- •1.6 Полярная и цилиндрическая системы координат
- •1. Полярная система координат.
- •1. Цилиндрические координаты точки в пространстве.
- •2.1 Понятие вектора
- •4.3 Проекция вектора на направление другого вектора
- •5.1 Определение векторного произведения
- •5.2 Вычисление векторного произведения двух векторов
- •5.3 Свойства векторного произведения
- •7.2 Плоскость
- •7.3 Прямая в пространстве
- •7.4 Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
- •8.1 Определение предела
- •8.2 Свойства пределов
- •8.3 Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •8.4 Первый замечательный предел
- •9.1 Определение функции одной переменной
- •9.2 Способы задания функции
- •9.3 Основные свойства функции
- •9.4 Основные элементарные функции. Их графики
- •10.1 Односторонние пределы
- •10.2 Определение непрерывности функции
- •10.2 Классификация точек разрыва функции
- •11.1 Определение второго замечательного предела
- •11.2 Следствия из второго замечательного предела
- •13.1 Определение приращения функции
- •13.2 Определение производной функции
- •13.3 Свойства производной функции
- •13.4 Производные основных функций
- •13.5 Производные обратных функций
- •14.1 Определение гиперболических функций
- •14.2 Производные гиперболических функций
- •14.3 Производные сложных функций
- •14.4 Производные высших порядков
- •15.1 Параметрическое задание функций
- •15.2 Производные параметрических функций
- •15.3 Уравнения касательной и нормали к графику функции в заданной точке
- •16.1 Определение дифференциала. Его геометрический смысл
- •16.2 Свойства дифференциала
- •17.4 Теорема Лагранжа
- •17.5 Правило Лопиталя
- •17.6 Производная от функции в степени функции
- •18.1 Определение экстремума
- •18.2 Условия существования экстремума
- •18.3 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •18.4 Точки перегиба графика функции
- •19.1 Вертикальные асимптоты
- •19.2 Наклонные асимптоты
- •20.1 Определение степенного ряда
- •20.2 Ряд Тейлора
- •20.3 Ряд Маклорена
14.2 Производные гиперболических функций
Заметим сначала, что:
(14.5)
1. .
2. .
3. .
4. .
Таким образом, дополним таблицу производных формулами:
14.3 Производные сложных функций
Если заданная функция имеет вид:
, то производная этой функции равна произведению производной внешней функции попромежуточному аргументу на производную этого промежуточного аргумента. Таким образом, можем записать:
(14.6)
Пример. Найти производную функции
.
Решение
14.4 Производные высших порядков
Производной второго порядка называется производная от первой производной.
Производной третьего порядка называется производная от второй производной. И т.д.
ЛЕКЦИЯ 15
Функции, заданные параметрически. Их производные
15.1 Параметрическое задание функций
Одним из способов задания функции является такой способ, при котором текущие координаты ирассматриваются как функцииодних и тех же значений третьей переменной величины:
(15.1)
При этом, уравнения (15.1) называются параметрическими уравнениями некоторой линии на плоскости, а переменная называетсяпараметром.
Примеры параметрических уравнений некоторых известных линий:
ОКРУЖНОСТЬ:
(15.2)
ЭЛЛИПС:
(15.3)
ЦИКЛОИДА:
(15.4)
Циклоидой называется линия, описываемая окружностью с центром в точке , радиуса, катящейсябез скольжения по оси абсцисс.
О х
15.2 Производные параметрических функций
Рассмотрим функцию, заданную параметрическими уравнениями:
Таким образом, получили формулу:
(15.5)
Найдем вторую производную параметрической функции:
Таким образом, получили формулу:
(15.6)
Темы: «Дифференцирование неявных функций» и «Логарифмическое дифференцирование» Рассматриваются на практических занятиях!
15.3 Уравнения касательной и нормали к графику функции в заданной точке
Рассмотрим функцию , непрерывную на некотором промежутке. Найдем уравнение касательной к графику этой функции в точке, принадлежащей данному промежутку. Воспользуемся известным уравнением прямой на плоскости, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом. При этом, из геометрического смысла производной известно, что угловым коэффициентом касательной является производная данной функции, вычисленная в точке касания. Следовательно, искомым уравнением является уравнение:
(15.7)
Нормалью графика функции в точке называется прямая, проходящая через эту точку, перпендикулярно касательной в данной точке. Следовательно, уравнение нормали:
(15.8)
ЛЕКЦИЯ 16
Дифференциал