gos / Гетманов1

жет быть тем меньше, чем меньше рассматриваемый временной интервал. В случае, если требуется реализовать построение модели узкополосного сигнала на большом интервале времени, то в качестве такой модели может быть использована последовательность кусочно-синусоидальных модельных функций вида (2.3.4).

Возможно уточнение модели для узкополосного сигнала на малом интервале времени, учитывающее в сигнале частотную модуляцию. Примем модель yМ (c, Ti) в виде кусочно-синусоидальной

функции с линейной частотной модуляцией

yM (c, Ti) a cos( Ti (Ti)2 /2) bsin( Ti (Ti)2 /2),

где сТ (a, b, , ), амплитудные параметры a, b входят в выраже-

ние для модели линейно, частота и скорость частоты входят нелинейно.

Дальнейшее уточнение модели для узкополосного сигнала может быть реализовано на основе одновременного учёта амплитуд-

ной и	частотной	модуляции. В этом случае примем модель
yМ (c,	Ti) в виде	кусочно-синусоидальной функции с линейной

частотной и амплитудной модуляцией

yM (c, Ti) ( A BTi)cos( Ti (Ti)2 /2 ),

где вектор параметров сТ (a, b, , , ); амплитудные параметры A, B входят в выражение для модели линейно; частота , скорость

частоты и начальная фаза входят нелинейно.

Иногда узкополосный сигнал может реализовываться в аддитивной смеси с низкочастотным трендом, природа которого бывает самой различной. В этом случае модель сигнала с трендом на малом интервале времени для i 0, 1,..., N 1 целесообразно принять

в виде

yM (c, Ti) a cos Ti bsin Ti d1 d2Ti,

где параметры сT (a, b, d1, d2 ) входят в выражение для модели

линейно; частота нелинейно. Низкочастотный аддитивный тренд на малом временном интервале представится в виде модельной ку-

сочно-линейной функции d1 d2Ti.

Для полигармонического сигнала, состоящего из суммы разночастотных узкополосных сигналов, на малом временном интервале для i 0, 1,..., N 1 возможно использование следующей модели

51

L

yM (c, Ti) (al cos lTi bl sin lTi).

l1

Вэтом случае вектор параметров cT (a1,..., aL , b1,..., bL , 1,..., L )

размерности (3L,1) . Амплитуды a1,..., aL , b1,..., bL входят в модель линейно, частоты 1,..., L нелинейно.

Следует отметить важный для дальнейших рассмотрений класс моделей сигналов, которые линейно зависят от вектора параметров

cT (c ,...,	c )
1	m
	m
	yM (c, Ti) cr r (Ti),	i 0,1,..., N 1.	(2.3.5)

r 1

Для линейных по параметрам моделей должны быть введены базисные функции r (Ti), r 1,..., m, известного вида, зависящие от

дискретных аргументов. Модель (2.3.5) может быть представлена в виде скалярного произведения

y (c, Ti) сT (Ti),	(2.3.6)
M

где T (Ti) ( 1(Ti),..., m (Ti)) – векторная базисная функция. Достаточно часто встречаются модели, линейные по части па-

раметров
	y (c,	Ti) y	(c , c ,	Ti) сT (c , Ti).		(2.3.7)
	M	M	1 2	1	2
Параметры	модели	(2.3.7)	объединяются		в блочный	вектор
сT c1T , c2T ,	где вектор с1Т с1,1			,..., с1, m	размерности	m1, 1
				1	,..., с2,m размерности
входит в модель линейно,			вектор с2Т с2,1
					2

m2 ,1 входит в модель нелинейно.

Отметим особо подкласс линейных моделей, для которых дискретные базисные функции являются ортогональными. По опреде-

лению, функции r (Ti) ,	r 1,..., m, составляют ортогональный ба-
зис для точек i 0,1,..., N 1, если выполняется условие
N 1	2 ,		r s;	(2.3.8)
r	(Ti) s (Ti)	r	r s.
i 0		0,
	52

2.4. Оценивание параметров моделей сигналов

2.4.1. Оценивание параметров моделей как задача аппроксимации

Рассмотрим возможную постановку задачи оценивания параметрических модельных функций сигналов. Реализуем подход, свя-

занный с оптимальной аппроксимацией наблюдений сигналов.

Допустим, что имеется возможность замены параметрической функции сигнала p(t) на (t0 , t f ), p(t) P0 , на специальную по-

добранную модельную параметрическую функцию сигнала в виде

функции известного вида f (c, t),			зависящей от конечно-мерного
вектора	параметров cT (c ,..., c		). Будем считать, что функции
	1	m
f (c, t)	принадлежат некоторому множеству F0 , которое, в свою

очередь, является подмножеством множества Р0:

f (c,t) F0 P0.

