gos / Гетманов1

ли (2.5.1) имеет размерность (2L 1, 1) и выглядит на интервале 0 t T0 следующим образом:

T (t) (12, cos t, cos 2 t,..., cos L t, sin t, sin 2 t,..., sin L t).

Нетрудно убедиться в том, что для 0 t T0 составляющие базис

функции ортогональны. Действительно, легко проверить, что интегралы от произведений базисных функций равняются нулю:

	Т			Т
	0	1	cos l tdt 0,	0	1	sin l tdt 0,		l 1,..., L ,
		2			2
	0			0
	Т0						Т0
	cosl1 t cos l2 tdt 0,						cos l1 t sin l2 tdt 0,
	0						0
	Т0
	sin l1 t sin l2 tdt 0,						l1 l2 и	l1, l2 1,..., L.
	0

Вычислим интегралы от квадратов базисных функций:

	Т0	1		1		Т			Т0	T0	1		T
					dt		0	,	cos2 l tdt			(1 cos 2l t)dt	0	,
		2		2		4					2		2
	0								0	0

Т0 sin2 l tdt T20 .

0

Основываясь на произведённых выкладках, с учётом формулы (2.4.14) для решения линейной системы с ортогональными базисными функциями, получим оптимальные значения коэффициентов модели для фиксированного L:

		T					T				T
a0	4	0	1	y(t)dt		2	0	y(t)dt,	al	2	0	y(t)cosl tdt,
	T		2			T				T
0		0			0		0		0		0

bl 2 T0 y(t)sin l tdt.

T0 0

Устремим число базисных функций в бесконечность, L . Естественно, можно сразу записать, опустив знак , формулы для оп-

61

тимальных параметров модели, которые являются известными коэффициентами разложения Фурье:

		T				T
al	2	0	y(t) cos ltdt,	bl	2	0	y(t)sin ltdt,	l 0,1, 2,... .
	T				T
0		0		0		0

В силу ортогональности базисных функций модели ряда Фурье мощность P сигнала, сформированного на основе ряда Фурье, сла-

гается из мощностей составляющих синусоид Pl , мощность для l-й синусоиды определяется амплитудами

			A2
	P Pl ,	Pl	l	,	Al2 al2 bl2 ,	l 0, 1, 2,... .
			2
	l 1

Благодаря ортогональности данного базиса для рассматриваемой модели возможно представление дискретного спектра мощности в виде бесконечной последовательности равноотстоящих на по оси частот значений Pl .

Сходимость функций модельного ряда Фурье зависит от числа членов, которые учитываются в разложении и от свойств аппроксимируемого сигнала. В случае, если производные для сигнала y(t) претерпевают разрывы или резкие изменения, то модельный

ряд Фурье становится колебательным в области разрывов (резких изменений) и возникает так называемый эффект Гиббса.

Рассмотрим численные примеры вычисления модельных рядов Фурье с конечным числом членов, основываясь на (2.5.1):

		a0	L
	yM (с,t)		(al cos lt bl sin lt),	сТ (a0 , a1,..., aL , b1,..., bL ).
	2		l 1

Пример 1. Содержит разложение в ряд Фурье на интервале вре-

мени T0 для ступенчатого сигнала y1(t) :
y1(t) 1, для 0 t T01, y1(t) 0 для	Т01 t T0.	(2.5.2)

Коэффициенты Фурье для ряда Фурье вычисляются по следующим формулам, исходя из вида аппроксимируемой функции y1(t):

2Т

2

T01

2

2

T01

2

а0

01

,

al

1 cos

lt dt,

bl

1 sin

lt dt,

T0

T0

T0

Т0

0

T0

0

l 1,..., L.

