gos / Гетманов1

y2i

P{y1i Y (ti ) y2i } p( yi ,ti )dyi .

y1i

Рис. 3.1.1а. Функция закона распределения случайной величины

Рис. 3.1.1б. Функция плотности распределения вероятностей случайной величины

Для функции р1( yi , ti ) должно выполняться вполне естественное

равенство

p1( yi ,ti )dyi 1.

81

yi y j

Общий	вид	функции плотности	распределения	вероятностей
р1( yi , ti )	представлен на рис. 3.1.1б.
Функция		двумерного закона	распределения	вероятностей
F2 ( yi , ti ,	y j , t j ) определяется как		вероятность одновременного
выполнения двух неравенств

F2 ( yi , ti , y j , t j ) P{Y (ti ) yi , Y (t j ) y j }.

В том случае, если функция F2 ( yi , ti , y j , t j ) дифференцируема по уi , y j , то вводится функция двумерной плотности распределения вероятностей p2 ( yi , ti , y j , t j ) на основе частных производных

p2 ( yi , ti , y j , t j ) 2 F2 ( yi , ti , y j , t j ) .

Функция n-мерного закона распределения вероятностей для случайного сигнала определяется на основе обобщения одномерного и двумерного законов и вычисляется как вероятность одновременного выполнения системы из n неравенств для моментов вре-

мени t1, t2 ,...,tn :

Fn ( y1, t1, y2 , t2 ,..., yn , tn ) P{Y (t1) y1, Y (t2 ) y2 ,..., Y (tn ) yn} .

Рассмотрим моментные характеристики первого порядка для одномерных функций плотности распределения вероятностей слу-

чайного сигнала. Математическим ожиданием и дисперсией слу-

чайного сигнала Y (t) называются неслучайные функции my (t), Dy (t), которые при каждом значении времени t ti равны математическому ожиданию и дисперсии случайной величины Y (ti ) :

my (ti ) yp1( yi , ti )dyi ,	Dy (ti ) ( y my )2 p1( yi , ti )dyi .

Корреляционной (автокорреляционной) функцией случайного сиг-

нала Y (t)	называется функция Ryy (ti , t j ), значения которой для
моментов времени ti , t j		равны корреляции для центрированных
случайных	величин	Y (ti ) my (ti ),	Y (t j ) my (t j ). Функция
		82

Ryy (ti , t j ) является неслучайной и определяется на основе функции двумерной плотности распределения вероятностей:

Ryy (ti , t j )	( yi my (ti ))( y j my (t j )) p2 ( yi , ti , y j , t j ) dyi dy j .

Очевидно, в соответствии с определением, корреляционная функция не изменится, если к рассматриваемому случайному сигналу добавить произвольную детерминированную функцию. Если берутся два случайных сигнала X (t), Y (t), то для них определяется

взаимная корреляционная функция, которая принимает вид

Rxy (ti , t j ) (xi mx (ti ))( y j my (t j )) p2 (xi , ti , y j , t j ) dxi dy j .

Введённые моментные характеристики имеют вполне нагляд-

ный физический смысл: my (t) определяет функцию времени для среднего значения случайного сигнала, Dy (t) представляет собой

функцию времени для среднеквадратичного отклонения случайного сигнала от среднего значения. Функция двух временных переменных Ryy (ti , t j ) определяет усреднённое произведение центрирован-

ных значений сигнала для разнесённых моментов времени ti , t j .

3.1.2.Оценивание статистических характеристик сигналов на множестве реализаций

Рассмотрим получение для случайных сигналов оценок функций плотностей распределения вероятностей и моментных характеристик на множестве реализаций. Пусть yn (t) – реализации слу-

чайного сигнала Y (t), n 1,..., M , M – число реализаций сигнала. Будем полагать, что для некоторого момента ti имеются M значений наблюдений yn (ti ).

