kurs_lekcii_mo_matematicheskomu_analizu / Функции нескольких переменных

ЛЕКЦИЯ 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ. ЧАСТНЫЕ ПРИОЗВОДНЫЕ

1. Ограниченные и замкнутые множества

Положение точки на прямой определяется однозначно одним числом, ее координатой. Существует, таким образом, взаимно однозначное соответствие между точками прямой и вещественными числами.

Теперь, если ввести прямоугольную систему координат OXY Z в пространстве, то вместо тройки чисел x; y; z мы можем говорить о точке M пространства с координатами x; y; z (трехмерное пространство).

Аналогично можно определить точку n -мерного пространства как упорядоченную последовательность из n вещественных чисел (x1; :::; xn):

Определение 1. Пространство, в котором расстояние между двумя точками A(x1; :::; xn) è B(y1; :::; yn) определяется равенством

p

d = (x1 y1)2 + ::: + (xn yn)2;

называется n -мерным евклидовым пространством и обозначается R èëè Rn:

Для характеристики множеств в пространствах любого числа измерений вводятся понятия открытости, связности, замкнутости, ограниченности и, наконец, понятие области. Приведем пояснения этих понятий на примере множества точек плоскости.

Определение 2. Любой открытый круг, т. е. круг без окружности, радиуса с центром в точке M0(x0; y0); называется -окрестностью точки M0:

Следовательно, окрестность точки			M0		это множество всех точек M с координа-
òàìè (x; y); удовлетворяющих неравенству
(x		x0)2 + (y		y0)2 < 2; ::		j !j	< :
						MM0

Определение 3. Точка M 2 G называется внутренней точкой множества G;

если существует открытый круг с центром в этой точке, полностью принадлежащий

G:

íèå.Определение 4. Множество называется открытым, если все его точки внутрен-

Определение 5. Множество называется связным, если любые его две точки могут быть соединены ломаной линией, все точки которой принадлежат данному множеству.

Определение 6. Связное открытое множество называется областью.

Определение 7. Граничной точкой множества называется точка, в любой окрестности которой есть точки, как принадлежащие данному множеству, так и не принадлежащие ему. Совокупность всех граничных точек называется границей этого множества.

1

Пример 1. Границей круга является окружность.

Определение 8. Замкнутой областью называется множество, состоящее из всех точек области и ее границы.

Пример 2. а) Замкнутый круг это круг вместе с его окружностью. б) Пустое множество ; есть множество открытое и замкнутое.

Определение 9. Множество называется ограниченным, если можно указать такой круг, внутри которого расположены все точки данного множества.

Пример 3. Все пространство Rn является неограниченным, но одновременно от-

крытым и замкнутым множеством.

Пример 4. Множество точек M(x1; :::; xn) , определяемое неравенством

(x1 x01)2 + (x2 x02)2 + ::: + (xn x0n)2 r2 ( < r2);

åñëè M0(x01; :::; x0n) есть фиксированная точка, а r постоянное положительное число, образует замкнутый (или открытый) n -мерный шар радиуса r с центром в M0:

Другими словами шар есть множество точек M , расстояние от которых до некоторой

постоянной точки M0 не превосходит (или меньше) r:

Очевидно, что этому шару при n = 2 отвечает круг, а при n = 3 обыкновенный шар.

Замечание 1. Открытый шар любого радиуса r > 0 с центром в точке M0(x01;

:::; x0n) можно также рассматривать как окрестность этой точки.

2.Задачи, приводящие к понятию функции нескольких переменных. Определения

Как известно, если через x è y обозначить длины сторон прямоугольника, а через S

его площадь, то	S = x y:	(1)

При изменении x è y меняется и площадь S: В этом случае говорят, что площадь S есть функция двух переменных x; y; заданная формулой (1).

Аналогично, если x; y; z длины ребер при вершине прямоугольного параллелепипеда, то его объем V вычисляется по формуле

V = x y z:	(2)
Изменяя x; y; z в формуле (2), будем получать различные значения для V; ò. å. V	åñòü
функция трех переменных x; y; z; заданная формулой (2).