62

Проинтегрируем, опустим промежуточные выкладки, получим

a

1

(cos T

1),

b

1

sin T ,

2

l.

l

l

l 01

l

l

l 01

T0

l

На рис. 2.5.1а изображён график функции модельного ряда Фурье yM1(с,t) для Т0 1, Т01 0,6 и L 25 – кривая 1, в точках разрыва ряд Фурье стремится к значению 1/2. Пунктирной линией 2 изображён аппроксимируемый сигнал y1(t). Видно, что функция

yM1(с,t) претерпевает довольно значительные колебания в областях нарушения непрерывности y1(t) (в окрестности точек Т0 и Т01), т.е. имеет место эффект Гиббса.

Пример 2. Содержит разложение в ряд Фурье на интервале времени длительностью T0 для кусочно-линейного непрерывного сиг-

нала y2 (t) :

y2 (t) 1 для 0 t T02 ,	y2 (t) с1t d1	для Т02 t T03	,
y2 (t) 0 для T03 t T04 ,	y2 (t) с2t d2	для Т04 t T0.	(2.5.3)

Уменьшение колебаний из-за эффекта Гиббса может быть достигнуто при условии, если аппроксимируемый сигнал будет непрерывным.

Непрерывность y2 (t) обеспечивается при условии выполнения

равенств

с1 1/ (T02 T03 ), d1 c1T03 , с2 1 / (T0 T04 ), d2 c2T04.

Для нахождения коэффициентов Фурье al , bl , l 1,..., L, запишем интегралы

2

T01

2

2 T03

2

a1l

1 cos

lt dt ,

a2l

(с1t d1)cos

lt dt ,

T0

T0 Т

0

T0

T0

02

2

T0

2

(2.5.4)

a3l

(c2t d2 )cos

lt dt ,

T0 T

T0

04

2

T01

2

2

T03

2

b1l

1 sin

lt dt , b2l

(с1t d1)sin

lt dt ,

T0

T0 0

T0 Т

02

T0

63

		2		T0				2
b3l					(c2t d2 )sin					lt dt ,
		T0 T
								T0
				04
al a1l a2l a3l ,							bl b1l b2l b3l ,
a	2		(T		(T	T		) /2 (T			T ) /2) .
0	T0			02	03	02				0	04

Вычисления (2.5.4) произведены с помощью табличных интегралов

t cos tdt	t	sin t	1	cos t C,
			2

t1

t sin tdt cos t 2 sin t C.

На рис. 2.5.1б изображён график функции модельного ряда Фурье

yM 2 (с, t).	Для y2 (t)	приняты значения Т0 1, Т02 0,55,
Т03 0,65,	Т04 0,95 и	L 25. Колебания функции модельного

ряда уменьшились, эффект Гиббса почти устранён.

Рис. 2.5.1а. Функция модельного ряда Фурье для ступенчатого сигнала

64

Рис. 2.5.1б. Функция модельного ряда Фурье для кусочно-линейного непрерывного сигнала

2.5.2. Модели сигналов на основе комплексного ряда Фурье

Для многих задач ЦОС используется обобщение разложения Фурье на комплексный случай. Пусть произведено наблюдение комплексной функции y(t) на интервале 0 t T0 , модель сигнала

представится комплексным рядом Фурье

l
yM (c, t) cl e j lt ,	2 /Т0	l l.	(2.5.5)

l

Комплексный вектор параметров модели имеет бесконечную раз-

мерность cT (...,c		, c		, c , c , c ,...). Функционал остаточной
	2	1		0 1 2
суммы примет вид
Т0			l		*		l
S(c, y)	y(t)				с l e j lt	y(t)	cl e j lt dt.		(2.5.6)
0			l				l

Так же как и для разд. 2.5.1, ограничимся конечным числом комплексных модельных синусоид, которые составляют модель; пусть число модельных синусоид равняется L. В этом случае вектор базисных функций для модели (2.5.5) имеет размерность (2L 1, 1) и

выглядит следующим образом

T (t) e j Lt , e j (L 1)t ,..., e j 1t , e j 0t , e j 1t ,..., e j (L 1)t , e j Lt .