Для вычисления оценки функции одномерной плотности распределения вероятностей в виде гистограммы найдём максимальное ymax и минимальное ymin значения наблюдения сигнала

для ti :	ymin yn (ti ) ymax ,	n 1,..., M. Разобьём интервал
		83

( ymin , ymax ) на k интервалов выбранными точками y1, y2 ,..., yk 1,
ymin y1 y2 ,..., yk 1 ymax ( ymin y0 , ymax yk ).
Определим индикаторную	функцию: I (x) 1, x 0, I (x) 0,
x 0. Для интервала (ts 1, ts ) ,	s 1,..., k, подсчитаем Ms (ti ) число
выполнений неравенства ts 1 yn (ti ) ts :

M

Ms (ti ) I ( yn (ti ) ys 1) I ( ys yn (ti )).

n 1

Оценка плотности вероятности случайного сигнала для момента времени ti на интервале с номером s вычисляется в виде кусочнопостоянной функции как отношение

p

( y , t )

M s (ti )

,

y

s 1

y y ;

p

( y , t ) 0,

y y

s 1

, y y

.

1s

i i

M

i s

1s

i i

i

i s

Для всего интервала ymin y(ti ) ymax оценка функции плотности

распределения вероятностей представится системой кусочнопостоянных функций

k

p1 ( yi ,ti ) p1s ( yi ,ti ).

s 1

На рис. 3.1.2 схематически изображена кусочно-постоянная функция p1 ( yi , ti ) оценки одномерной плотности распределения вероятностей, полученная в форме гистограммы.

Рис. 3.1.2. Функция оценки одномерной плотности распределения вероятностей

84

Оценки моментных характеристик случайных сигналов для вре-

	мени ti (ti , t j )	на множестве реализаций вычисляются по следую-
	щим формулам:
		1	m					1		M
	my (ti )		yn (ti ),				Dy (ti )			( yn (ti ) my (ti ))2	,
		M						M 1
			n 1							n 1
				1		M
	Ryy (ti ,t j )					( yn (ti ) my (ti ))( yn (t j ) my (t j )).
				M 1
						n 1

3.1.3.Стационарные сигналы, оценивание статистических характеристик для стационарных сигналов

Стационарность случайных cигналов подразумевает неизменность их статистических характеристик во времени.

Случайный сигнал называется стационарным в узком смысле, если его n-мерные функции закона распределения вероятностей для группы переменных у1,..., уn , сдвинутых на время , совпада-

ют и, таким образом, не зависят от времени сдвига

Fn ( y1, t1 , y2 , t2 ,..., yn , tn ) Fn ( y1, t1, y2 , t2 ,..., yn , tn ).

Случайный сигнал является стационарным в широком смысле,

если его математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени – my (t) my , Dy (t) Dy , а его корреляционная (ковариаци-

онная) функция зависит от разности аргументов – Ryy (ti , t j )

Ryy (ti t j ) Ryy ( ), ti t j .

Стационарный сигнал является эргодическим, если нахождение его статистических характеристик может быть осуществлено усреднением по одной реализации y(t) с помощью интегрирования

на конечном временном интервале длительностью T0 с последующим предельным переходом T0 :

m

(T )

1

T0

y(t)dt,

lim

m

(T ) m

,

y

y

y

0

T

T0

0

0

0

D

(T )

1

T0

( y(t) m

)2 dt,

lim

D

(T ) D

,

y

y

y

0

T

T0

0

y

0

0

85

			1			T0
	Ryy (T0	, )				( y(t) my )( y(t	) my )dt,
			T0
						0
			lim Ryy (T0 , ) Ryy ( ).
			T0

При дискретизации единственной реализации случайного стационарного эргодического сигнала y(i) y(Ti), i 0, 1,..., N 1,

N – число наблюдений сигнала, возможна запись оценок математического ожидания и дисперсии в следующем виде:

		1	N 1		1		N 1
	my		y(i),	Dy			( y(i) my )2.
		N			N 1
			i 0				i 0

Оценка корреляционной функции представится как функция

	дискретного аргумента m,		m 0, 1,..., N 1:
		1	N m 1
	Ryy (m)		( y(i) my )( y(i m) my ).
		N m
			i 0

3.1.4. Нестационарные сигналы, оценивание локальных статистических характеристик для нестационарных сигналов

К нестационарным сигналам относятся все случайные сигналы, не удовлетворяющие сформулированным ранее условиям стацио-

нарности. Параметры или статистические характеристики нестационарных сигналов зависят от времени и в общем случае могут быть установлены усреднением на множестве реализаций. Однако во многих инженерных приложениях для анализа сигналов на стационарность, как правило, не бывает достаточного количества реализаций (чаще всего в распоряжении бывает только одна реализация), и это обстоятельство затрудняет проведение статистического оценивания.