При изучении свойств нагретого тела температура его является обычно переменной величиной, зависящей от точки, в которой измеряется температура, и от момента времени, в который производится измерение. Обозначим через T измеряемую температуру,

через M точку, в которой измеряется температура, и через t момент времени, в который измеряется температура. Тогда зависимость температуры T от переменной точки

2

M и времени t обозначается следующим образом: T = f(M; t): В этом случае говорят, что температура есть функция точки M и времени t: Пусть точка M имеет координаты x; y; z: Тогда зависимость температуры от координат точки и момента времени t обозначается так: T = f(x; y; z; t); т. е. температура есть функция от четырех переменных x; y; z; t: Эти переменные являются независимыми, они могут принимать любые допустимые значения. Переменная T является зависимой переменной, значения которой

определяются значениями независимых переменных x; y; z; t:

Определения функций двух и трех переменных легко переносятся на случай любого числа переменных.

Определение 10. Переменная u называется функцией n переменных x 1; x 2;

:::; x n; если каждой системе n чисел ( x 1; x 2; :::; x n) из некоторого множества D

по определенному правилу или закону ставится в соответствие одно или несколько значений переменной u (эти значения составляют множество G ).

При этом переменные

x1; x2

; :::; xn называют-

y

6

ся независимыми переменными, или аргумента-

ми, а переменная u зависимой переменной, или

функцией (точнее многозначной, если принимает

D2

1

D1

несколько значений), а множество D называется

-x

областью определения функции, множество G

-2

-1

0

1

2

3

областью изменения функции (или областью зна-

-1

чений).

Обозначаются функции нескольких перемен-

íûõ (ÔÍÏ) òàê:

Ðèñ. 1

u = f(x1; x2; :::; xn) = f(~x) èëè u = u(~x):

Замечание 2.

Нахождение области определения ФНП аналогично ее нахождению

для функций одной переменной.

Пример 5. Найти область

определения следующих функций:

p4x

y2

à)

z = ln(1 + x y

2

)

; á)

z = ln(1 x2 y2) :

Решение: а) так как логарифмическая функция определена только для положитель-

ного аргумента, то решение сводится к нахождению области значений x è y , удовлетво-

ряющих неравенству 1 + x y2 > 0 , èëè y2 < 1 + x . Построим на плоскости кривую y2 = 1 + x (рис. 1). Это симметричная относительно оси OX парабола, ветви которой

направлены вправо и вершина которой имеет координаты (-1,0). Парабола y2 = 1 + x разбила всю плоскость на две области:

D1 "внутренность"параболы и D2 внешность параболы.

y

6

Чтобы определить, какая из них является областью определения

функции z = ln(1 + x y2) ,2

возьмем произвольную точку M è åå

$-

'

1

x

координаты подставим в y

< 1 + x . Если в результате получим

верное неравенство, то и все точки области, содержащей M , будут

&%

удовлетворять этому неравенству.

02

< 1 + 0 ,

Ðèñ. 2

Пусть M точка с координатами (0,0). Тогда

èëè 0 < 1 , верное неравенство. Таким образом,

D1

является областью определения

функции z = ln(1 + x y2) . Сама парабола в область определения не входит, так как неравенство строгое;

3

y

)

так, как это делалось в пункте а). Областью

p

z1 является "внутрен-

2

б) найдем отдельно области определения функций z1 =

4x y2 è z2

= ln(1 x

определения

ность"параболы 4x = y2 и сама парабола. Фунêöèÿ z2

определена в круге x2 + y2 < 1 .

Тогда областью определения функции

p4x y2

, изображен-

z = ln(1 x2 y2)

является область

D

ная на рис. 2, причем точка (0,0) в D не входит, поскольку знаменатель

ln(1 x2 y2)

обращается там в нуль.

Замечание 3. Изобразить функцию трех и более переменных с помощью графика нельзя. Для наглядного изучения функций трех переменных используются так называемые поверхности уровня функции.