Условие принадлежности f (c, t) F0 будем считать эквивалентным введению ограничивающего множества для вектора парамет-

ров	с Rm , где Rm – заданное подмножество множества Rm ,
	0	0
Rm	Rm ,	Rm – множество всех возможных векторов размерности
0
m. Примем, что множества F			и Rm являются замкнутыми.
		0	0

Из-за того, что вектор с является конечно-мерным, в общем случае оказывается невозможным осуществить замену p(t) на f (c, t)

с бесконечно малой погрешностью. Однако всегда можно подобрать такую функцию f (c, t), которая с некоторой заданной конеч-

ной точностью смогла бы заменить параметрическую функцию

p(t). Последнее означает, что для любой функции									p(t),	принадле-
жащей к P0 , и некоторых малых , 0 (не любых малых), должны
найтись векторы c R0 и,				соответственно, функции f (c, t) F ,
	m									0
которые обеспечивали бы выполнение неравенств
	p(t) f (c, t)		,		x( p(t), t) x( f (c,t), t)				0.	(2.4.1)

В связи с условием (2.4.1) в качестве параметрической модели сигнала может быть принята функция вида

53

yM (c, t) x( f (c, t), t).	(2.4.2)
Примем, что функция наблюдения	у(t), модель сигнала

x( f (c, t), t) и погрешности наблюдений w(t) cвязаны соотношени-

ем

у(t) x( f (c, t), t) w(t).

Введём функционал S(c, y), являющийся мерой близости наблюдений у(t) и модельной функции x( f (c,t), t):

S(c, y) y(t) x( f (c,t), t).

Оценка p (t) исходной параметрической функции вследствие замкнутости R0m определяется на основе решения задачи опти-

мальной и аппроксимации наблюдений заданной моделью сигнала, сводящейся к применению нелинейного программирования

c arg{ min S( у,c)},	p (t) f (c , t).	(2.4.3)
c Rm
0
Таким образом, благодаря введению замены функции		p(t) на

f (c, t) с удовлетворением условий (2.4.1), формированием соответствующей модели сигнала x( f (c, t), t) (2.4.2) и введению функционала S(c, y) предложена технология решения задачи получения оценок исходных параметрических функций p (t) на основе нели-

нейного программирования в задаче (2.4.3).

Поясним особенности выбора модельных параметрических функций f (c, t) на примере для нестационарного колебательного

сигнала x(t), рассматриваемого на некотором ограниченном ин-

тервале времени

x(t) E(t)cos (t).

Амплитудная и фазовая функции E(t), (t) служат в качестве параметрических функций для сигнала x(t), pT (t) (E(t), (t)), p1(t) E(t), p2 (t) (t). Векторная параметрическая функция p(t) для сигнала имеет размерность (2, 1).

Положим, из априорных сведений, связанных с физическими особенностями сигнала и объекта, что сигнал x(t) имеет почти си-

нусоидальную амплитудную модуляцию и его несущая частота меняется почти линейно во времени. В этом случае параметрической

54

функции p1(t) может быть поставлена в соответствие модельная

функция

f1(c, t) c10 c11 sin(c12t c13 ),

параметрической

функции

p (t)

–

модельная

функция

f

2

(c, t) c

c t c t2.

Вектор

2

20

21

22

cT (c

, c

, c

, c

, c

, c

, c )

для

f (c, t)

имеет

размерность

10

11

12

13

20

21

22

m 7.

С учётом введённых формул для f1(c, t), f2 (c, t)

функция

f (c, t) примет следующий вид

f (c, t)

f1

(c, t)

c10 c11 sin(c12t c13 )

.

f

2

(c, t)

c c

t c t 2

20

21

22

В качестве модели сигнала может выступать функция

x( f (c, t)t) (c10 c11 sin(c12t c13 ))соs (c20 c21t c22t2 ) .

Рассмотрим возможную постановку задачи нахождения решения для задачи (2.4.3) – оценивания параметрических функций сигналов в дискретном случае.

Положим, что все переменные заданы в дискретные моменты времени Ti, i 0, 1,..., N 1, T – шаг дискретности по времени. От-

резок времени наблюдения (t0 , t f ) определяется условиями: t0 0, t f T (N 1). Разберём случай наблюдений, который представля-

ется следующей моделью

y(i) x( f (c, Ti), Ti)) w(i).

