24.Дисперсия. Свойства дисперсии.

Виды дисперсий:

Общая дисперсия характеризует вариацию признака всей совокупности под влиянием всех тех факторов, которые обусловили данную вариацию. Эта величина определяется по формуле

 

где - общая средняя арифметическая всей исследуемой совокупности.

Средняя внутригрупповая дисперсия свидетельствует о случайной вариации, которая может возникнуть под влиянием каких-либо неучтенных факторов и которая не зависит от признака-фактора, положенного в основу группировки. Данная дисперсия рассчитывается следующим образом: сначала рассчитываются дисперсии по отдельным группам (), затем рассчитывается средняя внутригрупповая дисперсия:

 где n_i - число единиц в группе

Межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних) характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине исследуемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, который положен в основу группировки.

 

где - средняя величина по отдельной группе.

Все три вида дисперсии связаны между собой: общая дисперсия равна сумме средней внутригрупповой дисперсии и межгрупповой дисперсии:

Свойства:

• Дисперсия постоянной величины равна нулю. 

• Уменьшение всех значений признака на одну и ту же величину A не меняет величины дисперсии . 

• Уменьшение всех значений признака в K раз уменьшает дисперсию в K² раз, а среднее квадратическое отклонение в K раз . 

• Если вычислить средний квадрат отклонений от любой величины A, в той или иной степени отличающейся от средней арифметической, то он всегда будет больше среднего квадрата отклонений, вычисленного от средней арифметической . Средний квадрат отклонений при этом будет больше на величину (– A)² : 

25 Относительные показатели вариации

• Коэффициент осцилляции 

• Относительное линейное отклонение (линейный коэффициент варианции) 

• Коэффициент вариации (относительное отклонение) 

Коэффициент осцилляции
Относительное линейное отклонение
Коэффициент вариации

Коэф. Осц. отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней. Отн. лин. откл. характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины. Коэф. Вариации является наиболее распространенным показателем колеблемости, используемым для оценки типичности средних величин.

В статистике совокупности, имеющие коэффициент вариации больше 30–35 %, принято считать неоднородными.

26. Закономерность рядов распределения. Моменты распределения. Показатели формы распределения

В вариационных рядах существует связь между частотами и значениями варьирующего признака: с увеличением признака величина частоты сначала возрастает до определённой границы, а потом уменьшается. Такие изменения называются закономерностями распределения.

Форму распределения изучают с помощью показателей асимметрии и эксцесса. При исчислении указанных показателей используют моменты распределения.

Моментом k-го порядка называют среднюю из k-х степеней отклонений вариантов значений признака от некоторой постоянной величины. Порядок момента определяется величиной k. При анализе вариационных рядов ограничиваются расчетом моментов первых четырех порядков. При исчислении моментов в качестве весов могут быть использованы частоты или частости. В зависимости от выбора постоянной величины различают начальные, условные и центральные моменты.

Показатели формы распределения:

Асимметрия (As) показатель характеризующий степень асимметричности распределения.

Следовательно, при (левосторонней) отрицательной асимметрии . При (правосторонней) положительной асимметрии.

Для расчета асимметрии можно использовать центральные моменты. Тогда:

,

где μ₃ – центральный момент третьего порядка.

- эксцесс (Е_к) характеризует крутизну графика функции в сравнении с с нормальным распределением при той же силе вариации:

,

где μ₄– центральный момент 4-ого порядка.

26. Закон нормального распределения

Для нормального распределения (распределения Гаусса) функция распределения имеет следующий вид:

-матожидание- стандартное отклонение

Нормальное распределение симметрично и для него характерно следующее соотношение: Хср=Ме=Мо

Эксцесс нормального распределения равен 3, а коэффициент асимметрии 0.

Кривая нормального распределения представляет собой полигон( симметричная колокобразная прямая)

26. Виды дисперсий. Правило сложения дисперсий. Сущность эмпирического коэффициента детерминации.

Если исходная совокупность разделена на группы по какому-то существенному признаку, то вычисляют следующие виды дисперсий:

1. Общая дисперсия исходной совокупности:

,

где - общая средняя величина исходной совокупности;f– частоты исходной совокупности. Общая дисперсия характеризует отклонение индивидуальных значений признака от общей средней величины исходной совокупности.

2. Внутригрупповые дисперсии:

,

где j- номер группы;- средняя величина в каждойj-ой группе;- частотыj-ой группы. Внутригрупповые дисперсии характеризуют отклонение индивидуального значения признака в каждой группе от групповой средней величины. Из всех внутригрупповых дисперсий вычисляют среднюю по формуле:, где- численность единиц в каждойj-ой группе.

3. Межгрупповая дисперсия:

.

Межгрупповая дисперсия характеризует отклонение групповых средних величин от общей средней величины исходной совокупности.

Правило сложения дисперсийзаключается в том, что общая дисперсия исходной совокупности должна быть равна сумме межгрупповой и средней из внутригрупповых дисперсий:

.

Эмпирический коэффициент детерминациипоказывает долю вариации изучаемого признака, обусловленную вариацией группировочного признака, и рассчитывается по формуле:

.

26. Способ отсчета от условного нуля (способ моментов) для расчета средней величины и дисперсии

Расчет дисперсии способом моментов основан на использовании формулы и 3 и 4 свойств дисперсии.

(3.Если все значения признака (варианты) увеличить (уменьшить) на какое-то постоянное число А, то дисперсия новой совокупности не изменится.

4.Если все значения признака (варианты) увеличить (умножить) в К раз, где К – постоянное число, то дисперсия новой совокупности увеличится (уменьшится) в К²раз.)

Получим формулу вычисления дисперсии в вариационных рядах с равными интервалами способом моментов:

А- условный ноль, равный варианте с максимальной частотой ( середина интервала с максимальной частотой)

Расчет средней величины способом моментов также основан на использовании свойств средней.

26. Понятие о выборочном наблюдении. Этапы исследования экономических явлений выборочным методом

Выборочным называют наблюдение, при котором обследованию и изучению подвергаются не все единицы исходной совокупности, а только часть единиц, при этом результат обследования части совокупности распространяется на всю исходную совокупность. Совокупность, из которой производится отбор единиц для дальнейшего обследования и изучения называется генеральнойи все показатели, характеризующие эту совокупность, называютсягенеральными.

Возможные пределы отклонений выборочной средней величины от генеральной средней величины называют ошибкой выборки.

Совокупность отобранных единиц называется выборочнойи все показатели, характеризующие эту совокупность, называютсявыборочными.

Выборочное исследование включает следующие этапы:

- характеристика объекта исследования (массовые экономические явления). Если генеральная совокупность небольшая , то выборку проводить не рекомендуется, необходимо сплошное исследование;

- расчет объема выборки. Важно определить оптимальный объем, который позволит при наименьших затратах получить ошибку выборки в пределах допустимой;

- проведение отбора единиц наблюдения с учетом требований случайности, пропорциональности.

- доказательство репрезентативности, основанное на оценке ошибки выборки. Для случайной выборки ошибка рассчитывается с использованием формул. Для целевой выборки репрезентативность оценивается с помощью качественных методов (сравнения, эксперимента);

- анализ выборочной совокупности. Если сформированная выборка отвечает требованиям репрезентативности, то проводится ее анализ с использованием аналитических показателей (средних, относительных и проч.)