Определение 11. Поверхностью уровня функции u = f(x; y; z) называется гео-

метрическое место точек пространства, в которых функция принимает одно и то же значение c : Уравнение поверхности уровня:

f(x; y; z) = c:

Изменяя c , получаем различные поверхности уровня. По их взаимному расположе-

нию можно судить о характере поведения фуíêöèè.

z2

Пример 6. Для функции u(x; y; z) =

x2

+ y2

+

4

поверхности

9

16 поверхностями уровня будут

x2

y2

z2

+

+

= c;

4

9

16

т. е. эллипсоиды с полуосями 2p

c; 3p

4p

c;

c:

Определение 12. Линией уровня функции z = f(x; y) называется геометрическое

место точек плоскости, в которых функция принимает одно и то же постоянное зна- чение c . Ее уравнение имеет вид f(x; y) = c:

Пример 7. Линиями уровня функцииpz = 1 x2 y2 будут линии с уравнениями 1 x2 y2 = c; т. е. окружности с радиусом 1 c; à ïðè c = 0 окружность x2+y2 = 1:

Пример 8. Линии уровня линии одинаковых температур (изотермы), линии равного давления (изобары) и т. д.

Замечание 4. Далее мы будем, как правило, рассматривать функции лишь двух или трех переменных, имея в виду, что перенос определений и полученных результатов на функции большего числа переменных представляет собой лишь технические трудности.

3.Предел и непрерывность функций нескольких переменных

Определение 13. Функция	f(~x) = f(x1; x2; :::; xn) имеет в точке ~x0 =
(x10; x20; :::; xn0 ) предел, равный A;	если она определена в некоторой окрестности точки

~x0; за исключением, быть может, самой точки ~x0; и для любого " > 0 найдется такое> 0; ÷òî

jf(~x) Aj < "

4

äëÿ âñåõ ~x; удовлетворяющих неравенствам

0 < j~x ~x0j < :

Записывается это так:

lim f(~x) =	lim f(x1; x2; :::; xn) = A:
~x!~x0	xj xj0
	!
	j=1;:::;n

Для двух переменных это можно записать как

lim f(x; y) = A:

x!x0 y!y0

Замечание 5. Основные теоремы о пределах функций одной переменной справедливы и для функций двух и большего числа переменных (о пределе суммы, произведения и частного).

Определение 14. Функция f(~x) = f(x1; x2; :::; xn) называется непрерывной в точке

~x0(x01; x02; :::; x0n); если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе и в самой точке ~x0; и если предел ее в точке ~x0 равен ее значению в ней:

lim f(~x) = f(~x0)

~x!~x0

(предел функции в точке равен значению функции в этой точке).

В случае двух переменных

lim f(x; y) = f(x0; y0):

x!x0 y!y0

Определение 15. Функция называется непрерывной на некотором множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Пример 9. Найти предел функции

lim sin xy

x!0 x y!2

Решение. Так как sin 2x s 2x ïðè x ! 0 ,

	lim	sin xy	= lim	2x	= 2:
		x		x
	x!0		x!0
	y!2

Пример 10. Найти точки разрыва функции
xy + 1
z =
	x2 y
Решение. Функция потеряет смысл, если знаменатель обратится в нуль. Но x2					y =
0 èëè y = x2 уравнение параболы. Следовательно, данная функция имеет			линией

разрыва параболу y = x2 .

5

Пример 11. Доказать, что функция f(x; y) =	x
	x2 y2	непрерывна в любой точке ее

области определения.

Доказательство. Данная функция определена во всех точках (x; y); кроме тех, у

которых x2 = y2: Пусть (x0; y0) некоторая точка из области определения функции, т. е. x20 =6 y02: Выберем произвольную последовательность точек fxn; yng; такую, что x2n =6 yn2 è xn ! x0; yn ! y0 ïðè n ! 1; тогда по свойству предела последовательности имеем

lim f(xn; yn) = lim		xn	=			x0	= f(x0	; y0):
				x02		y02
n!1	n!1 xn2 yn2

Следовательно, данная функция непрерывна в произвольной точке (x0; y0) из области определения.

Замечание 6. Как и для функций одной переменной для функций нескольких переменных доказываются следующие утверждения:

1) сумма и произведение двух непрерывных в некоторой области G функций являются непрерывными в области G функциями;

2) отношение двух непрерывных в области G функций является непрерывной функцией во всех точках области G; в которых знаменатель не обращается в нуль.