65

Нетрудно убедиться в том, что на интервале времени 0 t T0 составляющие базис функции ортогональны. Действительно, интегралы от произведений базисных функций для l1, l2 L,..., L, l1 l2 , равняются нулю; нетрудно видеть, что с учётом комплексности выполняется равенство:

T0 e j l1t e j l2t dt 0.

0

Для l1 l2 справедливо соотношение

T0 e j lt e j lt dt Т0 .

0

Оптимальные параметры модели cl , обеспечивающие минимум

функционала (2.5.6), после того как сделаны необходимые выкладки и предельный переход L определяются следующими интегралами (опущен знак ):

		T
cl	1	0	y(t)e j lt dt,	l .	(2.5.7)
	T
0		0
Пусть для рассматриваемой функции сигнала y(t)					выполняют-

ся сформулированные в разд. 2.5.1 условия сходимости с учётом

комплексности. Тогда на оптимальных cl	из (2.5.7), очевидно,
должно выполняться равенство
l
y(t) cl e j lt .	(2.5.8)
l

Вследствие (2.5.8) остаточная сумма квадратов (2.5.6) – значение функционала для оптимальных параметров – должно принимать

нулевое значение S(c , y) 0 . Таким образом, можно записать два взаимных равенства:

		1	T0		l
	cl		y(t)e j lt dt,	l ,	y(t) cl e j lt .
		T
	0		0		l

Для действительных сигналов y(t) y1(t) j 0 можно выяснить соотношения между коэффициентами действительного al , bl и комплексного сl рядов Фурье. Действительно, можно записать

66

		c		1	T0	y (t)(cos lt j sin lt)dt,		l 1, 2,..., ,
				T
		l				1
				0	0
		T							T0
c l	1	0	y1(t)(cos lt j sin lt)dt,				l 1, 2,..., ,		с0 y1 (t)dt .
	T
0		0							0

Тогда легко видеть, что справедливы следующие равенства для

al , bl и сl :
cl c l al ,	c l cl jbl	и cl (al jbl ) / 2,
c l (al jbl ) / 2,		l 1, 2,..., .

Мощность l-й комплексной модельной синусоидальной функции вычисляется интегрированием на интервале 0 t T0 :

			yl (t) (c1l		jc2l )(cos lt j sin lt),
			y*(t) (c		jc	)(cos t j sin t),
			l	1l	2l	l	l
		1	T0				l
	Pl		yl (t) yl* (t)dt (c12l c22l ) cl*cl ,				P Pl .
		T
	0		0				l

Благодаря ортогональности используемого комплексного базиса общая мощность сигнала представляется в виде суммы мощностей составляющих как для положительных, так и отрицательных частот.

2.5.3. Интеграл Фурье. Свойства интеграла Фурье

Интеграл Фурье реализуется на основе рассмотрения комплексного ряда Фурье для бесконечного временного интервала; бу-

дем полагать, что сигнал y(t) с конечным числом точек разрывов

определён для t и для него выполняется условие абсолютной интегрируемости

T0

y(t) dt .

0

Данные условия являются достаточными для существования преобразования Фурье сигнала y(t).

Без потери общности примем временной интервал симметричным T0 /2 t T0 /2, пусть этот интервал расширяется

67

T0	k,	k 1,	2,...,		2	l	2	l	l	.
2				l	T0		2 k		k

Запишем коэффициенты разложения комплексного ряда Фурье для расширяющегося временного интервала T0 2 k

1

k

j

l

t

l

j

l

t

cl,k

yk (t)e

k

dt,

yk (t) cl,k e

k

.

2 k

k

l

Подставим выражение cl,k

в yk (t) :

l

j

l

t

1

k

j

l

y (t)

e

k

y ( )e

k

d .

