10.Терминальные задачи управления.

В терминальных задачах управления критерий качества включает в себя терминальную оценку , которая характеризует статические свойства системы свойства систем, их ошибки.

Пусть состояние динамической системы описывается дифференциальным уравнением вида =. Критерий качества включает в себя терминальную и интегральную составляющую:

Будем считать, что конечное время не задано, а функция Pпо крайней мере дважды непрерывно дифференцируема поxи поt.

В силу этого, Pможно представить следующим образом:

Подставим это выражение в функционал:

Так как и заданы, то=const.

Управление, минимизирующее данный функционал от константы не зависит. Следовательно, данную задачу мы можем рассматривать как задачу управления с функционалом (*)

Задача свелась к задаче с интегральным критерием качества, решение которой уже известно. Запишем условие принципа максимума для приведённой задачи.

Пусть — оптимальный процесс, который переводит систему из состоянияв. Тогда найдётся функция,иconst, для которых оптимальная траектория определяется решением следующей системыДУ:

Здесь и— гамильтониан и допустимая функция для задачи с критерием качества(*).

Гамильтониан для приведённой задачи (**)

Также выполняются следующие условия:

1. Условие максимума

2. Условие трансверсальности

3. Поведение гамильтона вдоль оптимальной траектории. Если t_fне задано:

если tf задано:

Введём в рассмотрение функцию следующего вида:

С учётом этой функции H (**) примет следующий вид

Где H — гамильтониан исходной задачи, который определяется следующим образом:

(***)

Рассмотрим, какому условию удовлетворяет вектор (t). Для этого продифференцируем условие его по времени:

Таким образом, получили условие (б) для исходной задачи.

Получим условие (а). Из соотношения (***) следует, что

Таким образом, условие (a) также получено.

1. Рассмотрим, какой вид принимает условие максимума по отношению к гамильтониану исходной системы.

Есть условие

для приведённой системы. А так как гамильтонианы исходной и приведённой системы связаны между собой соотношением

причём управление в не входит, то условие максимума сохраняется и для гамильтониана исходной системы

2. Выведем условие трансверсальности для исходной системы. Есть условие трансверсальности для приведённой системы

Из него необходимо вывести условие трансверсальности для исходной системы.

Воспользовавшись :

Если рассматривается двухточечная задача, то есть область цели — точка, то условие трансверсальности определяется только терминальной составляющей

Так как обычно полагают равным -1, условие трансверсальности принимает следующую форму:

3. Поведение гамильтониана вдоль оптимальной траектории.

У нас есть выражение для гамильтониана системы вдоль оптимальной траектории. Учитывая, что гамильтониан исходной и приведённой системы связан между собой следующим образом:

можем получить выражение для гамильтониана исходной системы.

Когда не задано,

Когда задано,

Замечание:

Если рассматривается задача Майера, в которой функционал состоит из одной терминальной составляющей, то гамильтониан и функция Гамильтона совпадают.

Поэтому все выражения для гамильтониана будут справедливы и для функции Гамильтона. Других различий между задачей Майера и только что рассмотренной задачей нет.

Сформулируем общий принцип максимума.

Пусть дана динамическая система, которая описывается дифференциальным уравнением вида

Задана область начальных и конечных состояний и и допустимы х управлений U.

Если — оптимальный процесс, в смысле минимума функционала

(+)

то найдётся и постоянная, относительно которых оптимальная траектория определяется решением следующей системы дифференциальных уравнений

гдеH— гамильтониан системы, имеющий вид

Также выполняются следующие условия:

1. Условие максимума

2. Условия трансверсальности

3. Поведение гамильтониана вдоль оптимальной траектории определяется соотношением

если не задано, формула А

если задано формула В

Замечание.Если ставится задача о максимуме функционала (+), то формула принципа максимума остаётся, но постоянная полагается неотрицательной (обычно её кладут равной единице).

24