18.3 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Своего наибольшего значения на некотором отрезке функция может достигать либо на концах данного отрезка (либо в одном из концов), либо в точке максимума.

Своего наименьшего значения на некотором отрезке функция может достигать либо на концах данного отрезка (либо в одном из концов), либо в точке минимума.

18.4 Точки перегиба графика функции

График функции называется выпуклым вниз на некотором интервале , если он расположенвыше касательных, проведенных к нему в точках .

График функции называется выпуклым вверх на некотором интервале , если он расположенниже касательных, проведенных к нему в точках .

Для точек, в которых график функции является выпуклым вниз выполняется неравенство: .

Для точек, в которых график функции является выпуклым вверх выполняется неравенство: .

Точки, в которых меняется направление выпуклости графика функции (если такие существуют), называются точками перегиба.

1. Необходимое условие существования точек перегиба графика функции.

Если точка является точкой перегиба графика функции ,то в этой точке выполняется равенство:

2. Достаточное условие существования точек перегиба графика функции.

Если в некоторой окрестности точки функция непрерывна и имеет вторую производную, причем , и при переходе через точку вторая производная меняет знак, то точкаявляется точкой перегиба функции .

ЛЕКЦИЯ 19

Асимптоты графика функции

19.1 Вертикальные асимптоты

Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если:

(19.1)

Пример. Рассмотрим функцию: . Очевидно, что особыми точками этой функции являются точки ее разрыва второго рода: . Найдем пределы:Следовательно, вертикальными асимптотами данной функции являются прямые:

19.2 Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту находим в виде:

(19.2)

Где:

; (19.3)

. (19.4)

Пример. Рассмотрим функцию . Особых точек данная функция не имеет, т.к. ее знаменатель не обращается в ноль. Найдем наклонную асимптоту.

1)

2)

Следовательно, наклонная асимптота данной функции:

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ ДЛЯ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ

22.

Лекция 20

Ряды Тейлора и Маклорена

20.1 Определение степенного ряда

Рядом называется сумма бесконечного числа слагаемых, каждое из которых является функцией целочисленного положительного аргумента «».

Обозначение:

(20.1)

При этом называетсяобщим членом ряда.

Всякий член ряда получается из общего члена ряда подстановкой вместо его порядкового номера.

Пример

Степенным рядом называется ряд вида:

Такой ряд называется рядом по степеням

разности .

Если , то степенной ряд принимает вид:

.