Один из подходов к исследованию статистических характеристик нестационарных сигналов состоит в реализации разбиения основного временного интервала наблюдения сигнала на некоторое количество локальных (малых) временных интервалов, на которых рассматриваемый нестационарный сигнал допустимо считать квазистационарным (почти стационарным), и проведения соответствующего статистического анализа на образованной последовательности локальных интервалов, с последующим объединением

86

набора локальных оценок для получения нестационарных статистических характеристик сигнала в целом. На локальных интервалах более удобно осуществлять определение статистических характеристик, которые в этом случае являются локальными и оцениваются на основе построения упрощённых локальных моделей сигналов.

Пусть наблюдается в общем случае нестационарный случайный сигнал y(i), i 0, 1,..., N f 1, N f – общее число наблюдений.

Ставится задача получения функций оценок математических ожиданий и дисперсий для нестационарного сигнала по одной реализации. Общий интервал времени наблюдения разбивается на m локальных интервалов, j – номер локального интервала, j 1, 2,..., m, через N1, N2 ,..., Nm 1 обозначаются номера точек,

где происходит стыковка локальных интервалов. К локальному интервалу с номером j принадлежат точки с номерами, которые удовлетворяют неравенствам: N j 1 i N j , N0 0, N0 N f .

В пределах выделенных локальных интервалов будем считать, что случайные сигналы являются квазистационарными. Тогда последовательность для локальных оценок математических ожиданий и дисперсий исследуемого сигнала на локальных интервалах вычисляется следующими суммами:

		1	N j 1		1		N j 1
	my, j		y(i),	Dy, j			( y(i) my, j )2 ,	j 1, 2,..., m.
		N			N 1
			i N j 1				i N j 1

Оценки указанных статистических характеристик нестационарного сигнала на основном временном интервале будут представляться в виде кусочно-постоянных функций.

3.2.Оценивание и устранение трендов для нестационарных сигналов

3.2.1. Определение трендовых функций для нестационарных сигналов

В ряде случаев нестационарные сигналы могут обладать особенностями, которые значительно упрощают задачи цифровой обработки. Вполне возможны ситуации, когда исследуемые случайные нестационарные сигналы имеют специальную структуру, позво-

87

ляющую выделить в них детерминированные низкочастотные трендовые функции.

Положим, что рассматриваемые нестационарные сигналы описываются функциональными моделями, которые специальным образом учитывают их нестационарный характер. Пусть является заданным исходный стационарный широкополосный сигнал х0 (t) с

нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией и составляющие модулирующие функции р1(t), р2 (t), р3 (t). На их

основе определяются нестационарные сигналы х1(t), х2 (t), х3 (t) с

модулирующими функциями, которые действуют мультипликативно, аддитивно или изменяют временной масштаб:

х1(t) р1(t)х0 (t), х2 (t) х0 (t) р2 (t), х3 (t) х0 (tр3 (t)). (3.2.1)

Возможны определения нестационарных сигналов вида х4 (t) с действием комбинаций модулирующих функций, например, в виде

х4 (t) р1(t)х0 (tр3 (t)) р2 (t).

(3.2.2)

Формулы для функциональных моделей сигналов (3.2.1), (3.2.2) допускают различные варианты обобщений; так, в ряде случаев нестационарные сигналы могут состоять из суммы нескольких модулированных несущих сигналов или быть многомерными.

