gos / Гетманов1

Задача восстановления непрерывного сигнала y(t) по его дискретным значениям y(Ti) фактически представляет собой задачу

интерполяции. Восстановление сигнала здесь состоит в том, что по бесконечной последовательности дискретных значений сигнала y(Ti), i , необходимо найти значения непрерывного сиг-

нала для промежуточных моментов времени t Ti.

Пусть исходный сигнал y(t) принадлежит к некоторому задан-

ному классу функций; допустим, что можно подобрать, учитывая свойства этого заданного класса функций, соответствующие базисные функции i (t, T ), t , i . Сформируем функ-

цию y(t, N), представляющую собой конечную взвешенную сумму базисных функций i (t, T ) с весовыми коэффициентами y(Ti). В

качестве восстановленного сигнала y	(t) для y(t) примем предел
N
y(t, N) y(Ti) i (t, T ),	y (t) lim y(t, N ).
i N	N

Задача восстановления может считаться успешно решённой, если будет выполнено равенство

y (t) y(t).

(3.4.1)

Возможность восстановления сигнала по его дискретизованным значениям зависит от частотных свойств сигнала и выбранной частоты дискретизации. Высокая частота дискретизации, очевидно, позволит осуществить восстановление сигнала; для низкой частоты дискретизации восстановление в ряде случаев проблематично.

3.4.2. Появление «кажущихся» частот

Неправильно выбранная частота дискретизации, которая не согласована с частотными свойствами сигналов, приводит к появлению так называемых «кажущихся» частотных составляющих.

Разберём пример, в котором дискретизации подвергается непрерывный синусоидальный сигнал вида y(t) sin 2 f0t с периодом

T0 1 f0 . На рис. 3.4.1 исходный сигнал y(t) изображен сплошной линией.

101

Рис. 3.4.1. Появление «кажущихся» частотных составляющих

Подвергнем исходный непрерывный сигнал y(t) дискретизации с частотой fd1 4 f0 – четыре точки дискретизации на один период T0 , интервал дискретизации T1 1 / 4 f0 , T1 T0 / 4. Дискретизованные значения исходного сигнала отмечены чёрными жирными точками для синусоидального сигнала y1(T1i) (см. рис. 3.4.1). Уменьшим частоту дискретизации, примем её равной fd 2 4 / 3 f0 , период дискретизации Td 2 4 / 3T0 , эти точки дискретизации на графике сигнала y2 (T2i) отмечены кругами на пунктирной линии. В пер-

вом случае частота дискретизации больше двойной частоты сигнала, дискретизованный сигнал воспринимается как сигнал с периодом Tk1 T0 и его «кажущаяся» частота совпадает с частотой ис-

ходного сигнала fk1 f0 . Во втором случае частота дискретизации меньше двойной частоты сигнала, дискретизованный сигнал воспринимается как сигнал с периодом Tk 2 3T0 и его кажущаяся частота меньше частоты исходного сигнала fk 2 1/ Tk 2 f0 / 3.

Вследствие неудачного выбора частоты дискретизации имеет место очень сильное искажение информации, «кажущаяся» частота сигнала меньше частоты исходного сигнала, что и видно из рис. 3.4.1.

Рассмотрим более детально существо проблемы возникновения «кажущихся» частотных составляющих для дискретной синусоидальной функции y(i) sin(2 f0Ti). Введём частоту Найквиста,

равную половине частоты дискретизации, fN 1 / 2T. Всегда можно представить f0 fN p q, где p – целое, q 1. Учитывая равенство 2 f0Ti ( p q)i, запишем:

102

y(i) sin ( p q)i sin pi cos qi cos pi sin qicos pi sin qi.