Пусть погрешности наблюдений w(i) являются некоррелиро-

ванными нормально распределёнными нормальными числами с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией. Функционал S( y, c) с учётом заданных свойств погрешностей за-

пишется в виде соотношения

N 1

S( y, c) ( y(i) x( f (c, Ti), Ti))2.	(2.4.4)
i 0
Минимизация функционала S( y, c) по вектору параметров	с Rm
	0

приводит к задаче нелинейного программирования. Нахождение оптимального вектора параметров с позволяет построить оптимальную аппроксимационную модель x( f (c , t), t), оценку для па-

раметрической модельной функции f (c , Ti) и на её основе определить оценку параметрической функции сигнала p (Ti)

55

c arg{ min S( у, c)},	p (Ti) f (c , Ti),	i 0,1,..., N 1.
c Rm
0

2.4.2.Оценивание параметров линейных моделей для действительных сигналов

Рассмотрим решение задачи оценивания параметров линейных моделей для действительных сигналов. Пусть произведены наблюдения y(i) y(Ti) на конечном временном интервале для

i 0,1,..., N 1. Представим линейную по параметрам модельную функцию сигнала с использованием (2.3.6)

yM (c, Ti) cT (Ti).

Сформируем функционал S(c, y), являющийся мерой близости мо-

дели и наблюдений,	который определяется разностями
y(c, Ti) y(i) cT (Ti).	Вследствие линейности модели S(c, y),
представляет собой квадратичную форму от c
N 1	N 1
S(c, y) = y2 (c, Ti) ( y(i) cT (Ti))2.
i 0	i 0

Введём векторно-матричные переменные:

			y(0)			c1
		Y	y(1)		, c	c2
			.			.
			y(N 1)			cm
		1(T 0),	2 (T 0), ...
	X	1(T 1),	2 (T 1), ...
		.	.	...
		1(T (N 1)),	2 (T (N 1)), ...

,

	m (T 0)
	m (T 1)	,
	.
	m (T (N 1))

где Y – вектор наблюдений размерности (N,1); c – вектор параметров модели размерности (m, 1); X – матрица плана сигнала размерности (N, m). Нетрудно видеть, что разность для наблюдений и модели может быть сформирована в векторном виде

56

Y (c) Y Xc .

(2.4.5)

На основе введённых векторов и матриц функционал S(c, Y ) запи-

сывается как скалярное произведение и представляет собой квадратичную форму

S(c, Y ) Y T (c) Y (c) (Y Xc)T (Y Xc)

(2.4.6)

Y T Y Y T Xc cT X T Y cT X T Xc.

Сучётом того, что имеет место равенство YT Xc cT X TY , можно записать

S(c, Y ) YTY 2cT X TY cT X T Xc.

Нетрудно проверить, что для квадратичной формы S(c, Y ) спра-

ведливо равенство

YTY 2cT X TY cT X T Xc YT Y ((X T X ) 1 X TY c)T (X T X )

((X T X ) 1 X TY c) YT X (X T X )X TY.

Очевидно, минимальное значение этой квадратичной формы дос-

тигается при
c (X T X ) 1 X TY.	(2.4.7)

Последнее выражение может быть представлено в виде системы линейных уравнений

X T X c	X T Y.
Введём обозначения D X T X ,	b X T Y. Матрица D имеет раз-

мерность (m, m); элементы этой матрицы симметричны относи-

тельно главной диагонали и определяются как скалярные произведения базисных функций

	N 1
drs	r (Ti) s (Ti),	r, s 1,..., m.
	i 0
Элементы вектора	b X T Y размерности (m,1) – коэффициенты

Фурье, вычисляются как взвешенные суммы наблюдений

N 1

br r (Ti) y(i) , r 1,..., m.

i 0

Нахождение оптимального вектора параметров c сводится к решению линейной системы уравнений

Dc b.

57

2.4.3. Оценивание параметров линейных моделей для комплексных сигналов

Рассмотрим решение задачи оценивания параметров линейных моделей для комплексных сигналов. Введём комплексные наблю-

дения y(i) y1(i) jy2 (i) и комплексную модель сигнала cT (Ti),

определяемую комплексным вектором параметров cT (c ,...,c ) и
			1	m
комплексной	базисной функцией	T (Ti) ( (Ti),..., (Ti)),
		1		m
сr c1r jc2r ,	r (Ti) 1r (Ti) j 2r (Ti),		r 1,..., m,

i 0,1,..., N 1. Функционал (2.4.6) в этом случае запишется с ис-

пользованием суммы произведений сопряженных комплексных множителей

N 1
S(c, Y ) ( y(i) cT (Ti))* ( y(i) cT (Ti)).	(2.4.8)

i 0

По аналогии с (2.4.5) введём комплексную разность функции наблюдения и модели Y (c) Y Xc. Воспользовавшись введёнными

векторно-матричными переменными, но в комплексной форме, представим функционал S(Y , c) (2.4.8)

S(Y , c) Y *T (c) Y (c) (Y Xc)*Т (Y Xc).