4. Частные производные. Геометрический смысл

Рассмотрим	функцию z = f(x; y) ,				определенную в некоторой окрестности точки
M0(x0; y0): При фиксированном значении переменной y; например								y = y0;	функция
z = f(x; y0);	очевидно, является уже функцией одной переменной x:
Определение 16. Производная функции f(x; y0) по переменной								x в точке (x0; y0)
называется частной производной по x от функции f(x; y) в точке (x0; y0) :
		@f(x0; y0)	=		lim	f(x; y0) f(x0; y0)	:
		@x			x!x0	x x0
Аналогично определяется производная функции f(x; y) по переменной y									в точке
(x0; y0) :						f(x0; y) f(x0; y0)
		@f(x0; y0)		=	lim		:
		@y			y!y0	y y0

Для частных производных по переменным x è y часто используются и другие обозна-

чения:	@f(x0; y0)			@f(x0; y0)
		= f0 (x0; y0);			= f0 (x0; y0):
	@x	x		@y	y
Коротко определение частных производных можно сформулировать так: fx0						ýòî ïðî-
изводная по переменной x функции f(x; y)			при фиксированной переменной y; à fy0
это производная по y функции f(x; y) при фиксированном x:

Отсюда следует, что частные производные находятся по обычным правилам диффе-
ренцирования функции одной переменной. При дифференцировании, например, по пере-
менной x переменную y следует считать постоянной.
Пример 12. Åñëè f(x; y) = x2y3; òî
fx0 = (x2y3)x0 = 2xy3;	fy0 = (x2y3)y0 = 3x2y2;

6

Пример 13. Åñëè z = x2y + x sin xy; òî

@x@z = @x@ (x2y + x sin xy) = 2xy + @x@ (x sin xy) = 2xy + sin xy + xy cos xy; @y@z = @y@ (x2y + x sin xy) = x2 + x2 cos xy:

Частные производные fx0 (x; y); fy0 (x; y) являются функциями двух переменных, поэтому для них также можно рассматривать частные производные.

Определение 17. Частные производные от частных производных

ваются частными производными второго порядка функции f(x; y):

Функция f(x; y) имеет четыре частные производные второго порядка

@x	@x ;		@y	@x ;		@x	@y ;	@y	@y :
@		@f	@		@f	@	@f	@	@f

@f	@f
@x è	@y íàçû-

Частные производные второго порядка обозначаются соответственно:

Частные производные

рядка.

@2f ; @2f ; @2f ; @2f : @x2 @x@y @y@x @y2

@2f @2f

@x@y è @y@x называются смешанными производными второго по-

Замечание 7. Можно доказать, что если функция z = f(x; y) имеет непрерывные смешанные производные, то эти производные равны, т. е.

@2f = @2f : @x@y @y@x

Пример 14. Найти частные производные второго порядка от функции f(x; y) =

x2y + y3:

Решение. Последовательно находим

@f

= 2xy;

@f

= x2

+ 3y2;

@y

@x

@2f

= 2y;

@2f

= 2x;

@2f

= 2x;

@2f

= 6y:

@x2

@x@y

@y@x

@y2

Нам известно, что функция z = f(x; y) геометрически может быть представлена как поверхность в пространстве, в котором введена прямоугольная система координат OXY Z

(ðèñ. 3)

Обозначим буквой A некоторую точку рассматриваемой поверхности с координатами

x0; y0 è z0 = f(x0; y0):

Проведем через точку A плоскость, параллельную координатной плоскости XOZ: Уравнение ее имеет вид y = y0 . В пересечении этой плоскости и данной поверхности

7

получаем кривую, проходящую через точку A(x0; y0; z0)	и принадлежащую поверхности.
Эта кривая в плоскости y = y0 имеет уравнение
z = f(x; y0)	(3)

функция одной переменной. Угловой коэффициент касательной к кривой (3) в точке с координатами (x0; y0; z0) будет

@f

kx = @x(x0; y0)

(геометрический смысл производной функции одной переменной).

Точно таким же способом можно по-

казать, что угловой коэффициент каса-

6

z

.

тельной к сечению данной поверхности

.

плоскостью, параллельной координат-

z0

A

ной плоскости ZOY; в точке (x0; y0; z0)

будет

@f

ky =

(x0; y0):

@y

Таким образом, первые

частные

производные от функции z

= f(x; y)

в точке (x0; y0) дают угловые коэффи-

O

y0

циенты касательных к линиям пересе-

чения поверхности z = f(x; y) ñ ïëîñ-

x0

костями, параллельными соответствую-

x

(x0; y0)

щим координатным плоскостям и про-

ходящими через точку A(x0; y0; z0):

Ðèñ. 3

.

y

-

8