- •1.6 Полярная и цилиндрическая системы координат
- •1. Полярная система координат.
- •1. Цилиндрические координаты точки в пространстве.
- •2.1 Понятие вектора
- •4.3 Проекция вектора на направление другого вектора
- •5.1 Определение векторного произведения
- •5.2 Вычисление векторного произведения двух векторов
- •5.3 Свойства векторного произведения
- •7.2 Плоскость
- •7.3 Прямая в пространстве
- •7.4 Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
- •8.1 Определение предела
- •8.2 Свойства пределов
- •8.3 Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •8.4 Первый замечательный предел
- •9.1 Определение функции одной переменной
- •9.2 Способы задания функции
- •9.3 Основные свойства функции
- •9.4 Основные элементарные функции. Их графики
- •10.1 Односторонние пределы
- •10.2 Определение непрерывности функции
- •10.2 Классификация точек разрыва функции
- •11.1 Определение второго замечательного предела
- •11.2 Следствия из второго замечательного предела
- •13.1 Определение приращения функции
- •13.2 Определение производной функции
- •13.3 Свойства производной функции
- •13.4 Производные основных функций
- •13.5 Производные обратных функций
- •14.1 Определение гиперболических функций
- •14.2 Производные гиперболических функций
- •14.3 Производные сложных функций
- •14.4 Производные высших порядков
- •15.1 Параметрическое задание функций
- •15.2 Производные параметрических функций
- •15.3 Уравнения касательной и нормали к графику функции в заданной точке
- •16.1 Определение дифференциала. Его геометрический смысл
- •16.2 Свойства дифференциала
- •17.4 Теорема Лагранжа
- •17.5 Правило Лопиталя
- •17.6 Производная от функции в степени функции
- •18.1 Определение экстремума
- •18.2 Условия существования экстремума
- •18.3 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •18.4 Точки перегиба графика функции
- •19.1 Вертикальные асимптоты
- •19.2 Наклонные асимптоты
- •20.1 Определение степенного ряда
- •20.2 Ряд Тейлора
- •20.3 Ряд Маклорена
7.2 Плоскость
Общее уравнение плоскости:
(7.10)
В уравнении (7.10) вектором-нормалью плоскости является вектор: .
Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору:
(7.11)
Уравнение плоскости, проходящей через начало координат:
(7.12)
Расстояние от точки до плоскости:
(7.13)
7.3 Прямая в пространстве
Уравнение прямой линии в пространстве, проходящей через точку , параллельно вектору(канонические уравнения прямой в пространстве):
(7.14)
В уравнении (7.14) вектор называется направляющим вектором прямой в пространстве.
Параметрические уравнения прямой линии в пространстве:
(7.15)
7.4 Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Углом между двумя плоскостями называется угол между нормалями этих плоскостей:
(7.16)
Условие параллельности плоскостей:
(7.17)
Условие перпендикулярности плоскостей:
(7.18)
Углом между двумя прямыми в пространстве называется угол между направляющими векторами этих прямых:
(7.19)
Условие параллельности прямых в пространстве:
(7.20)
Условие перпендикулярности прямых в пространстве:
(7.21)
Условие параллельности прямой и плоскости в пространстве:
(7.22)
Условие перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве:
(7.23)
Элементы математического анализа
ЛЕКЦИЯ 8
Предел функции одной переменной
8.1 Определение предела
Число называется пределом функциипри, если для всякого числасуществует такое число, что из выполнения неравенства:следует выполнение неравенства:
Обозначение:
8.2 Свойства пределов
Если существуют пределы и, то верны теоремы:
1.
2.
3.
4.
8.3 Бесконечно малые и бесконечно большие величины
Функция называется бесконечно малой, если выполняется равенство:
.
Функции и называются
бесконечно малыми одного порядка, если выполняется равенство:
.
Функции и называются эквивалентными бесконечно малыми, если выполняется равенство:
При вычислении пределов, бмв можно заменять эквивалентными бмв.
Функция называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция если выполняется равенство:
.
Функция, обратная бесконечно малой, называется бесконечно большой.
.
8.4 Первый замечательный предел
(8.1)
Следствия из первого замечательного предела
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Из равенств 1, 4, 5 следует, что при выполняется:
ЛЕКЦИЯ 9
Функция одной переменной