепь с последовательным соединением R-, L- и С-
элементов.
Пусть	данная цепь	(рис. 19) подключена		к источнику тока
i Im sin ( t	i ). Необходимо определить напряжение на ее входе.
R		По II закону Кирхгофа запишем:
		U	U R U L	UC ,
	L	где (из закона Ома):
C		U R	R I ; U L	jxL I;

UC jxC I .

30

Отсюда:

U I (R jxL jxC ) ,

где R j(xL xC ) Z – комплексное сопротивление всей цепи. Тогда для данной цепи:

U I Z .

При последовательном соединении элементов R, L и С эквивалентное комплексное сопротивление цепи равно сумме комплексных сопротивлении всех последовательно включенных элементов:

Z R jxL jxc .

Закон Ома для действующих значений и выражение полного сопротивления цепи будут иметь вид:

		U
I						;	Z R2 ( x		L	x )2 .
		R2 ( x		x )2						C
			L
				C

Рассмотрим векторные диаграммы.

При построении векторных диаграмм необходимо взять за основу какой-то базисный вектор, от которого и строить все другие векторы, при этом необходимо помнить, что за положительное направление вращения векторов принято вращение против часовой стрелки. При последовательном соединении элементов за исходный (основной) принимается вектор тока, так как во всех элементах цепи протекает один и тот же ток. Рассмотрим случай, когда индуктивное сопротивление катушки больше емкостного сопротивления конден-

сатора ( xL > xC ).

Векторная диаграмма будет иметь вид (рис. 20, а). Из векторной диаграммы можно выделить треугольник напряжений (рис. 20, б). Если стороны треугольника напряжений (мысленно) разделить на один и тот же ток получим подобный треугольник сопротивлений (рис. 20, в).

31

а			б		в
	U L
				U
	U
					Z			x
							φ
				φ U L
	φ						R
	U R			U R
		I

cos φ = R/Z

UC

Рис. 20

3.6. Резонанс напряжений

Электрический резонанс – совпадение частоты собственных электрических колебаний в замкнутом контуре с частотой колебаний электрического тока, передаваемого внешним источником энергии.

Резонансом напряжений называется режим, при котором в цепи с последовательным соединением индуктивного и емкостного сопротивлений напряжение на входе совпадает по фазе с током. Условие резонанса напряжений следующее:

	L	1	или	xL xC
		C

При резонансе напряжений векторная диаграмма представлена на рис. 21, а, а график изменения тока от изменения емкости конденсатора (или индуктивности катушки) может иметь вид (рис. 21, б):

а U L	б	I
	б

I

U R U

0, cos 1.

Cрез C

U C

Рис. 21

32

Как следствие из условия резонанса напряжений, можно отметить следующее:

–ток в цепи в точке резонанса – максимальный;

–угол сдвига фаз = 0, т. е. цепь ведет себя как цепь, имеющая только активное сопротивление;

– cos = 1;

– нaпpяжeния на отдельных участках цепи переменного тока с последовательным соединением L- и С-элементов могут значительно превышать напряжение на входе (что невозможно в цепях постоян-

ного тока), так		как напряжения на L- и С-элементах находятся в про-
тивофазе (	UC	U L	) и их сумма меньше каждого в отдельности.

В электроэнергетических устройствах в большинстве случаев резонанс напряжений – явление нежелательное именно потому, что входные напряжения установок могут в несколько раз превышать их рабочие напряжения; однако в радиотехнике и автоматике резонанс напряжений часто применяется для настройки цепей на заданную частоту.

3.7. Разветвлѐнные электрические цепи

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из двух параллельных ветвей, схема замещения которой представлена на рис. 22. Пусть цепь присоединена к источнику напряжения u Um sin t. Необходимо определить токи в ветвях и в неразветвлѐнной части це-

пи. Для узла «а» по I закону Кирхгофа можно записать: I

I1 I2 , но

по закону Ома:

I1

U

;

I2

U

.

I

а

Z1

Z 2

Тогда:

I

U

U

,

R1

R2

Z1 Z 2

I1

I2

где Z1

R1

jxL – комплексное

U

L

C

I2

сопротивление

первой

ветви;

Z 2 R2 jxC – комплексное сопротив-	б
	Рис. 22
ление второй параллельной ветви. Ина-
че можно записать:

33

I

U

1

1

,

Z 1

Z 2

где

1

Y 1;

1

Y 2

– комплексные проводимости ветвей.

Z1

Z 2

Комплексная проводимость всей цепи:

Y

1

g

jb ,

Z

где g – активная проводимость, являющаяся действительной частью комплексного числа; b – реактивная проводимость, являющаяся мнимой частью комплексного числа ( может быть bL и bC ).

Закон Ома для цепи с параллельным соединением R- L- и С- элементов в комплексном виде

						I	U Y
или для действующих значений
						I	U g 2 b2 ,
где		Y		y	g 2 b2 – полная (действующая) проводимость цепи.

Выразим проводимости ветвей через их сопротивления. Для схемы, представленной на рис. 22, можно записать закон Ома в следующем виде

1

1

1

1

R1

jxL

R2

jxC

I U

U

U

Z1

Z 2

R1 jxL

R2

jxC

R2

x2

R2

x2

1

L

2

C

U

R1

j

xL

R2

j

xC

U g g

2

jb

L

jb

U g j b

L

b .

Z12

Z12

Z22

Z22

1

C

C

Из последнего выражения видно, что индуктивная проводимость – мнимая отрицательная часть комплексной проводимости с модулем, равным bL; емкостная проводимость – мнимая положи-

тельная

34