17.4 Теорема Лагранжа

Пусть функция непрерывна на отрезкеи дифференцируема на интервале, тогда

существует хотя бы одна точка , в которой выполняется равенство:

(17.2)

Доказательство.

Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши. Пусть , тогда равенство (17.1) запишется в виде:, откуда следует:, что и требовалось доказать.

Формула (17.2) называется формулой Лагранжа о конечном приращении.

Приращение функции на некотором отрезке равно приращению аргумента на этом отрезке, умноженному на производную данной функции в некоторой внутренней точке отрезка.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа.

На графике функции найдется такая точка, чтокасательная к графику в этой точке параллельна секущей, проведенной через точки и.

17.5 Правило Лопиталя

Если функции инепрерывны и дифференцируемы в окрестности некоторой точки (в точкеэто может не выполняться) исуществует предел: , то имеет место равенство:

(17.3)

17.6 Производная от функции в степени функции

Рассмотрим функцию . Чтобы найти производную этой функции прологарифмируем обе части данного равенства по основанию, получим:

.

Таким образом, производная от функции в степени функции равна сумме производных данной функции, как показательной и как степенной.

(17.4)

Формула (17.4) дополнит таблицу производных под номером: 22.

ЛЕКЦИЯ 18

Экстремум функции одной переменной

18.1 Определение экстремума

1. Точка называетсяточкой минимума функции , если существует такаяокрестность данной точки, что для всех , принадлежащих этой окрестности выполняется неравенство:.

2. Точка называетсяточкой максимума функции , если существует такаяокрестность данной точки, что для всех , принадлежащих этой окрестности выполняется неравенство:.

3. Точки минимума и максимума называются точками экстремума функции .

4. Значение функции в точке минимума называется минимумом функции.

5. Значение функции в точке максимума называется максимумом функции

.

6. Минимум (или максимум) функции называетсяэкстремумом функции .

Рассмотрим график функции :

- точка минимума функции

- точка максимума функции

- минимум функции

- максимум функции

18.2 Условия существования экстремума

Запишем без доказательства теоремы:

Теорема 1.

Если для непрерывной и дифференцируемой на некотором отрезке функциивыполняется неравенство:, то эта функция возрастает на интервале .

Теорема 2.

Если для непрерывной и дифференцируемой на некотором отрезке функциивыполняется неравенство:, то эта функцияубывает на интервале .

1. Необходимое условие существования экстремума.

Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке, то производная этой функции в данной точке равна нулю:.

2. Достаточное условие существования экстремума.

Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой окрестности точки , причем, ипроизводная этой функции при переходе через данную точку меняет знак, то точка являетсяточкой экстремума функции .

Согласно теоремам 1; 2 можем записать:

Если производная меняет знак с плюса на минус, то точка экстремума – точка максимума.

Если производная меняет знак с минуса на плюс, то точка экстремума – точка минимума.