Модулирующие функции р1(t), р2 (t), р3 (t) обусловливают нестационарный характер сигналов х1(t), х2 (t), х3 (t) и х4 (t). Как правило, функции р1(t), р2 (t), р3 (t) являются низкочастотными; по отношению к этим функциям сигнал х0 (t) имеет существенно более высокие частоты. Условие низкочастотности для функций р1(t), р2 (t), р3 (t) почти эквивалентно введению ограничений на

их производные; поэтому в ряде случаев используется термин «медленные» модулирующие функции. Иногда модулирующие функции р1(t), р2 (t) называются трендовыми.

3.2.2.Алгоритмы локального оценивания трендовых функций, устранение трендовых функций

В практике ЦОС существует целое множество задач, в которых требуется произвести оценивание указанных трендовых функций

88

p1(Ti),

для нестационарных сигналов или осуществить их устранение (центрирование и нормализацию).

Перейдём от непрерывных функций в (3.2.1), (3.2.2) к дискретным x(Ti), x0 (Ti), p2 (Ti). Будем рассматривать наблюдения нестационарных сигналов, описываемых функциональными моделями типа (3.2.1), (3.2.2), y(Ti), i 0, 1,..., N f 1. Осу-

ществим разбиение временного интервала наблюдения на m равных локальных интервалов по N точек, допустим, что mN N f . К

локальному интервалу с номером j, j 1,..., m, принадлежат точки с номерами, которые удовлетворяют неравенствам N( j 1)i Nj 1 . Пусть модельные наблюдения формируются с помощью соотношения

y(Ti) x(Ti) w(Ti),

(3.2.3)

где w(Ti) – модельные помехи, являющиеся случайными независимыми нормальными числами с нулевым математическим ожиданием и дисперсией 2w.

Рассмотрим нестационарный случайный сигнал с мультипликативным и аддитивным трендами вида

х(Ti) р1(Ti)х0 (Ti) р2 (Ti). .	(3.2.4)
Будем полагать, что трендовые функции р1(Ti),	р2 (Ti) , яв-

ляющиеся медленными, могут быть заменены на локальных интервалах на кусочно-постоянные. Примем, что мультипликативная трендовая функция всегда положительна p1(Ti) p0 0; в этом

случае оценки трендовых функций p1 j (Ti), p2 j (Ti) на локальных

интервалах совпадают с оценками математических ожиданий и дисперсий:

	1	Nj 1					1		Nj 1
m j			y(Ti),	Dj						( y(Ti) m j )2 ,
	N					N 1
		i N ( j 1)							i N ( j 1)
			j2 Dj ,		j 1,..., m,					(3.2.5)
p1 j (Ti) j , p2 j (Ti)				m j			для		N( j 1) i Nj 1,
p1 j (Ti) 0,	p2 j (Ti) 0 для			0 i N( j 1),						N( j 1) i N f	1.
					89

Оценки трендовых функций представятся в виде суммы оценок на локальных интервалах

m	m
p1 (Ti) p1 j (Ti),	p2 (Ti) p2 j (Ti),	i 0, 1,..., N f	1.
j 1	j 1

Проиллюстрируем предложенный алгоритм вычислениями на математических моделях. Сигнал x0 (Ti) сформируем с использованием датчика нормальных случайных чисел с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией; возьмём N f 512,

T 0,02 c. Модели для трендовых функций примем в виде

р1(Ti) p01e Ti , р2 (Ti) p02 cos(2 f Ti ),

где параметры этих функций принимают следующие значения: р01 2,7, 0,2, р02 8, f 0,04 Гц, 3,1. На рис. 3.2.1 изображена отдельная реализация модельных наблюдений нестацио-

нарного сигнала (3.2.3), (3.2.4) с 2w 0.

Рис. 3.2.1. Реализация модельных наблюдений нестационарного сигнала

Рис. 3.2.2а и 3.2.2б содержат изображения оценок трендов в виде кусочно-постоянных функций – линии 1, полученные с помощью (3.2.5). Для вычисления оценок число локальных интервалов было принято равным m 16 (N 32). Одновременно на этих же

рисунках отмечены пунктирными линиями 2 модельные трендовые функции.

90