Разберем первый пример – частота Найквиста больше частоты

сигнала – р 0, тогда f0	/ fN 1 и справедливо:		y(i) sin qi
sin 2 fk1Ti. Следует, что	2 fk1T q,	fk1 fN q и	fk1 f0 – «ка-

жущаяся» частота совпадает с частотой исходного сигнала. Разберём второй пример – частота Найквиста меньше частоты сигнала –

в частном случае положим	p четным, f0 / fN 1,	при этом
fk 2 fN q f0q / ( p q) и fk 2	f0. Оказывается, что	во втором

примере «кажущаяся» частота меньше частоты исходного сигнала. Данные примеры позволяют сделать заключение, что для совпадения частоты сигнала и «кажущейся» частоты, частота Найквиста должна быть больше частоты дискретизуемого сигнала.

Вследствие неправильного выбора частоты дискретизации «кажущиеся» частоты приводят к эффекту маскировки (эффекту наложения частот). Рассмотрим двухчастотный сигнал y(i)

A1 sin 2 f1Ti A2 sin 2 f2Ti.	Допустим,		что выбрана частота дис-
кретизации таким образом,	что	выполнились условия f1 fN ,
f2 fN . Расположение частот		f1, f2	и частоты Найквиста fN

проиллюстрировано на амплитудном спектре, изображённом на рис. 3.4.2.

Рис. 3.4.2. Амлитудный спектр двухчастотного сигнала и эффект маскировки

При такой частоте дискретизации, которая определяется положением частоты f N , первая синусоида воспринимается с «кажу-

103

щейся» частотой fk1 f1 , вторая	синусоида	воспринимается с
«кажущейся» частотой f k 2 f 2.	В данном	дискретизованном

двухчастотном сигнале появляется ложный сигнал с низкой частотой – смещённый в низкочастотную область, который во многих случаях может «маскировать» исходный сигнал, так как fk 2 f1 .

Дискретизация с такими параметрами может катастрофически исказить исходный сигнал – спектр высокочастотного сигнала перемещается в низкочастотную область, и наложиться на спектр основного сигнала.

3.4.3. Теорема Котельникова

Установим возможность точного восстановления непрерывных сигналов по их дискретным значениям. В рамках теоремы Ко-

тельникова рассматриваются сигналы, принадлежащие к классу сигналов с финитным преобразованием Фурье. Сигнал y(t) имеет

финитное преобразование Фурье, обозначаемое как С f ( j ), если: 1) С f ( j ) 0 для всех частот ; 2) С f ( j ) тождественно не равно нулю для частот , где – верхнее значение частоты

сигнала – полоса сигнала. Теорема Котельникова утверждает, что для сигналов с финитным преобразованием Фурье возможно точное восстановление сигнала по дискретным наблюдениям, если круговая частота дискретизации d удовлетворяет строгому нера-

венству d 2 , где 2 f p , f p – полоса сигнала, Гц, fd 2 f p . Представим исходный сигнал y(t) на основе обратного преобра-

	зования Фурье, если С f ( j )				– финитное преобразование Фурье:
		y(t) C f ( j )e j t d .
	Возьмём ,	разложим функцию С f ( j )						в комплексный ряд
	Фурье на данном интервале ( , ) :
			2						2
	С f ( j ) c fl e j			l ,	c fl	1	C f ( j )e j			l d . (3.4.2)
			2						2
						2
	l
					104

Учитывая введённое соотношение между величинами и , запишем

y(t)	C f ( j )e j t d C f ( j )e j t d .	(3.4.3)

Справедливо равенство, вытекающее из (3.4.2), (3.4.3), связывающее дискретные значения сигнала и коэффициенты фурье-

разложения			2				2
c			1	y			2	l		.
	fl

Подставим коэффициенты фурье-разложения c f l в выражение для

С f ( j ) из (3.4.2):

y

2

l e j

2

С f ( j )

1

l .

2

(3.4.4)

2

l

2

Подставим выражение (3.4.4) в ( 3.4.3)

1

2

j

2

l

y(t)

y

l e

2

e j t d .

l 2

2

Переменим порядок интегрирования и суммирования

1

2

j

2

l t

y(t)

y

l e

2

d

.