С учётом равенства Y*T Xc c*T X *T Y запишем

S(Y , c) (Y Xc)*Т (Y Xc)

(2.4.9)

(Y * X *c* )T (Y Xc) Y *T Y 2Y *T Xc c*T X *T Xc.

Очевидно, справедливо равенство

Y*T Y 2Y*T Xc c*T X *T Xc Y *Т Y (( X *Т X ) 1 X *Т Y c* )T

( X *Т X ) (( X *Т X ) 1 X *Т Y c) Y T X * ( X *T X ) 1 X *T Y.

Минимальное значение этой квадратичной формы (2.4.9) дости-

гается при
c ( X *T X ) 1 X *T Y.	(2.4.10)

Оценка с из (2.4.10) может быть найдена с помощью решения системы линейных уравнений

58

( X *T X ) c X *T Y ,	Dc b.	(2.4.11)
Коэффициенты матрицы D вычисляются в виде скалярных произ-
ведений векторов *r (Ti), s (i), i 0,1,..., N 1:
N 1
drs *r (Ti) s (Ti) ,	r, s 1,..., m.	(2.4.12)

i 0

Коэффициенты вектора b (коэффициенты Фурье) вычисляются в

виде скалярных произведений	векторов *r (Ti),	y(i),
i 0,1,..., N 1:
N 1
br *r (Ti) y(i) ,	r 1,..., m.	(2.4.13)
i 0

Если базисные функции ортогональны, то нахождение параметров модели упрощается. Матрица D будет диагональной с элементами

d	rr	2	,	r 1,..., m, d	rs	0,	r s.
		r

Оптимальные параметры модели Фурье

		1	N 1
	сr		*r (Ti) y(i)
		2
			i 0
		r

выразятся через коэффициенты

		br	,	r 1,..., m.	(2.4.14)
		2
		r

2.5. Модели сигналов на основе рядов Фурье. Интеграл Фурье

2.5.1. Модели сигналов на основе действительного ряда Фурье

Рассмотрим построение моделей сигналов на основе действительного ряда Фурье.

Пусть наблюдения cигнала заданы в виде действительной функции y(t) на конечном интервале времени 0 t T0. Рассмот-

рим варианты условий сходимости рядов Фурье для y(t) . Первый вариант: если в некотором промежутке (t0 h, t0 h) с центром в точке t0 функция y(t) имеет ограниченное изменение, то её ряд

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. М.: Физматгиз. 1963. 656 с.

59

Фурье в указанном интервале для t0 , 0 t0 T0 , сходится к y(t0 ). Второй вариант: если функция y(t), определённая на интервале 0 t T0 , имеет на нём не более чем конечное число точек разрыва, её ряд Фурье в точке непрерывности t0 сходится к y(t0 ) или к сумме ( y(t0 0) y(t0 0))/2 в каждой точке разрыва t0 . Будем полагать, что для рассматриваемого сигнала y(t) выполнены

сформулированные условия сходимости.

Выбирается модель для указанного сигнала в форме действительного ряда Фурье следующего вида

		a0
	yM (c, t)		(al cos lt bl sin lt).	(2.5.1)
	2		l 1
Значения	модельных		частот фиксированы	l l,
2 /Т0 ,	l 2 l T0 и определяются длиной интервала наблю-

дения, модельные синусоиды располагаются с шагом по частоте, который зависит от Т0 . Вектор параметров модели имеет бес-

конечную размерность, сT (a0 , a1, a2 ,....., b1, b2 ,....), b0 0. Благодаря выбору частотного параметра оказывается, что на интервале времени Т0 укладывает целое число периодов базисных

функций cos lt cos lt		и		sin lt sin lt.	Вследствие этого,
указанные базисные функции являются ортогональными.
Функционал для решения задачи аппроксимации функции на-
блюдений y(t) на основе сформированной модели имеет вид
T0		a			2
S(c, y)	y(t)	0		(al cos lt bl	sin lt) dt.
		2
0				l 1

Нахождение вектора параметров модели сводится к минимизации указанного функционала, который, очевидно, является квадратичным по с:

с arg{min S(c, y)},	c	T (a , a , a ,....,b , b ,...).
c		0	1	2	1	2

Ограничимся конечным числом синусоид, составляющих модель, равным L. В этом случае вектор базисных функций для моде-

60