2 k

k

k

l

k

	Устремим k , обозначим l							k d ,		l k , получим в пределе
					1
					2
	y(t)							y( )e j d e j t d .
	Сформируем интегралы
		1
	C( j )		y(t)e j t dt,						y(t) С( j )e j t d .
		2

Функцию C( j ) называют интегралом Фурье, или преобразовани-

ем Фурье для y(t). Два последних интеграла являются прямым и

обратным преобразованием Фурье. Сигнал представляется как во временной области при традиционном анализе, так и в частотной

области в виде непрерывных коэффициентов разложений Фурье

C( j ), .

Физический смысл функции C( j ) очевиден. Преобразование Фурье C( ) представляет собой предельную функцию коэффици-

ентов комплексного ряда Фурье.

Функция C( ) в общем случае является комплексной функцией частоты и допускает следующие представления:

C( )

C ( ) jC ( ),

C( )

C( j )

e j ( ) ,

1

2

где C1( )

и C2 ( )

– действительные и мнимые части;

C( j )

,

( ) – модуль и фаза преобразования Фурье.

Разберём некоторые свойства преобразований Фурье.

68

1. Из определения преобразования Фурье следует его линейность или свойство суперпозиции. Пусть функция y(t) представ-

ляет собой взвешенную сумму функций ys (t), для которых заданы их преобразования Фурье Cs ( j ) :

k
y(t) s ys (t),	Cs ( j ) F[ ys (t)].
s 1

Тогда, очевидно, преобразование Фурье C( j ) для y(t) вычисляется как взвешенная сумма преобразований Фурье Cs ( j ) :

k

C( j ) F[ y(t)], C( j ) sCs ( j ).

s 1

2. Пусть – масштабирующий множитель, преобразующий

функцию y(t) в y(t) y( t),

и C( j ) F[ y(t)]. Вычислим преоб-

разование Фурье для y(t). Определим C( j )

и C

( j ) :

1

1

С( j )

y(t)e j t dt,

С

( j )

y( t)e j t dt.

2

2

Введём переменную t1 t,

dt dt1

,

сделаем

подстановку в

C

( j ) и выразим C( j ) через C( j ) :

1

y(t1)e j

t1

1

1

С

( j )

dt1,

C

( j )

С

j

.

2

3. Пусть задано

преобразование

Фурье

для

функции y(t):

C( j ) F[ y(t)]. Введём запаздывание (сдвиг по времени) для

	функции y(t),				сформируем y(t) y(t ). Вычислим преобразова-
	ние Фурье для y(t) :
					1		1
	C		( j )			y(t )e j t dt		y(t )e j (t )e j dt,
				2			2

откуда вытекает

C( j ) C( j )e j .

69

Сделав аналогичные выкладки, получим, что преобразование Фурье для функции y(t), умноженной на e j 0t , сдвигается по час-

тоте

y(t) y(t) e j 0t , C( j ) C( j( 0 )).

4. Вычисление преобразование Фурье для комплексной синусоиды y(t) e j 0t требует предварительного определения -функ- ции.

Импульсной -функцией называется такая функция, которая удовлетворяет следующим двум условиям:

1)	(x) 0	для x 0 и (x) для x 0;
2)	(x) 1		для любого 0.

Импульсная -функция может рассматриваться как предел обычной функции (х) при 0. Например,

(x) 1/ 2 для		х		и (x) 0 для		х		.

Для -функции устанавливается важное равенство:

	b			(x0 ), a x0 b;
	(x) (x x0 )dx
	a			0, x0 a, x0 b,
	если (x) непрерывна в точке x0			и a b. Данное свойство может
	быть доказано путём вычисления следующего предела:
		b
	(x0 ) lim		(x) a (x x0 )dx.
	0
		a

С учётом сделанного определения можно записать преобразование Фурье для y(t) e j 0t :

C( j )	1	e j 0t e j t dt ( ).
	2		0

Действительно, подставив в выражение для обратного преобразования Фурье, получим тождество

y(t) ( 0 )e j t d e j 0t .

70