2

2

l

Сделаем замену 2 / 2 T, при этом частота дискретизации ока-

жется равной d

2 ,

и переобозначим индексы суммирования

l i :

1

y(t)

y(Ti) e j(t Ti) d .

(3.4.5)

i 2

Интеграл в (3.4.5) легко вычислить

2sin (t Ti)

e j(t Ti) d

.

(t Ti)

В результате сигнал

y(t)

на основании (3.4.5) может быть пред-

ставлен в виде разложения по базисным функциям i (t, T ) с весовыми коэффициентами y(Ti) :

105

			sin (t Ti)
	y(t) y(Ti) i (t, T ),	i (t,T )		.
	i		(t Ti)

Таким образом, в соответствии с теоремой Котельникова сигнал с финитным преобразованием Фурье с полосой при выборе частоты дискретизации d 2 допускает точное восстановле-

ние – выполнение равенства (3.4.1).

Теорема Котельникова имеет чрезвычайно большое значение для практики задач ЦОС.

3.4.4. Противомаскировочные фильтры

Устранение эффекта маскировки (наложения) может быть реализовано двумя способами.

Во-первых, устранение может быть осуществлено с помощью назначения высокой частоты дискретизации, которую необходимо выбрать таким образом, чтобы её величина была бы более чем в два раза больше, чем значение полосы сигнала.

Во-вторых, если по некоторым техническим причинам нельзя назначить высокую частоту дискретизации, то исходный непрерывный сигнал, прежде чем подвергнуть дискретизации, следует пропустить через аналоговый низкочастотный фильтр с частотой среза с 2 fс и с АЧХ, изображенной на рис. 1.3.6. В отфиль-

трованном сигнале не должны содержаться составляющие с частотой выше, чем указанная частота среза c . Низкочастотный фильтр

должен отсечь неинформативные (помеховые) высокочастотные составляющие сигнала. Для частоты дискретизации подобным образом отфильтрованного сигнала необходимо выполнение неравен-

ства fd 2 fc .

Указанная фильтрация называется противомаскировочной, а используемые аналоговые фильтры – противомаскировочными.

Список вопросов для самопроверки к гл. 3

1.Какое определение для функций законов распределения для случайных сигналов приведено в разд. 3.1?

2.Какое определение для функций плотностей вероятностей для случайных сигналов приведено в разд. 3.1?

106

3.Какое определение для моментных характеристик случайных сигналов приведено в разд. 3.1?

4.В чём состоит алгоритм вычисления оценок плотностей вероятностей и моментных характеристик на множестве реализаций случайных сигналов?

5.Какие варианты определений для стационарных случайных сигналов используются в задачах ЦОС?

6.Какое определение для эргодических случайных сигналов используется в задачах ЦОС?

7.В чём состоит алгоритм вычисления оценок моментных характеристик для стационарных эргодических случайных сигналов в дискретном случае?

8.Какие определения для нестационарных случайных сигналов используются в задачах ЦОС?

9.Какие определения для локальных интервалов используются в задачах ЦОС?

10.В чём состоит алгоритм вычисления локальных оценок статистических характеристик нестационарных случайных сигналов?

11.В чём состоят причины возникновения аддитивных и мультипликативных трендов в сигналах?

12.В чём состоит методика устранения трендов для нестационарных случайных сигналов?

13.В чём состоят причины возникновения аномальных значений

внаблюдениях случайных сигналов?

14.В чём состоит методика устранения аномальных значений в наблюдениях сигналов?

15.Какие варианты и характеристики процедур дискретизации непрерывных сигналов приведены в разд. 3.4?

16.В чём состоит формулировка и описание основных этапов вывода теоремы Котельникова?

17.В чём состоят причины возникновения «кажущихся частот»

вдискретизованных сигналах?

18.В чём состоит методика устранения «кажущихся частот» в дискретизованных сигналах?

107